《直梁的弯曲》PPT课件.ppt

1,直梁的弯曲,第3章,2,第3章 直梁的弯曲,3.1 梁的弯曲实例与概念 3.2 梁横截面上的内力剪力与弯矩 3.3 弯矩方程与弯矩图 3.4 弯曲时横截面上的正应力及其分布规律 3.5 梁弯曲时的强度条件 3.6 梁截面合理形状的选择 3.7 梁的弯曲变形,梁的弯曲是材料力学最重要的内容。,3,3.1 梁的弯曲实例与概念,以弯曲变形为主的杆件在工程上统称为梁。,受力特点：力垂直于构件的轴线(力偶在轴线平面)； 变形特点：弯曲变形。,4,桥式吊车,5,火车轮轴,6,车削工件,7,梁有纵向对称面； 载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线； 变形后梁的轴线在纵向对称面内弯成平面曲线。,平面弯曲的概念,平面弯曲是工程中最常见也是最简单的一种弯曲。本章讨论平面弯曲。,8,梁的分类,悬臂梁,简支梁,外伸梁,简支梁、外伸梁两个支座之间的距离称为梁的跨度。,9,3.2 梁横截面上的内力剪力和弯矩,一、截面法求内力剪力与弯矩,梁横截面上的内力仍用截面法求。,【例】有一简支梁AB，梁上有集中载荷P，求截面上1-1与2-2的内力。,10,（1）以梁为研究对象，先求支座反力RA、RB,11,（2）用截面法求1-1上的内力。,内力Q1剪力（平行横截面）,12,内力偶矩M1弯矩(在纵向对称面内，作用在横截面上),O 横截面的形心,（3）用截面法求2-2上的内力。,此处书上有错误,截面2-2上也有剪力弯矩,13,思考：如果取右半段如何？,数值相同，方向相反,注意这里Q2为负,14,二、弯矩正负号规定,M,M,使梁上凹下凸为正，反之为负。,剪力对细长梁的变形和破坏影响很小，以下不再讨论。,15,弯矩的快捷计算,梁内任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面任一侧梁上所有外力对截面中心的力矩的代数和。力矩左顺右逆为正（无论左右侧，向上外力为正）。,M=MO(F),注意外力偶,16,【例】用简便方法求梁截面1-1、2-2处的弯矩。,（1）求1-1截面弯矩。,截开取左侧，弯矩一律按正向画,解,（2）求2-2截面弯矩。,q(x2-a),17,3.3 弯矩方程与弯矩图,一、弯矩方程,画弯矩图时，先要建立弯矩方程，再根据弯矩方程画弯矩图。,M=f(x),弯矩一般随着梁的截面位置x而变化，M是x函数，用函数关系式表示：,弯矩方程,18,二、弯矩图,在机械工程中习惯将：正弯矩画在x轴上面，负弯矩画在x轴下面。,以横坐标x表示梁的截面位置，纵坐标表示弯矩所做图形成为弯矩图。,19,【例3-1】简支梁在C处受集中载荷P作用，试画出它的弯矩图。,解：,求支座反力,建立弯矩方程,集中力作用在C，C点两侧弯矩方程不同，应分2段考虑。,20,AC段：,CB段：,21,画弯矩图,A点弯矩：,C点弯矩：,B点弯矩：,最大弯矩产生在C截面上，截面C是危险截面。, 找最大弯矩,若a=b, Mmax=Pl/4,22,【例3-2】一悬臂梁AB长l，受均布载荷q作用。试画它的弯矩图。,解：,列弯矩方程,取B点为x轴原点，向左为正。,考虑任一截面n-n，弯矩方程：,可见M是x的二次抛物线，弯矩图是抛物线。,23,画弯矩图,画二次抛物线，至少要确定3个点（端点、极值点）。,作弯矩图如左。,从弯矩图可见，最大弯矩产生在固定端A处的横截面上。,24,【例3-3】一简支梁AB长l，受均布载荷q作用。试画弯矩图。,解：,求支座反力,载荷均布，支座对称布置，两支座反力相等。,列弯矩方程,可见M是x的二次抛物线，弯矩图是抛物线。,25,画弯矩图,画二次抛物线，确定几个特征点。,故有：,找最大弯矩,26,【例3-4】一简支梁AB，中部C点受力偶m作用，跨度为l。力偶离左端A点距离为a，离右端B点距离为b，试画出梁的弯矩图。,解：,求支座反力,载荷是力偶，两支座反力组成力偶。,列弯矩方程,AC段：,27,BC段：,画弯矩图,集中力偶作用处，弯矩发生突变。,突变大小=力偶矩,28,最大弯矩在力偶作用的截面上。,当ab时,当ba时,找最大弯矩,29,画弯矩图总结归纳,梁受集中力作用时，弯矩图必为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折。 梁受力偶作用时，弯矩图也是直线，但在力偶作用处，弯矩发生突变，突变的大小等于力偶矩。 梁受均布载荷作用时，弯矩图必为抛物线，如均布载荷向下，则抛物线开口向下，均布载荷向上，则抛物线开口向上。