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1,第四章 随机信号的功率谱估计,2019年7月22日,主要内容,经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 MA模型谱估计 ARMA模型谱估计 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计 空间谱估计,3,一、经典谱估计与现代谱估计,经典谱估计 现代谱估计,4,二、参数模型法概述,基本概念 信号模型,5,三、基于AR模型的谱估计法,谱分解定理 AR模型法 Levision-Durbin算法 AR模型的稳定性及其阶的确定 AR谱估计的性质 格形滤波器 AR模型参数提取方法 AR谱估计的异常现象及其补救措施,6,四、MA模型谱估计,7,五、ARMA模型谱估计,8,六、最小方差谱估计,基本原理 MV谱与ME谱或AR谱的关系,9,七、基于矩阵特征分解的谱估计,自相关矩阵的特征分解 基于子空间的频率估计与信号估计,基于信号子空间的频率估计与功率估计 基于噪声子空间的频率估计与功率估计,PHD方法 MUSIC方法,10,八、 高阶谱估计,研究的必要性 高阶统计量 高阶累积量和多谱的性质 三阶相关和双谱及其性质 基于高阶谱的相位谱估计 基于高阶谱的模型参数估计 多谱的应用,11,研究高阶谱的必要性,关于模型参数估计问题 所谓模型参数估计，就是根据有限长的数据序列(如模型输出端所观测到的信号y(n)来估计图中随机信号模型的参数) 与前面所述不同之处在于：这里考虑了观测过程所引入的噪声v(n).,12,研究高阶谱的必要性,基于二阶统计量的模型参数估计方法的缺陷,前述模型参数估计方法中，估计得到的模型参数仅与 信号的自相关函数或功率谱包络相匹配；其功率谱不 含信号的相位特性，亦称盲相。即,这种模型只适合于高斯随机信号，因为高斯信号仅用 二阶统计量(均值和方差)就能加以描述。,13,研究高阶谱的必要性,二阶统计量方法的基本限制 前面讨论的方法中，一般都假设：,信号模型中的系统H(z)是最小相位的。 激励信号u(n)是均值为零，方差为 的高斯白噪声。 测量引入的噪声信号v(n)是均值为零，方差为 的高斯白噪声； 且v(n)与信号x(n)统计无关，即v(n)不影响信号的谱形状 故有,14,研究高阶谱的必要性,二阶统计量方法存在的问题,在许多实际应用(如地震勘探、水声信号处理、远程通 信)中，往往不能满足上述假设；甚至系统是非线性的。 对于非高斯信号的模型参数，如仅仅考虑与自相关函数 匹配，就不可能充分获取隐含在数据中的信息。 若信号不仅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基 于自相关函数的估计方法所得到的模型参数，就不能反 映原信号的非最小相位特点。 当测量噪声较大，尤其当测量噪声有色时，基于自相关 函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差。,15,研究高阶谱的必要性,解决问题的方法,从观测数据中提取相位信息 信号分析必须具有抗有色噪声干扰的能力 因此，必须用高阶谱(高阶统计量)来分析信号,16,高阶统计量,特征函数与高阶矩,特征函数：随机变量 x 的特征函数定义为,或,其中 f(x) 是随机变量 x 的概率密度函数。,高阶矩：对(1b)求k 阶导数，得,则随机变量x 的k 阶矩定义为,即特征函数的k 阶导数在原点的值。,17,高阶统计量,累积量生成函数与高阶累积量(cumulant),累积量生成函数,或,称为累积量生成函数(又叫第二特征函数)。,高阶累积量：随机变量x的k 阶累积量定义为,即累积量生成函数的k 阶导数在原点的值。,18,高阶统计量,累积量生成函数与高阶累积量(cumulant),高阶矩与高阶累积量的关系,关系:,结论: 二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为 零时, 就是二、三阶相关(矩) 四阶以上的累积量不等于相应的中心矩,19,高阶统计量,高阶矩谱,定义：k阶矩的k-1维付氏变换称为k阶矩谱。