《根轨迹系统》PPT课件.ppt

教学目的：利用根轨迹分析系统性能 教学重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹分 析系统性能 教学难点：根轨迹分析系统性能 本章授课学时：6,第四章 根轨迹法,第一节 根轨迹法的基本概念,第二节 根轨迹绘制的基本法则,第四节 控制系统的根轨迹法分析,第五节 仿 真 实 现,本 章 研 究 内 容,第四章 根轨迹法,返回,第六节 本章小节,第三节 广义根轨迹,4.1 根轨迹法的基本概念,根轨迹概念,根轨迹方程,4.1.1 根轨迹概念 系统开环传递函数中某一参数从零变到无穷大 时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。,根轨迹法： 利用根轨迹分析系统性能的方法。,（图解法）,4.1 根轨迹法的基本概念,已知: 一单位反馈二阶系统的开环传递函数为：,闭环传递函数为：,闭环系统特征方程为：,闭环系统特征根(即闭环极点)为：,，,研究开环放大系数K与闭环特征根s1、s2之间的关系：,R(s) C(s),K s1 s2 0 0 -2 0.5 -1 -1 -1+j1 -1-j1 2 -1+j -1-j,K=1,K=1,K=2,K=2,K=0,K=0,K=0.5,-1,j,-2,0,开环放大系数K改变,改变特征根位置,改变系统性能,j1,-j1,闭环系统特征方程为：,反映了系统开环传递函数与闭环特征方程之间的关系,4.1.2 根轨迹方程,系统开环传递函数,系统闭环传递函数,设系统开环传递函数的一般形式为:,K系统开环增益 K*根轨迹增益或根轨迹放大倍数 -zi, i=1,2m开环传递函数的零点 -pj, j=1,2n开环传递函数的极点,特征方程为:,根轨迹方程,绘制根轨迹时，实质上就是当某一参数(K*) 变化时，寻求闭环特征方程式解的变化轨迹。,幅角条件：,i开环有限零点到根轨迹上点s的矢量幅角 j开环极点到根轨迹上点s的矢量幅角，幅角按逆时针方向为正,满足幅值条件和幅角条件的 s 值，就是闭环特 征方程的根，这些根所描述的曲线就是根轨迹,幅值条件：,根轨迹上任一点满足,幅值条件,幅角条件,绘制根轨迹的基本法则,本 章 返 回,4.2 根轨迹绘制的基本法则,根轨迹绘制举例,4.2.1 绘制根轨迹的基本法则, 绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： 起点、终点、根轨迹数和对称性、 实轴上的根轨迹、分离点和汇合定、 根轨迹的渐近线、根轨迹的出射角和入射角、 根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 (9项),本 节 返 回,本 章 返 回,当 K*=0 时，有,1、起点（K*=0）,2、终点（K*=）,当 K*= 时，有,根轨迹起始于开环极点,根轨迹终止于开环零点,（有限零点）,3、根轨迹数和它的对称性,4、实轴上的根轨迹,设 Nz实轴上根轨迹右侧开环有限零点的数目 Np实轴上根轨迹右侧开环极点的数目。,在实轴上根轨迹分支存在的区间的 右侧，开环零、极点数目的总和为奇数,根轨迹数为开环极点数n；根轨迹都对称于实轴,本 节 返 回,本 章 返 回,实轴上根轨迹存在的条件： Nz + Np =1+2k,k=0,1,2,A B C,Nz + Np =3,Nz + Np =5,Nz + Np =1,本 节 返 回,本 章 返 回,5、分离点和会合点,分离点,会合点,b a,s2 -z1 -p1 s1 -p2,确定分离点和会合点的位置： 当K*= Kd* 分离点和会合点 闭环特征方程式的重根。