光在晶体中传播的几何法描述.ppt

4.3 光在晶体中传播的几何法描述 光在晶体中的传播规律除了利用上述解析方法进行严格 的讨论外，还可以利用一些几何图形描述。这些几何图形能 使我们直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系， 以及与各传播方向相应的光速或折射率的空间取值分布。当 然，几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是上面所 给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。,在传统的晶体光学中，人们引入了折射率椭球、折射率 曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面等 六种三维曲面。限于篇幅和实际的应用需要，这里只着重介 绍折射率椭球、折射率曲面以及菲涅耳椭球和射线曲面。,1. 折射率椭球(光率体) （1).折射率椭球方程 由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，晶体中的电场 储能密度为： 故有 在给定能量密度we的情况下，该方程为D(D1、D2、D3)空 间的椭球面。,若令： 则有 或者,图 4 - 10 折射率椭球(光率体),图 4 - 11 确定折射率和D振动方向的图示,（2) 折射率椭球的性质 若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量k，再过坐标 原点作一平面(称为中心截面)(k)与k垂直(图 4 - 11)， (k)与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径 分别记作ra(k)和rb(k)，则可以证明折射率椭球具有下面两 个重要的性质： 与波法线方向k相应的两个特许线偏振光的折射率n 和n，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长，即：,.与波法线方向k相应的两个特许线偏振光D的振动方 向d和d，分别平行于ra和rb，即： 这里，d是D矢量方向上的单位矢量。 这样，只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就 可以作出相应的折射率椭球，从而就可以通过上述的几何作 图法定出与波法线矢量k相应的两个特许线偏振光的折射率 和D的振动方向(图4-11)。,（3) 利用折射率椭球确定D,E,k,s方向的几何方法 利用折射率椭球除了确定相应于k的两个特许线偏振光D 矢量的振动方向和折射率外，还可以借助于下述几何方法， 确定D, E, k, s各矢量的方向。 如前所述，D、E、k, s矢量都与H矢量垂直，因而同处 于一个平面内，这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆， 如图 4-12 所示。 如果相应于波法线方向k的一个电位移矢量D确定了，与 该D平行的矢径端点为B，则椭球在B点的法线方向平行于与 该D矢量相应的E矢量方向。,图 4 - 12 由给定的D确定E、k、s方向图示,（4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质 .各向同性介质或立方晶体 在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数 1=2=3 ，主折射率n1=n2=n3=n0，折射率椭球方程为： 这就是说，各向同性介质或立方晶体的折射率椭球是一个 半径为n0的球。因此，不论k在什么方向，垂直于k的中心截面 与球的交线均是半径为n0的圆，不存在特定的长、短轴，因而 光学性质是各向同性的。,. 单轴晶体 在单轴晶体中，1=23，或n1=n2=no， n3=neno，因此折射率椭球方程为： 显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为x3轴。若neno称为 正单轴晶体(如石英晶体)，折射率椭球是沿着x3轴拉长了的 旋转椭球；若ne no，称为负单轴晶体(如方解石晶体)，折 射率椭球是沿着x3轴压扁了的旋转椭球。,图 4 - 13 单轴晶体折射率椭球作图法,图 4 - 14 两个坐标系的关系,.双轴晶体 a.双轴晶体中的光轴 对于双轴晶体，介电张量的三个主介电系数不相等，即 123，因而n1n2n3，所以折射率椭球方程 为： 若约定n1n2n3，则折射率椭球与x1Ox3平面的交线是椭 圆(图4 - 15)，它的方程为：,式中，n1和n3分别是最短、最长的主半轴。若椭圆上任 意一点的矢径r与x1轴的夹角为，长度为n，则上式可写成 或 n的大小随着在n1和n3之间变化。由于n1n2n3，所以总是可 以找到某一矢径r0，其长度为n=n2。设这个r0矢径与x1轴的夹 角为0，则0应满足：,所以：,显然，矢径r0与x2轴组成的平面与折射率椭球的截线是 一个半径为n2的圆。若以0表示该圆截面，则与垂直于0 面的波法线方向k相应的D矢量在0面内振动，且振动方向 没有限制，折射率均为n2。如果用C表示0面法线方向的单 位矢量，则C的方向即是光轴方向。由于上式右边有正负两 个值，相应的0面及其法向单位矢量C也有两个，因此，有 两个光轴方向C1和C2，这就是双轴晶体名称的由来。 实际上，C1和C2对称地分布在x3轴两侧，如图4-16所 示。由C1和C2构成的平面叫做光轴面，显然，光轴面就是 x3Ox1平面。