,高阶累积量谱,最常用的高阶谱是三阶谱(双谱)和四阶谱(三谱)。,定义：设 x(n)为平稳随机过程，则其k阶累积量谱 定义为k阶累积量 的 k-1维付氏变换，即,通常将 的累积量谱称为高阶谱或多谱。,(6),20,高阶统计量,累积量的物理意义,高斯随机变量的高阶矩与累积量,高斯随机变量可用二阶矩完全描述。实际上,零均值高斯 随机变量的k 阶矩(或零均值的k 阶中心矩)为,高斯随机变量只有一阶和二阶累积量；其二阶以上的累 积量为零, 它不提供新的信息。即,可见，其高阶矩仍然取决于二阶矩 。,若任一随机变量与高斯随机变量有相同的二阶矩, 则累积 量就是它们高阶矩的差。 从而，有如下累积量的物理意义。,21,高阶统计量,累积量的物理意义, 一阶累积量数学期望:描述了概率分布的中心 二阶累积量方差： 描述了概率分布的离散程度 三阶累积量三阶矩： 描述了概率分布的不对称程度,累积量衡量任意随机变量偏离正态(高斯)分布的程度,物理意义,偏态与峰态, 将三阶矩除以均方差的三次方 ,得偏态系数或偏态：, 将四阶累积量除以均方差的四次方 ,得峰态（设随机变量为零均值):,22,高阶累积量和多谱的性质,主要性质 最重要的性质如下:,累积量具有对称性。 相互独立的两随机序列的组合序列的累积量等于零。 和的累积量等于累积量之和，累积量因此得名。 随机信号通过线性系统后的累积量等于该随机信号 的累积量与线性系统冲激响应累积量的卷积 信号的高阶累积量能够决定信号模型的冲激响应h(n)，即用信号模型的输出信号(即观测到的信号)y(n)的高阶累积量就能决定h(n)。,23,高阶累积量和多谱的性质,主要性质(续),确定性序列的多谱: 确定性序列h(1),h(k)的k阶累量,其 k 阶谱为,式中,24,高阶累积量和多谱的性质,用高阶累积量作为时间序列分析工具的原因 用高阶累量而不是高阶矩作为时间序列分析工具的原因：,理论上，使用高阶累积量可避免高斯有色噪声的影响， 高阶矩不能做到这一点。 高阶白噪声的高阶累积量是多维冲激函数, 其谱是多维 平坦的, 但高阶白噪声的高阶矩及其谱无此特性和优点； 累积量问题的解具有唯一性(因特征函数唯一地确定概 率密度函数)，但矩问题不具有唯一性； 两个统计独立的随机过程的累积量等于各随机过程累积 量之和，这一结论对高阶矩不成立。,25,三阶相关与双谱及其性质,定义,三阶相关： 设x(n)为零均值的实平稳序列，其三阶相关函数为,双谱 Rx(m1,m2)的二维傅立叶变换就是双谱，其表达式为,性质,三阶相关函数的对称性 双谱的对称性、周期性和共轭性,26,三阶相关与双谱及其性质,确定性序列的双谱 设h(n)表示有限长确定性序列，其双谱可表示为,双谱中的相位信息,其中,这表明双谱包含信号模型的相位信息 ； 而功率谱 不含相位信息 。,设,则有,且有,27,基于高阶谱的相位谱估计,自相关函数丢失了信号的相位特性，而累积量可以得到信号的相位谱。 实际应用中，基于三阶累积量的双谱和基于四阶累积量的三谱已经够用。,28,基于高阶谱的模型参数估计,基本原理,与AR功率谱估计(即单谱估计)相类似，AR过程的多谱 估计与已知的多谱相匹配的程度，也可用线性预测的多 谱来衡量，亦也可以用多谱的平坦度来衡量。说明如下： 设用p 个值x(n)作线性预测，即,则预测误差,其多谱为,式中,29,基于高阶谱的模型参数估计,基本原理 (续),如果选择系数ak ，使得,式中 为一常量，则有,上式表明：x(n)是由,的非正态白噪声激励参数为ak(k=1,p)的AR过程产生的。,结论：预测误差的多谱的平坦度可用作AR过程多谱与实际多谱接近程度的一种度量。,30,基于高阶谱的模型参数估计,不稳定问题及其解决方法,不稳定问题：用单谱(功率谱)和多谱估计AR模型参数时，都存在稳定性问题。 解决办法 当用单谱估计AR模型时，只要把不稳定极点替换为其 倒数极点(反演技术)即可，这是因为 当用多谱估计AR模型时,不能作这种替换. 以双谱为例,而,故,31,基于高阶谱的模型参数估计,解决办法 必须用合适的方法把非稳定极点变换成非因果AR过程。实际上，非因果AR模型在一些特殊情况下，例如，在天文信号、空间信号、地质信号以及被污染了的图像信号的处理中大量得到应用。 非因果AR模型估计方法通常有三种：全搜索法、优化计算法和转换为MA模型法。