第六章弯曲内力(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

第六章 弯曲内力一、教学目标和教学内容1、教学目标掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念；熟练掌握用截面法求弯曲内力；熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图；利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。2、教学内容平面弯曲等基本概念；截面法及简便方法求弯曲内力；剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；叠加法绘制剪力图和弯矩图。二、重点难点1、平面弯曲的概念；2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；3、剪力图和弯矩图；4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建议学时 7学时五、实施学时六、讲课提纲1、平面弯曲的概念及梁的种类平面弯曲的概念简单回顾轴向拉、压： 图6-1受力：作用在横截面上，作用线与杆轴线重合。变形；沿轴线方向的伸长或缩短。剪切： 图6-2 受力：作用在杆的两侧面上，作用线轴线。变形：两相邻截面（力作用部位，二力之间）发生相对错动。扭转： 图6-3受力：T作用在垂直于杆轴的平面内（横截面内）。变形：相邻截面发生相对转动。弯曲：讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围；杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）图6-4载荷作用在对称平面内在此前提下，可讨论杆件弯曲的受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内：图6-5变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。何谓梁？凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。梁的种类：简支梁图6-6悬臂梁图6-7外伸梁图6-8多跨静定梁图6-9超静定梁图6-102、梁的内力及其求法梁的内力剪力与弯矩确定约束反力图6-11内力分析用截面法沿m-m截面截开（任取一段）图6-12按平衡的概念标上,M。-与横截面相切剪力M内力偶矩弯矩内力值的确定用静力平衡条件： 得 得 （O- 截面形心）剪力、弯矩的正、负号规定：剪力：当截面上的FQ使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，反之为负。图6-13弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受压为正（即凹向上时为正），反之为负。图6-14求指定截面上的剪力和弯矩图6-15求图示梁截面 A、C的内力：解：求反力： ，校核： (无误)求指定截面上的内力：截面A左（不截到）： （使该段有逆时针转动的趋势）图6-16 （上拉下压）截面A右（截到）： 图6-17 截面C左（不截到M1）： 图6-18 截面C右（截到M1）： 图6-19 小结基本规律求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FQ、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的FQ、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩。 另外，若考虑左段梁为脱离体时，在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。3、剪力图和弯矩图为了知道FQ、M沿梁轴线的变化规律，只知道指定截面上的FQ、M是不够的，并能找到、的值及其所在截面，以便对梁进行强度，刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程梁内各截面上的FQ、M一般随横截面的位置不同而变化，横截面位置若用沿梁轴线的坐标 x来表示，则梁内各横截面上的FQ、M都可以表示为坐标x的函数，即 剪力方程 弯矩方程在建立 、时，坐标原点一般设在梁的左端。剪力图和弯矩图根据、，我们可方便地将、沿梁轴线的变化情况形象地表现出来，其方法是横坐标x-横截面位置纵坐标或-按比例表示梁的内力、画在横坐标的上边、画在横坐标的下边剪力图、弯矩图的特点：（举例说明）例题6-1： 图6-20解：求约束反力整体平衡，求出约束反力：； 注意；约束反力的校核分段列、注意：三定定坐标原点及正向原点：一般设在梁的左端；正向：自左向右为正向。