2018_2019高中数学第3章导数及其应用3.3.3最大值与最小值课件苏教版.pptx

3.3.3 最大值与最小值,第3章 3.3 导数在研究函数中的应用,学习目标,1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 函数的最大值与最小值,如图为yf(x)，xa，b的图象.,思考1 观察a，b上函数yf(x)的图象，试找 出它的极大值、极小值. 答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4). 思考2 结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 答案 存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3). 思考3 函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？ 答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.,梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值. (2)求函数yf(x)在闭区间a，b上的最值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的 ； 将函数yf(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .,连续不断,极值,各极值,端点,最大值,最小值,1.定义在闭区间a，b上的函数 f(x)一定有最大值和最小值.( ) 2.函数 f(x)在a，b上的最大值是 f(b)，最小值是 f(a).( ) 3.定义在开区间(a，b)上的函数 f(x)没有最值.( ) 4.函数的所有极大值中最大的一个就是最大值.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 求函数的最值,命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 求下列函数的最值： (1)f(x)2x312x，x2,3；,解答,解 f(x)2x312x，,当x3时，f(x)取得最大值18.,解答,所以当x0时，f(x)有最小值 f(0)0； 当x2时，f(x)有最大值 f(2).,反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.,解答,跟踪训练1 求函数f(x)ex(3x2)，x2,5的最值. 解 f(x)3exexx2， f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3) ex(x3)(x1). 在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0， 函数f(x)在区间2,5上单调递减， 当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2； 当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.,解答,命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值.,解 由题意，得f(x)x(3x2a)，,反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.,解答,跟踪训练2 在例2中，将区间0,2改为1,0，结果如何？,从而 f(x)maxf(1)1a；,类型二 由函数的最值求参数,例3 已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.,解答,解 由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾. 求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令f(x)0，得x10，x24(舍去). 当a0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a293，解得a2. 综上可得，a2，b3或a2，b29.,反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.,解答,解 f(x)x2x2a，,当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0， 所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增. 当0a2时，有x11x24， 所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2).,类型三 函数最值的综合应用,解答,例4 设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0). (1)求f(x)的最小值h(t)； 解 f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)， 当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1， 即h(t)t3t1.,解答,(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.,解 令g(t)h(t)(2tm)t33t1m， 由g(t)3t230，得t1，t1(不合题意，舍去). 当t变化时g(t)，g(t)的变化情况如下表：,对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m， h(t)1. 故实数m的取值范围是(1，).,反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.f(x)恒成立 f(x)max；f(x)恒成立 f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可. (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”.,解答,跟踪训练4 已知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，求a的取值范围.,令h(x)0，得x1， 当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增. h(x)minh(1)4.ah(x)min4.a的取值范围是(，4.,达标检测,答案,1,2,3,4,5,解析,所以y的最大值为ymaxsin .,1,2,3,4,5,答案,解析,令f(x)0，得x1； 令f(x)0，得0x1.,3.函数f(x)x3x2xt在区间0,2上的最小值为3，则函数在0,2上的最大值为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,因为在0,1)上，f(x)0，所以当x1时，函数f(x)取极小值，也是最小值， 则 f(1)111t3，所以t4， 又函数 f(x)在两端点处的函数值为f(0)4，f(2)84246， 所以函数在0,2上的最大值为6.,6,解析 当a1时，最大值为4，不符合题意. 当1a2时，f(x)在a,2上是减函数， 所以f(x)maxf(a)，,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,(7，),可求得f(x)maxf(2