,本 节 返 回,本 章 返 回,本 节 返 回,本 章 返 回,设系统的开环传递函数为：,计算分离点、会合点的位置：,注意： 1、分离点、会合点一定在实轴上 2、求得的Kd*值必须大于零,求分离点和会合点(重根) s=-d方法,本 节 返 回,本 章 返 回,6、 根轨迹的渐近线,渐近线的倾角 渐近线的交点,渐近线包括 两方面内容,求得的Kd*0,有独立的(n-m)条, 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根si ，则s平面上所有开 环有限零点-zi和极点-pj到si的矢量辐角都相等， 即：i=j= 代入幅角条件，得：,渐近线的倾角为：,k=0,1,2,本 节 返 回,本 章 返 回, 渐近线的交点 设无限远处有特征根si ，则s平面上所有开环 有限零点-zi和极点-pj到 si的矢量长度都相等。可 认为对于si来说，所有开环零点和极点都汇集在 一起，设位置为-,此即为渐近线交点。 求此交点坐标- ：,本 节 返 回,本 章 返 回,渐近线交点为：,渐近线的交点在实轴上,试 计算渐近线倾角和交点，即确定渐近线的位置。 解：由开环传递函数可知：m=0，n=3，故有3条渐近线。,渐近线交点为：,180,60,-60,j,渐近线,-=-5/3,渐近线,渐近线,例 设开环传递函数为：,本 节 返 回,渐近线倾角为：,本 章 返 回,7、根轨迹的出射角和入射角,入射角：,i 除被测终点外，所有开环有限零点到该点的矢量辐角 j 开环极点到被测终点的矢量辐角。,i 开环有限零点到被测起点的矢量辐角； j 除被测起点外，所有开环极点到该点的矢量辐角,出射角：,复数极点根轨迹的出射角 复数零点根轨迹的入射角,本 节 返 回,本 章 返 回,p4=-1+j1,p3=-1-j1,1,2,3,c,1,求极点 p4 处的出射角：,本 节 返 回,【例 4-1】 已知开环传递函数为： 试 确定根轨迹的出射角。 解：该系统的开环零点和开环极点分别为： -z=-2，-p 1=0，-p 2=-3，-p3,4=-1j 对于极点 p3 和 p4有出射角。,本 章 返 回,-p2=-3 -z=-2 -p1=0,p3处的出射角为：,8、根轨迹和虚轴的交点 应确定根轨迹与虚轴交点的坐标值和临界放大系数Kp*值。 例 4-2 已知系统开环传递函数为： 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数 。,本 节 返 回,本 章 返 回,解得：=0，,本 节 返 回,本 章 返 回,解： 系统特征方程为： 1+Gk(s)=0 s3+3s2+2s+K*=0 方法一：当根轨迹与虚轴相交时 ，令 s=j， 代入上式, 得： 即： 根轨迹与虚轴的交点坐标为： 临界放大系数为：,方法二： 利用劳斯判据计算交点和临界放大系数,令 s1 行为零，即 (6-K*)/3 = 0，得： =6 根轨迹与虚轴的交点： 由 s2 行的辅助方程求得，即令 3s2 +K* =0，得：,本 节 返 回,由特征方程： F(s)=s3+3s2+2s+K*=0 劳斯行列表：s3 1 2 s2 3 K* s1 (6-K*)/3 0 s0 K*,本 章 返 回,9、闭环极点的性质 1）若特征方程的阶次 n-m2，则 一些根轨迹右行时 另一些根轨迹必左行,j,本 节 返 回,-2,-1,0,本 章 返 回,特征方程：,改写为： 常数，各特征根之和,本 节 返 回,本 章 返 回, 常数，各特征根之积,2）闭环特征根与系数关系,绘制根轨迹的法则： 1、起点(K*=0) 开环传递函数Gk(s)的极点即为根轨迹的起点。 2、终点(K*=) 开环传递函数Gk(s)的零点(包括无限零点)即为根 轨迹的终点。,3、根轨迹数目及对称性 根轨迹数目与开环极点数n相同，根轨迹对称于实轴 4、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹右侧的零、极点数目之和应为奇数,本 节 返 回,本 章 返 回,渐近线的交点：,6、根轨迹的渐近线,(有n-m条渐近线),渐近线的倾角：,本 节 返 回,本 章 返 回,5、分离点与会合点 注意： 求出s=-d后，应把它代入 计算K*，只有Kd*为正值， s=-d才是分离点或会合点。