高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十三）空间向量的运算及应用（含解析）新人教A版.docx

课时跟踪检测（四十三） 空间向量的运算及应用一、题点全面练1已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则()A9B9C3D3解析：选B由题意知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得9.2若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()AB.C，相交但不垂直D以上均不正确解析：选Cn1n22(3)(3)15(4)290，n1与n2不垂直，又n1，n2不共线，与相交但不垂直3在空间四边形ABCD中，()A1B.0C1D不确定解析：选B如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别是()Ax，y，zB.x，y，zCx，y，zDx，y，z解析：选D设a，b，c，点G分MN所成的比为2，()aabcaabc，即x，y，z.5.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C1D.解析：选D，|2|2|2|22221113，|.6.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点用，表示，则_.解析：()，().答案： 7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN_.解析：连接PD(图略)，M，N分别为CD，PC的中点，MNPD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，PD，MN.答案：8在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点， ，且AB1MN，则的值为_解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系因为底面边长为1，侧棱长为2，所以A，B1，C，C1，M(0,0,0)，设N，因为，所以N，所以，.又因为AB1MN，所以0.所以0，所以15.答案：159如图所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离解：ACD90，0.同理0.AB与CD成60角，60或120.又，|2|2|2|22223211cos，当，60时，24；当，120时，22.|2或，即B，D间的距离为2或.10.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点(1)试用向量，表示；(2)用向量方法证明平面EFG平面AB1C.解：(1)设a，b，c，则cbabc.故AGABADAA1.(2)证明：ab，ba，EG与AC无公共点，EGAC，EG平面AB1C，AC平面AB1C，EG平面AB1C.又ac，ca，FG与AB1无公共点，FGAB1，FG平面AB1C，AB1平面AB1C，FG平面AB1C.又FGEGG，FG平面EFG，EG平面EFG，平面EFG平面AB1C.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz (x，y，zR)，则“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的()A必要不充分条件B.充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B当x2，y3，z2时，即232.则23()2()，即32，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设mn (m，nR)，即m()n()，即(1mn)mn，即x1mn，ym，zn，这组数显然不止2，3,2.故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件2空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为()A共线B.共面C不共面D无法确定解析：选C(2,0，4)，(2，3，5)，(0，3，4)，由不存在实数，使成立知，A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设xy (x，y为实数)，即由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面，故选C.3已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P (1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是_解析：由题意，设，则OQ(，2)，即Q(，2)，则(1，2，32)， (2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，当时取最小值，此时Q点坐标是.答案：4已知四面体PABC中，PABBACPAC60，|1，|2，|3，则|_.解析：在四面体PABC中，PABBACPAC60，|1，|2，|3，12cos 601，23cos 603，13cos 60，|5.答案：5(二)素养专练学会更学通5数学建模、数学运算如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.求证：PQ平面BCD.证明：如图，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0,0)因为3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，1)又P为BM的中点，故P，所以.又平面BCD的一个法向量为a(0,0,1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.6.数学建模、数学运算如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，平面PBC底面ABCD.求证：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.证明：(1)取BC的中点O，连接PO，PBC为等边三角形，POBC.平面PBC底面ABCD，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设CD1，则ABBC2，PO，A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)，(2