高等数学大二第二学期总复习.ppt

总 复 习,不定积分 定积分 微分方程,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,如果在区间,I,内，可导函数,的导函数为,，即,I,x,“,，都有,或,，那么函数,就称为,或,在区间,I,内原函数,.,不 定 积 分,2、不定积分,(1) 定义,在区间,I,内，函数,的带有任意常数项,的原函数称为,在区间,I,内的,不定积分,，记,为,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,3、基本积分表,是常数),2、第一类换元积分法,1、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.,不定积分的计算,常见类型:,3、第二类换元积分法,第二类换元公式,（主要应用于无理函数的不定积分）,当被积函数中含有,令,令,令,三角代换的一般规律:,倒代换,分母的阶较高时,可采用,1. 原则:,2. 经验:,3. 题目类型 :,化简型;,循环型;,递推型.,v要易求;,易求.,“指三幂对反三”的顺序,前为,后为,4、分部积分法,例：一条曲线过点(1, 2)，且在每一点处的切线斜率 为 ，求该曲线方程。,(A) 有极限存在； （B）连续； (C) 有界； （D）有有限个间断点,选择题,D,特殊形式的定积分计算,1. 对称区间上的积分,考察被积函数是否为奇偶函数,用奇偶函数,的“特性”处理.,2. 分段函数的积分,认清积分限是被积函数定义域的哪个区间,的端点,然后按段积分求和.,3. 被积函数带有绝对值符号的积分,在作积分运算之前设法去掉绝对值.,(注意符号!),定 积 分,1、定积分的定义,(2),(3),2.关于函数的可积性,可积.,且只有有限个间,可积.,断点,充分条件,(1),有界.,必要条件,3、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,4、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,5、定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,6、广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,求这两条曲线,及直线,所围成的区域的,面积A.,(1),即,7、定积分在几何中的应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,(2),由曲线,和直线,所围成的区域的,面积A.,(2) 体积,例 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,例,解,则,P 265. 1 (6) (7),1、基本概念,微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,微 分 方 程,通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件 用来确定任意常数的条件.,初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程的解法,(2) 齐次方程,解法,作变量代换,(3) 一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,线性无关,定义,线性相关.,否则称,线性无关.,如,线性相关,该区间内恒等式,如果存在两个不全为零的常数k1和k2 ,使得当x在,则称这两个函数在区间I内,为定义在区间I内的函数.,即仅当k1=k2=0时上述等式成立.,成立,实际上,线性无关.,若在I上有,、二阶常系数齐次线性方程