设C1、C2与x3轴的夹角分别为、-，则有：,当角小于 45时，称为正双轴晶体; 角大于45 时，称为负双轴晶体。,图 4-15 双轴晶体折射率椭球在x3Ox1面上的截线,图4-16 双轴晶体双光轴示意图,b.光在双轴晶体中的传播特性 与单轴晶体一样，利用双轴晶体的折射率椭球可以确定 相应于k方向两束特许线偏振光的折射率和振动方向，只是 具体计算比单轴晶体复杂得多。下面只讨论几种特殊情况： （i).当k方向沿着主轴方向，比如x1轴时，相应的两个 特许线偏振光的折射率分别为n2和n3,D矢量的振动方向分别 沿x2轴和x3轴方向；当k沿x2轴时，相应的两个特许线偏振 光的折射率分别为n1和n3，D矢量的振动方向分别沿x1轴和 x3轴方向。,(ii).当k方向沿着光轴方向时，二正交线偏振光的折射 率为n2，其D矢量的振动方向没有限制。 (iii).当k在主截面内，但不包括上面两种情况时，二特 许线偏振光的折射率不等，其中一个等于主折射率，另一个 介于其余二主折射率之间。 例如，k在x1Ox3主截面内，与x3轴的夹角为，确定与 其相应的二特许线偏振光的折射率和D矢量振动方向。,图 4 - 17 坐标系的变换,根据折射率椭球的性质，考虑到k不在坐标轴上，为了 简化运算, 可如图 4 -17所示，将坐标系O-x1x2x3绕x2轴旋 转角，建立一个新坐标系O-x1x2x3，使k沿x3轴 方向。此时二坐标系之间的关系为:,将上面关系代入折射率椭球方程，并与x3=0 联立: 可得与k垂直的截线方程为:,所以，与k相应的二特许线偏振光的折射率为: D矢量的振动方向分别为x2、x1方向。,(iv).当k与折射率椭球的三个主轴既不平行又不垂直 时， 相应的两个折射率都不等于主折射率，其中一个介于 n1, n2之间，另一个介于n2 , n3之间。如果用波法线与两 个光轴的夹角1和2来表示波法线方向k(见图 4 - 9)， 则可以利用折射率椭球的关系，得到与k相应的二折射率十 分简单的表达式:,(v).已知两个光轴方向和k方向时，可以很方便地确定 与k相应的D矢量的两个振动方向。,图 4-18 D矢量振动面的确定,图 4-19 图 4 - 18 中的平面,最后应当指出，在双轴晶体中，除两个光轴方向外，沿 其余方向传播的平面光波，在折射率椭球中心所作的垂直于 k的平面与折射率椭球的截线都是椭圆。而且，由于折射率 椭球没有旋转对称性，相应的两个正交线偏振光的折射率都 与k的方向有关，因此这两个光都是非常光。故在双轴晶体 中，不能采用o光与e光的称呼来区分这两种偏振光。,2. 折射率曲面和波矢曲面 折射率椭球可以确定与波法线方向k相应的两个特许线 偏振光的折射率，但它需要通过一定的作图过程才能得到。 为了更直接地表示出与每一个波法线方向k相应的两个折射 率，人们引入了折射率曲面。折射率曲面上的矢径r=nk，其 方向平行于给定的波法线方向k, 长度则等于与该k相应的两 个波的折射率。因此，折射率曲面必定是一个双壳层的曲 面，记作(k,n)曲面。 实际上，根据(k,n)曲面的意义，现重写出折射率曲面 在主轴坐标系中的极坐标方程如下：,若以 代入上式， 即得到它的直角坐标方程： 这是一个四次曲面方程。利用这个曲面可以很直观地得 到与k相应的二折射率。,对于立方晶体，n1=n2=n3=n0，由此可得： 显然，这个折射率曲面是一个半径为n0的球面，在所有的k 方向上，折射率都等于n0 ，在光学上是各向同性的。 对于单轴晶体，n1=n2=no, n3=ne，于是：,进而有:,可见，单轴晶体的折射率曲面是一个双层曲面，它是由 一个半径为no的球面和一个以x3轴为旋转轴的旋转椭球构成 的。球面对应为o光的折射率曲面，旋转椭球表示的是e光的 折射率曲面。单轴晶体的折射率曲面在主轴截面上的截线如 图4-20 所示：对于正单轴晶体，neno，球面内切于椭球； 对于负单轴晶体，neno ，球面外切于椭球。两种情况的切 点均在x3轴上，故x3轴为光轴。当与x3轴夹角为的波法线 方向k与折射率曲面相交时，得到长度为no和ne()的矢径， 它们分别是相应于k方向的两个特许线偏振光的折射率，其中 ne()可由(4-102)式求出：,对于双轴晶体，n1n2n3, 前面所述的四次曲面在三 个主轴截面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆，它们的 方程分别是:,图 4-21 双轴晶体的折射率曲面在三个主轴截面上的截线,图 4 - 22 双轴晶体的折射率曲面在第一卦限中的示意图,3. 菲涅耳椭球 上面讨论的折射率椭球和折射率曲面都是相对波法线方 向k而言的。由于晶体中的k与s可能分离，而在有些应用中给 定的是s方向，所以利用相对s而言的曲面讨论光的传播规律 比较方便。菲涅耳椭球就是相对光线方向s引入的几何曲面。由折射率椭球方程并利用矢量对应关系，可得：,式中，vr1、vr2、vr3表示三个主轴方向上的光线主速 度。这个方程就是用来描述光在晶体中传播特性的菲涅耳椭 球。在描述光的传播特性时，它与折射率椭球的作图方法完 全相同，只是以光线方向s取代波法线方向k。对于任一给定 的光线方向s，过菲涅耳椭球中心作垂直于s的平面，它与菲 涅耳椭球相交，其截线为椭圆，该椭圆的长、短轴方向表示 与s方向相应的二特许线偏振光电场强度E的振动方向，半轴 长度表示该二光的光线速度。如果把长、短半轴矢径记作 ra(s)和rb(s)，则有：,e表示与光线方向s相应的E矢量振动方向上的单位矢 量。菲涅耳椭球可记为 (e,vr)曲面。,4. 射线曲面 射线曲面是和折射率曲面相对应的几何图形，它描述与 晶体