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1,二阶常系数齐次线性方程定义,二阶常系数齐次线性方程解法,小结 思考题 作业,n阶常系数齐次线性方程解法,5.7 常系数齐次线性微分方程,齐次,常系数,常系数齐次,常系数齐次,常系数齐次,第5章 微分方程,2,方程,二阶常系数非齐次线性方程,二阶,常系数,齐次,线性,一、定义,3,- 特征方程法,将其代入方程,故有,特征根,二阶,设解,得,特征方程,常系数,齐次,线性方程,(characteristic equation),(characteristic root),二、二阶常系数齐次线性方程解法,其中r为待定常数.,4,两个 特解,的通解的不同形式.,有两个不相等的实根,特征根r的不同情况决定了方程,特征方程,常数,线性无关的,得齐次方程的通解为,设解,其中r为待定常数.,有两个相等的实根,一特解为,化简得,设,取,则,知,得齐次方程的通解为,其中r为待定常数.,设解,其中u(x)为待定函数.,6,有一对共轭复根,为了得到实数形式的解,重新组合,的两个线性无关的解.,其中r为待定常数.,设解,常数,得齐次方程的通解为,7,称为,解,特征方程,故所求通解为,例,由常系数齐次线性方程的特征方程的根,确定其通解的方法,特征方程法.,特征根,8,解,特征方程,故所求通解为,例,特征根,9,例,解初值问题,解,特征方程,特征根,所以方程的通解为,(二重根),特解,10,考研数学(二)选择, 4分,函数,练习,满足的一个微分,方程是,11,考研数学(一)填空, 3分,练习,(C1, C2为任意常数),为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解, 则微分,方程为,解,由所给通解的表达式知,是所求,由微分方程的特征方程的根,于是特征方程为,故所求微分方程为,12,特征方程,特征方程的根,通解中的对应项,三、n阶常系数齐次线性方程解法,若是k重根r,若是k重共轭复根,n阶,线性微分方程,常系数,形如,13,注意,一个根都对应着通解中的一项,n次代数方程有n个根,而特征方程的每,且每一项各,一个任意常数.,14,例,求方程,解,的通解.,特征方程,故所求通解为,特征根,即,和,15,特征根,故所求通解,解,特征方程,例,对应的特解,(单根),(二重)共轭复根,16,(1) 写出相应的特征方程,(2) 求出特征根,四、小结,二阶常系数齐次线性方程,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,求通解的步骤:,(3) 根据特征根的不同情况, 得到相应的通解,17,思考题,求微分方程 的通解.,18,思考题解答,令,则,特征根,求微分方程 的通解.,特征方程,?,
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