,7、根轨迹的出射角和入射角,出射角：,入射角：,8、根轨迹与虚轴的交点。 按劳斯判据计算 9、根轨迹性质 一些根轨迹向右行时，另一些根轨迹必向左行 根与系数关系：,复数极点,复数零点,本 节 返 回,本 章 返 回,R(s) C(s),【例4.3】 用根轨迹绘制法则重新绘制图4.1所示的 二阶系统的根轨迹。 解：系统的开环传递函数为:, 起点。 根轨迹起始于两个开环极点，s0=0, s1=-2 终点。 根轨迹终止于两个开环无限零点，即两条根轨迹都 终止于无限远处。,K*=2K,4.2.2 根轨迹绘制举例, 分离点。,本 节 返 回,本 章 返 回, 根轨迹数。有两条根轨迹。 实轴上根轨迹。在0和-2之间必有根轨迹。,(k=0), 渐近线。有n-m=2条独立的渐近线。,渐近线的倾角：,渐近线的交点：,渐近线,j,本 节 返 回,-2 -1 0 ,本 章 返 回,K*=K/2 起点：起始于两个开环极点 s0=0, s1=-2 。 终点： 终止于一个开环有限零点 s=-4和一个无限零点 实轴上根轨迹： 在0 -2之间和-4 -之间有根轨迹,R(s) C(s),【例4.4】 已知具有开环零点的二阶系统结构图, 试绘制系统的根轨迹。,解：系统的开环传递函数为,分离点和会合点：, 根轨迹上的分离点和会合点：, 复平面上根轨迹 设复平面上特征根为：s=+j，其满足下式：,圆: 圆心为（-4, j0)，半径为,本 节 返 回,本 章 返 回,s1 - 4 -2 0,s2,会合点=-6.828,分离点=-1.172,开环系统中加入 一个零点随着 K*的增大，根 轨迹向左偏移远离虚轴，使系统动态性能改善。,本 节 返 回,本 章 返 回, 起点：三个开环极点s0=0, s1=-2，s2=-4 终点：终止于三个开环无限零点，无限远 根轨迹数：三条,本 节 返 回,本 章 返 回,【例4.5】 已知三阶系统的结构图， 试绘制该系统的根轨迹。,K*=8K, 实轴上根轨迹： 在0 -2和-4 -之间有根轨迹。 分离点：,s=-0.85， s=-3.15（省略）, 渐近线：有n-m=3条渐近线。 渐近线倾角：,渐近线交点：, 根轨迹与虚轴交点： 特征方程： 劳斯行列表： s3 1 8 s2 6 K* s1 (48- K*)/6 0 s0 K*,K*=Kp* =48,6s2 + K* =6s2 + 48=0 得：,二阶系统中加入一个极点，随着K*的增大，根 轨迹向右偏移并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。,60,-60,-2,-0.85,-180,渐近线,渐近线,渐近线,-4,4、具有复数极点的四阶系统,C(s) R(s),本 节 返 回,本 章 返 回,K*=3K, 起点：四个开环极点 0，-3，-1j1；有4条根轨迹 终点：一个开环有限零点-2，3个无限零点。 实轴上根轨迹：在0 -2和-3 -之间有根轨迹。 渐近线：有3条渐近线, 出射角： c1=-26.6 ，c2=26.6,本 节 返 回,本 章 返 回, 根轨迹与虚轴的交点： 闭环特征方程： s4+5s3+8s2+(6+K*)s+2K*=0 s4 1 8 2K* s3 5 （6+K*） s2 8-(6+K*)/5 2K* s1 (6+K*)-10K*/8-(6+K*)/5 0 s0 2K*,K*=7，K= K*/3 =2.33,8-(6+K*)/5 s2 + 2K*=0 得：s = j1.61,-3 -2 -1 0,sc1=-26.6,sc2=26.6,本 节 返 回,本 章 返 回,求根轨迹与虚轴相交时，另外两个根R3 、R4。