2018届高三数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和课件理.pptx

理数 课标版,第二节 等差数列及其前n项和,1.等差数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前一项的 差 都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为 an+1-an=d (nN*,d为常数).,教材研读,(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 A= ,其中A 叫做a,b的 等差中项 .,2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:an= a1+(n-1)d . (2)前n项和公式:Sn= na1+ d = .,3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,mN*). (2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 ak+al=am+an . (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为 2d . (4)若an,bn(项数相同)是等差数列,则pan+qbn也是等差数列. (5)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为 md 的等差数列.,判断下列结论的正误.(正确的打“”,错误的打“”) (1)数列an(nN*)为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an,+an+2. () (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的. () (3)等差数列的前n项和公式可看作常数项为0的二次函数.() (4)在等差数列an中,若am+an=ap+aq,则一定有m+n=p+q. () (5)数列an,bn(项数相同)都是等差数列,则数列an+bn也一定是等差 数列. () (6)等差数列an的首项为a1,公差为d,取出数列中的所有奇数项,使其按 原顺序组成一个新的数列,则此新数列一定是等差数列. (),1.若等差数列an的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7= ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 B 由S5= 25= a4=7,所以7=3+2dd=2,所 以a7=a4+3d=7+32=13,故选B.,2.(2016课标全国,3,5分)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100 = ( ) A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C 设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得 解得 an=a1+(n-1)d=n-2,a100=100-2=98.故选 C.,3.(2015广东,10,5分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= . 答案 10 解析 利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5 a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.,4.(2016北京,12,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5= 0,则S6= . 答案 6 解析 设等差数列an的公差为d,a1=6,a3+a5=0, 6+2d+6+4d=0,d=-2,S6=66+ (-2)=6.,考点一 等差数列的基本运算,考点突破,典例1 (1)(2015课标,7,5分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an 的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( ) A. B. C.10 D.12 (2)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5=8,S3=6,则S10-S7的值是 ( ) A.24 B.48 C.60 D.72,答案 (1)B (2)B 解析 (1)由S8=4S4得8a1+ 1=4 ,解得a1= ,a10=a1+9d = ,故选B. (2)设等差数列an的公差为d,由题意可得 解得 则,S10-S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48.,方法技巧 解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及 通项公式或前n项和公式列方程(组)求解. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻 求两者间的联系,整体代换即可求解. (3)利用性质:运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.,1-1 设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= . 答案 -72 解析 设等差数列an的公差为d, 由已知,得 解得 S16=163+ (-1)=-72.,1-2 已知等差数列an中,a1=1,a3=-3. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列an的前k项和Sk=-35,求k的值. 解析 (1)设等差数列an的公差为d, 则an=a1+(n-1)d. 因为a1=1,a3=-3,所以1+2d=-3,解得d=-2,则an=1+(n-1)(-2)=3-2n(nN*).,(2)由(1)知an=3-2n,则Sn= =2n-n2.,由Sk=-35,得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0, 解得k=7或k=-5,又kN*,所以k=7.,考点二 等差数列的判断与证明 典例2 (2016天津,18改编)已知an是各项均为正数的等差数列,公差 为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项. (1)设cn= - ,nN*,求证:数列cn是等差数列; (2)设a1=d,Tn= (-1)k ,nN*,求Tn. 解析 (1)证明:由题意得 =anan+1,有cn= - =an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此 cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列. (2)Tn=(- + )+(- + )+(- + ) =2d(a2+a4+a2n) =2d =2d2n(n+1).,方法技巧 1.等差数列的识别依据 (1)若数列an是等差数列,则数列an+b仍为等差数列,公差为d. (2)若bn,an(项数相同)都是等差数列,则anbn仍为等差数列. (3)an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列. (4)数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列.,2.证明等差数列的两种基本方法 (1)定义法:证明an-an-1=d(n2,d为常数). (2)等差中项法:证明2an=an-1+an+1(n2).,2-1 (2016东营模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2=2an+1-an,a5 =4-a3,则S7= ( ) A.7 B.12 C.14 D.21 答案 C 由an+2=2an+1-an,得an+2+an=2an+1,即数列an为等差数列,由a5=4- a3,得a5+a3=4,则S7= = =14.,2-2 已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3a4=117, a2+a5=22. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn= ,是否存在非零实数c使得bn为等差数列?若 存在,求出c的值;若不存在,请说明理由. 解析 (1)设等差数列an的公差为d,则d0, 由等差数列的性质,得a3+a4=a2+a5=22, 所以a3,a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解, 所以a3=9,a4=13,易得a1=1,d=4, 故an=1+(n-1)4=4n-3.,(2)解法一:存在. 由(1)知Sn= =2n2-n,所以bn= = (c0). 所以b1= ,b2= ,b3= . 令2b2=b1+b3,解得c=- . 当c=- 时,bn= =2n, 此时,bn-bn-1=2(n2). 故存在c=- ,使数列bn为等差数列.,解法二:存在. bn= = = , c0,要满足题意,需c=- ,得到bn=2n. 此时bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(nN*), 即数列bn是公差为2的等差数列. 存在c=- ,使数列bn为等差数列.,考点三 等差数列的性质及最值 典例3 (1)在等差数列an中,a1=29,S10=S20,则数列an的前n项和中最大 的为 ( ) A.S15 B.S16 C.S15和S16 D.S17 (2)设等差数列an的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为18 0,Sn=324(n6),则n= . (3)等差数列an的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为 . 答案 (1)A (2)18 (3)60 解析 (1)S10=S20, 10a1+ d=20a1+ d,又a1=29,d=-2,Sn=29n+ (-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225. 当n=15时,Sn取得最大值. (2)由题意知a1+a2+a6=36, an+an-1+an-2+an-5=180, +得(a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,a1+an=36, 又Sn= =324,18n=324,n=18. (3)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, 可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, 即S2m= = =60.,方法技巧 1.等差数列和的性质 (1)S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1). (2)S2n-1=(2n-1)an. (3)当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd;项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=an,S奇S偶 =n(n-1).,2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法:等差数列前n项和Sn=An2+Bn,通过配方,借助求二次函数最值 的方法求解. (2)邻项变号法: a10,d0时,满足 的项数m使得Sn取得最小值Sm.,3-1 设Sn是等差数列an的前n项和,若 = ,则 = ( ) A.1 B.-1 C.2 D. 答案 A = = = =1.,变式3-2 若将本例(1)中的条件“a1=29,S10=S20”改为“a10,S5=S12”,如 何求解? 解析 解法一:由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,则d=- a10. 所以Sn=na1+ d =na1+ ,=- a1(n2-17n) =- a1 + a1, 因为a10,nN*, 所以当n=8或n=9时,Sn有最大值. 解法二:同解法一得d