高考数学第8章立体几何初步第七节空间角与距离课件理.pptx

第七节 空间角与距离,知识点一 空间角,1.求两条异面直线所成的角,设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,|cosa，b,2.求直线与平面所成的角,|cosa，n|,3.求二面角的大小,(1)若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是与的夹角(如图)即_.,(2)设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)即n1，n2或_. (3)二面角的范围是_.,n1，n2,0，,两个易错点：直线与平面所成的角；二面角.,答案 30,(2)求二面角时容易出错的地方是误以为两个平面的法向量所成的角等于所求二面角的大小，在计算时对两个面的法向量和二面角的关系判断错误，在平面的法向量方向不同时把锐二面角的余弦值算出个负值已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_.,知识点二 空间中的距离,1.两点间的距离：即两点间连线的长度，可以建立坐标系，写出两点的坐标， 由两点间的距离公式求出，也可以转化为与之相等的线段的长度，借助图形求解. 2.点与线间的距离、点与面间的距离：由点向直线(平面)作垂线，点与垂足间的距离即垂线段长度，就是点到线(面)的距离.一般转化为两点间的距离来求.,3.线面间的距离：一直线与一平面平行，直线上任意一点到平面的距离，就是直线到平面的距离.可以转化为_，_，_间的距离求解. 4.两平面间的距离：两平面平行时，其中一个平面内的一点到另一个平面的距离就是两平面间的距离，一般都通过转化成前几种距离来求解.,线与线,点与线,点与点,5.用空间向量求距离,(1)点线距：直线l的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M到直线l的距离d_. 线线距：两平行线间的距离，转化为点线距离；两异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度. (2)点面距：点M到平面的距离 用点到平面距离的定义，直接求由点M向平面所引垂线段MH的长度，即 ； 已知MN为平面的一条斜线段(N在平面内)，n为平面的 法向量，则M到平面的距离d_.,一类重要距离：点到平面的距离.,(3)可用几何知识转化为求线段长度，也可利用空间向量知识求解设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_.,直线与平面所成的角求解方略,利用向量法求线面角的方法,(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角.,【例1】 (2016福州模拟)如图，四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，ABBCBD4，E，F分别为棱BC，AD的中点.,(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值； (2)求点E到平面ACD的距离； (3)求EF与平面ACD所成角的正弦值.,解 如图，分别以BC，BD，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为B(0，0，0)，A(0，0，4)，C(4，0，0)，D(0，4，0)，E(2，0，0)，F(0，2，2).,点评 求各种角的方法一般都是先确定两个向量(方向向量或者法向量)，求这两个向量夹角的余弦值，注意确定所求夹角与向量夹角的关系，最后得到所求的角或角的三角函数值.,求二面角的常用方法,二面角求解方略,(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小. (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.,(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； (2)求二面角AA1C1B1的正弦值； (3)设N为棱B1C1中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长.,解 如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.,点评 解决本题的关键是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.,立体几何中探索性问题求解策略,【示例】 (2016云南玉溪一中第四次月考)如图，已知长方形ABCD中，AB2，AD1，M为DC的中点，将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM.,(1)证明 长方形ABCD中，AB2，AD1，M为DC中点，AMBM2.BMAM. 平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCMAM，BM平面ABCM.BM平面ADM，AD平面ADM，ADBM.,方法总结 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断. (1)对于存在判断型问题的求解，应