,即： R3 = 1.58， R4= 3.42,本 节 返 回,s4+5s3+8s2+(6+K*)s+2K*=0,特征方程：,本 章 返 回,R1+R2+R3+R4=(+j1.61)+(-j1.61)+R3+R4=5 R1R2R3R4=(+j1.61)(-j1.61)R3R4=2K*,4.3 广义根轨迹,参数根轨迹,零度根轨迹,本 章 返 回,本 节 返 回,本 章 返 回,除根轨迹增益 外，把开环系统的其他参数从零变化到无穷或在某一范围内变化时，闭环系统特征根的轨迹叫参数根轨迹。,【例4.6】 已知控制系统结构图如图4.13所示，当,时，试绘制参数,变化时的根轨迹。,4.3.1 参数根轨迹,解：系统闭环传递函数为：,特征方程为：,等效开环传递函数,称为等效根轨迹增益,一般绘制系统参数根轨迹的步骤归纳如下: (1) 写出原系统的特征方程。 (2) 以特征方程式中不含参量的各项除特征方程， 得等效系统的根轨迹方程。该方程中原系统的 参量即为等效系统的根轨迹增益。 (3) 绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根 轨迹。,本 节 返 回,本 章 返 回,4.3.2 零度根轨迹,正反馈系统的根轨迹。,闭环传递函数为:,特征方程式为:,设开环传函的零、极点表达式为:,（k=0，1，2，）,正反馈系统的根轨迹方程:,幅值条件:,相角条件:,本 节 返 回,本 章 返 回,零度根轨迹绘制方法： 起点、终点和条数（相同）： (2) 实轴上的根轨迹存在的区间为其右侧实轴上的开环 零点和极点个数之和为偶数。 (3) 根轨迹的分离点和会合点的计算方法同常规根轨迹。 (4) 根轨迹的渐近线与实轴的交点的计算方法同常规根轨 迹。倾角的计算公式为：,本 节 返 回,本 章 返 回,(5) 根轨迹的出射角和入射角的计算公式为,(6) 根轨迹与虚轴交点的计算方法同常规根轨迹。,本 节 返 回,本 章 返 回,控制系统的稳定性分析,本 章 返 回,4.4 控制系统的根轨迹法分析,控制系统的暂态性能分析,控制系统的稳态性能分析,开环传递函数 闭环系统根轨迹,本 节 返 回,本 章 返 回,4.4.1 控制系统的稳定性分析,Kp*48不稳定,条件稳定系统,本 节 返 回,本 章 返 回,稳定条件：,不稳定条件：,本 节 返 回,本 章 返 回,典型二阶系统：,特征方程,绘制参数变化时的参数根轨迹：,等效特征方程：,起点（=0）：s1=+jn, s2=-jn，2条 终点（）：s=0，无穷远 分离点：,本 节 返 回,本 章 返 回,4.4.2 控制系统的暂态性能分析,二阶系统： =0：等幅震荡 01：衰减震荡 1：单调变化,暂态过程主要取决于离虚轴近的极点 当R2 6R1时，可忽略R2的影响,-R2 -R1,单位阶跃响应为单指数上升,1、闭环系统有两个负实极点,2、闭环系统有一对复极点,单位阶跃响应为衰减振荡特性 离虚轴越近震荡越强,-R1,-R2,本 节 返 回,本 章 返 回,总结（任意系统）：,3、闭环系统附加一个零点,4、闭环系统附加一个实极点,附加极点的作用： 使系统相位滞后，相当于增加阻尼比，超调量减小，但调节时间增长,-R,-n,-z,-n,附加零点的作用： 使系统相位超前，相当于减小阻尼比 ，超调量增加,本 节 返 回,本 章 返 回,5、增加开环零点,Kp* =6,-2 -1,-2 -1.6 -1 0,改变根轨迹形状,本 节 返 回,本 章 返 回,6、增加开环极点改变根轨迹形状,-p1,-p2 -p1,0,本 节 返 回,本 章 返 回,根轨迹分析系统暂态性能解决两方面问题： 1、由根轨迹上根的位置 求系统暂态性能,根轨迹上特征根位置 ，n,2、由系统暂态性能指标的要求 确定系统特征根的位置,本 节 返 回,本 章 返 回,阻尼线,超调量 阻尼线 调节时间,若没有合适根轨迹，应加入一定校正装置（引入适当零、极点），改变根轨迹形状，使其进入该工作区域，然后确定闭环极点位置及相