,30,31,【例3-6】用简捷方法画出悬臂梁的弯矩图。,32,【例3-7】外伸梁受载荷如图所示，已知q和a值，画出此梁的弯矩图。,解,求支座反力,33,求ABCD点的弯矩,在弯矩图上定出A CB D各点，直接画弯矩图,AC、CB段：直线,BD段：开口向下的抛物线，多取几点画之。,找危险截面B，|Mmax|=1/2qa2,34,35,3.4 弯曲时横截面上的正应力及其分布规律,CD：截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲 一般：截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为横力弯曲。,Q,Q=0,P,M,M=Pa,P,P,a,a,纯弯曲,A,B,C,D,36,现在研究纯弯曲时梁的变形规律,横向线m-m、n-n仍保持直线，但相对转过一个角度d。,纵向线变为弧线，a-a 缩短，b-b伸长，但仍与m-m、n-n线正交。,弯曲变形的平面假设,横截面在弯曲变形后仍保持为平面，只是绕截面内某一轴转动了一个角度。,一、纯弯曲时的弯曲变形特征,推论,37,重要推论,想像梁由许多纵向纤维组成，变形后上面纤维缩短，下面纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长又不缩短，此层称为中性层。,平面假设,中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时各个截面绕着中性轴转动。中性轴通过截面形心。,有中性层存在,横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，只是绕截面内某一轴转动了一个角度。,38,二、梁弯曲时横截面上的正应力及其分布规律,变形几何关系,除中性层外，上面纤维aa 缩短，下面纤维bb伸长，很显然，各层纤维的绝对变形量L与该层到中性层的距离y成正比。即： L y,梁纯弯曲时，横截面上只有正应力，为研究其分布规律，必须从几何、物理、静力平衡三方面进行分析。,39,L y,各层纤维的绝对变形量L与该层到中性层的距离y成正比。,纯弯曲时，各层纤维的应变与该层到中性层的距离y成正比。,40,物理关系（应力与变形关系）,横截面上各点的正应力的大小与该点到中性轴的距离 y 成正比。,纯弯曲时正应力分布规律：,离中性轴越远，应力越大，中性轴上应力为0。,中性层的一侧为拉应力，另一侧为压应力。,41,距中性轴为y处的正应力与距中性轴为ymax的最大应力max有如下的关系：,故应力分布规律可以写成,横截面上最大正应力发生离中性轴最远处,即截面的上下边缘处。,以下推导应力计算公式。,42,在横截面上距中性轴距离为y处，取微面积dA。,作用在微面积dA上的应力为，均匀分布。,作用在微面积dA上的微内力为 dA 。,微内力dA 对中性轴的微力矩为ydA 。,横截面上所有微力矩的总和就是横截面上的弯矩M 。即：,静力平衡关系（应力与弯矩的关系）,43,Jz 称为横截面对中性轴z 的轴惯性矩，取决于截面尺寸和形状，单位m4。,令：,则有：,44,令：,称为抗弯截面模量，单位为m3，也取决于截面尺寸和形状,梁弯曲时横截面上最大正应力公式：,45,横截面上 最大正应力,该截面弯矩,该截面抗弯 截面模量,试验和理论分析表明，对于细长梁（跨度与横截面高度之比l/h5）,用此公式计算横力弯曲时的正应力也是足够精确的。,46,轴惯性矩和抗弯截面模量,矩形截面,47,实心圆截面,圆环截面,工字钢截面的惯性矩和抗弯截面模量查教材附表8,48,3.5 梁弯曲时的强度条件,一、梁的最大正应力,梁的危险截面,梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上,危险截面位于梁中部,危险截面位于梁根部,梁的最大正应力,梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处,49,二、梁的强度条件,Mmax,梁内最大弯矩,WZ,危险截面抗弯截面模量,材料的许用应力,利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷。,50,【例3-7】有一型号为16的工字钢截面简支梁，如图所示。已知P=27.5KN。钢材弯曲许用应力=120MPa，试校核梁的强度。,解：,最大弯矩发生在集中力P作用处，即梁的中点。,查附表8 ，16号工字钢WZ=141cm3=141000mm3。