高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案新人教版.docx

3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型学习目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点).知识点三种函数模型的性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度yax(a1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于yxn(n0)的增长速度，ylogax(a1)的增长速度越来越慢存在一个x0，当xx0时，有axxnlogax【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.()(2)函数ylog2x增长的速度越来越慢.()(3)不存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.()提示(1)因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值.(2)由函数ylog2x的图象可知其增长的速度越来越慢.(3)根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.题型一几类函数模型的增长差异【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是()A.y2 017x B.yx2 017C.ylog2 017x D.y2 017x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是_.解析(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案(1)A(2)y2规律方法常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，x0，a1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)axb(a，b，为常数，a0，1)表达的函数模型，其增长情况由a和的取值确定.【训练1】下列函数中随x的增大而增长速度最快的是()A.yex B.y100 ln xC.yx100 D.y1002x解析指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.答案A典例迁移题型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12，9x210，所以x16x2，从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(6)x2时，f(x)g(x)，所以f(2 011)g(2 011).又因为g(2 011)g(6)，所以f(2 011)g(2 011)g(6)f(6).【迁移1】(变换条件)在例2中，若将“函数f(x)2x”改为“f(x)3x”，又如何求解第(1)题呢？解由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)3x.【迁移2】(变换所求)本例条件不变，例2(2)题中结论改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小.解因为f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12，9x210，所以x18x2，从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(8)x2时，f(x)g(x)，所以f(2 015)g(2 015)，又因为g(2 015)g(8)，所以f(2 015)g(2 015)g(8)f(8).规律方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.题型三函数模型的选择问题【例3】某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数yf(x)ax2bxc(a，b，c均为待定系数，xN*)或函数yg(x)pqxr(p，q，r均为待定系数，xN*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？解根据题意可列方程组解得所以yf(x)5x235x70.同理yg(x)800.5x140.再将x4分别代入与式得f(4)54235470130(t)，g(4)800.54140135(t).与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数yg(x)pqxr作为模拟函数较好.规律方法建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.【训练2】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为100105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100103.09(元)，收益为3.09元.通过以上分析，应购买B种债券.课堂达标1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x45678910y15171921232527A.一次函数模型 B.二次函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型解析随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型.故选A.答案A2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是()A.y3x B.ylog3xC.yx3 D.y3x解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.答案D3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是()解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图象大致为D中图象.答案D4.当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A.2xx2log2x B.x22xlog2xC.2xlog2xx2 D.x2log2x2x解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数ylog2x，yx2，y2x的图象(图略)，在区间(2，4)上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图象，所以x22xlog2x.法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x3，经检验易知选B.答案B5.有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入资金m(万元)的关系式为pm，q.今有3万元资金投入这两种商品.若设甲商品投资x万元，投资两种商品所获得的总利润为y万元.(1)写出y关于x的函数表达式；(2)如何分配资金可使获得的总利润最大？并求最大利润的值.解(1)由题意知，对甲种商品投资x万元，获总利润为y万元，则对乙种商品的投资为(3x)万元，所以yx(0x3).(2)令t(0t)，则x3t2，所以y(3t2)t，所以当t时，ymax1.05(万元).由t可求得x0.75(万元)，3x2.25(万元)，所以为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，此时获得最大利润为1.05万元.课堂小结三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.(3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快.基础过关1.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A.一次函数 B.二次函数C.指数型函数 D.对数型函数解析对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意.答案D2.下列函数中，随x增大而增大速度最快的是()A.2 017ln x B.yx2 017C.y D.y2 0172x解析由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y2 0172x的增长速度最快.故选D.答案D3.若x(1，2)，则下列结论正确的是()A.2xxlg x B.2xlg xxC.x2xlg x D.xlg x2x解析x(1，2)，2x2.x(1，)，lg x(0，1).2xxlg x.答案A4.函数yx2与函数yxln x在区间(0，)上增长较快的一个是_.解析当x变大时，x比ln x增长要快，x2要比xln x增长的要快.答案yx25.三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：x1.003.005.007.009.0011.00y151356251 7153 6456 655y25292452 18919 685177 149y35.006.106.616.957.207.40其中关于x呈对数函数型变化的变量是_，呈指数函数型变化的变量是_，呈幂函数型变化的变量是_.解析根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.答案y3y2y16.有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？解设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1a(120%)5(110%)5a(1.21.1)54a.乙方案在10年后树木产量为：y22a(120%)52a1.254.98a.y1y24a4.98a1010，得()x108，两边同时取以10为底的对数，得xlg8，x.45.45，x45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个.能力提升8.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()解析取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容器高的一半时，体积V大于一半.易知B符合题意.答案B9.下面对函数f(x)logx，g(x)与h(x)x在区间(0，)上的衰减情况说法正确的是()A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快解析观察函数f(x)logx，g(x)与h(x)x在区间(0，)上的大致图象如图，可知：函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.答案C10.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i1，2，3，4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1).有以下结论：当x1时，甲走在最前面；当x1时，乙走在最前面；当0x1时，丁走在最后面；丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_.解析四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，正确.答案11.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：yat(t0，a0且a1)的图象.有以下叙述：第4个月时，残留量就会低于；每月减少的有害物质量都相等；若残留量为，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1t2t3.其中所有正确叙述的序号是_.解析根据题意，函数的图