定方程区间即找出分段点；分段的原则：载荷有突变之处即为分段点。定内力正负号截面上总设正号的剪力、弯矩。三定后即可建立、列、：AC段：（根据 图b列方程） （0x1a） （0x1a） CB段：（图c） （ax2b时，据M图可见，c截面处有，若a=b=l/2,则特点之一： 在集中力作用处，FQ图有突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力的大小；图有一转折点，形成尖角。（M图的切线斜率有突然变化）例题6-2图6-21AC段： （0x1a） （0x1a） CB段： （ax2l） （ab,则集中力偶左侧截面上有最大弯矩特点之二：在集中力偶作用下，弯矩图发生突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力偶矩的大小；但剪力图没有突变。（FQ图连续，并不改变斜率）。 例题6-3图6-22 （0xl） （0xl） 由FQ、M图可见： 支座处：FQ=0处：特点之三：从例题8-1（集中力）、例题8-2（集中力偶）、例题8-3（均布荷载）可以看到：在梁端的铰支座上，剪力等于该支座的约束反力。如果在端点铰支座上没有集中力偶的作用，则铰支座处的弯矩等于零。例题6-4图6-23 （0x） （0x） 在固定端处：特点之四：在梁的外伸自由端点处，如果没有集中力偶的作用，则端点处的弯矩等于零；如果没有集中力的作用，则剪力等于零。特点之五：在固定端处，剪力和弯矩分别等于该支座处的支座反力和约束力偶矩。特点之六：最大剪力、最大弯矩及其位置。最大剪力发生位置：梁的支座处及集中力作用处有，例题6-3及6-4最大弯矩一般发生在下列部位；集中力作用的截面处 例题6-1集中力偶作用的截面处 例题6-2FQ=0处，M有极值 例题6-3悬臂梁的固定端处 例题6-4（外伸梁的支座处往往也有） 例题6-5图6-24特点之七：在梁的中间铰上如果没有集中力偶作用，则中间铰处弯矩必等于零，而剪力图在此截面处不发生突变。例题6-6再分析例题6-1；集中作用在/2处图6-26再分析例题6-3：简支梁承受均布载荷 图6-27特点之八： 对称结构、对称载荷，FQ图反对称，M图对称，据此特点，下面这道题即可方便作出 FQ、M图（只要列出一半的剪力、弯矩方程即可作图）图6-25AC段： （0xl） （0x2） 根据特点之八，可画出整个梁的FQ、M图 例题6-7图6-26特点之九：对称结构，反对称载荷，FQ图对称，M图反对称。特点之十： 梁中正、负弯矩的分界点称为反弯点，反弯点处 M=0，构件设计中确定反弯点的位置具有实际意义。4、之间的微分和积分关系。留心例题6-1到例题6-4；特别是例题6-3、例题6-4，可以发现： ，。是否普遍存在着这样的关系？、之间的微分关系。图6-27取 dx一段讨论，任设、均为正值。 式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力对x的一阶导数，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度。式的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度，就是剪力图上相关点处的斜率。 略去高阶微量 式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力。式的几何意义：任一横截面处的剪力，就是弯矩图上相关点处的斜率。对式的两边求导，则 式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因此：式的几何意义：可以根据 对x的二阶导数的正、负来定出图的凹向。根据、之间的微分关系所得出的一些规律：若=0=0 ，即=常数图为一水平直线；又=常数，即M图的斜率为一常数 M图为一斜直线。并且 当时，M图为上升的斜直线（/）；当时，M图为下降的斜直线（）.若 （即分布荷载向下）=0 图为一下降的斜直线（）又 M图下降。再 M图为一凹向下的曲线（）若 （即分布荷载向上）=0 图为一上升的斜直线（/）又 M图上增。再 M图为一凹向上的曲线（）若 （即悬臂梁、外伸梁在自由端作用集中力偶M,而梁上又无q、FP作用）则 M图的斜率为零，M图为一水平直线。若，M图在该处的斜率为零时，则在此截面上M 为一极值。若 或 （即分段列内力方程的分段点，变号）则M在该处必有极值。当时， M有极大值；当时， M有极小值。、之间的积分关系若梁上任有两点：a和b，则几何意义；任何两截面（b，a）上的剪力之差，等于此两截面间梁段上的荷载图的面积；又几何意义；任何两截面上的弯矩之差，等于此两截面间的剪力图的面积。、之间的微分关系和积分关系的应用作内力图既快又正确的三句话：抓住“关系”；注意突变；定点控制。利用、间的微分关系和积分关系作FQ、M图例题6-8图6-28例题6-9图6-29例