,故钢梁的最大正应力为,此梁安全,51,【例3-9】悬臂梁由两根工字钢组成，设备总重P（包括物料重）为10kN，设备中心到固定端的距离a=1.5m，L=2.2m，如图所示。钢材弯曲许用应力=140MPa。试按强度要求选择工字钢尺寸( 型号)。,解：,查附表8，选择12.6号工字钢，Wz=77.5cm3，符合要求。,每一根梁,52,【例3-10】有一型号为40a的工字钢简支梁，跨度L=8m，弯曲许用应力=140MPa，求梁能承受的均布载荷q。,解：,最大弯矩发生在梁的中点，,查附表8，40a工字钢的Wz=1090cm3，代入强度条件得：,53,【例3-11】接上例，型号40a工字钢的截面积约为86.1cm2，如果换成矩形截面梁，截面高宽比h/b=2，要求也能承受q=19075N/m均布载荷，试求矩形截面面积。,解：,矩形截面梁：,要求也能承受q=19075N/m均布载荷，矩形截面梁的WZ也应为1090cm3。,承受相同载荷，矩形梁的截面面积是工字钢梁的3.24倍。,54,3.6 梁截面合理形状的选择,承受相同载荷，工字型截面比矩形截面更节省材料。因此，在承受相同载荷情况下，合理选择梁的截面形状，可以大大节省材料。,根据弯曲强度条件,同样载荷条件下， WZ ，梁强度,合理截面,因此，在不增加材料面积A情况下， WZ越大越好。即：WZ/A应尽可能大。这样的截面称合理截面。,55,三种截面合理性比较,56,上下边缘处应力最大,靠近中性轴处，应力较小，材料没有充分利用,从弯曲应力分布解释截面合理性,要使材料充分发挥作用，就应该把材料用到应力较大的地方，即将材料放到离中性轴较远的地方。,M,57,根据材料性能选择截面,材料拉压性能不同时，还应使截面两边的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。,塑性材料：拉= 压，对中性轴对称截面（如工字型截面）,脆性材料：拉压，中性轴偏向受拉一边（如T字型截面）,58,等强度梁,按梁危险截面上的最大弯矩来计算的。,对等截面梁： 危险截面max=时 其它截面max,等截面梁不能充分发挥材料作用,等截面梁,59,为节省材料，应使梁内各个截面上的最大应力都达到或接近许用应力，这样的梁称为等强度梁。,等强度梁各个截面并不相同，属于变截面梁。,摇臂钻的横臂,支架,阶梯轴,60,3.7 梁的弯曲变形,工程问题中，有些梁除了要满足强度要求外，还往往要求变形不能过大，即还有刚度要求。因此需要研究梁的弯曲变形。,61,齿轮轴,弯曲变形实例,62,切削中的工件与钻床,63,梁的变形可用变形后轴线的形状来说明，各处的变形状况用挠度和转角来表示。,一、梁的挠度和转角的概念,梁任意截面形心O1变形后移至O1，其垂直位移 f 称为该截面的挠度，向下为正，单位是mm。,梁弯曲变形后的轴线称为弹性曲线或挠曲线。,挠度,64,转角,梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角，用表示，逆时针转为正，单位是rad。,截面的转角等于该截面处弹性曲线的切线与梁轴线的夹角。,65,悬臂梁的自由端挠度最大，转角也最大。,梁的变形与EJZ成反比， EJZ称抗弯刚度。,简单载荷下各种梁的最大挠度和转角计算公式见教材基本变形表3-3。,66,用叠加法求梁的变形,叠加法 当梁上同时作用几个载荷时，梁的总变形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。,在弹性范围内，梁的挠度和转角都和载荷是成正比的，可用叠加法来求几种载荷同时作用下梁的变形：,67,二、弯曲的刚度条件,梁的刚度条件:,一般是控制挠度，工程中梁的变形许可值常取 f / l ,如吊车梁f/l=1/750-1/250.,68,【例3-12】例3-9的悬臂梁（E=2.1105MPa），选择12.6号工字钢，强度是满足的，现在还需要刚度校核，规定最大挠度应小于L/250。,B,P/2,A,a,L,c,C,fc,书上有错误,解：,69,根据刚度条件:,由附表6查出12.6号工字钢的JZ=488cm4，因此刚度不够，需要14号工字钢，其JZ=712cm4。,70,【例3-13】一简支梁受均布载荷作用，q=4600N/m（含梁的自重）。该梁为工字钢，跨度l=10m，材质Q235-A，工作温度240，梁的许用挠度f=10000/720，试选择工字钢的型号。,解：,由表3-3知，最大挠度在梁的中点，最大挠度为,刚度条件为:,由附表5查得250 时Q235-A的E=1.83105MPa，,71,由上式得：,由附表6查出40c