高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十四）利用空间向量求空间角（含解析）新人教A版.docx

课时跟踪检测（四十四） 利用空间向量求空间角一、题点全面练1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)，(1，1，2)， (1,0，2)，B1M与D1N所成角的余弦值为.2如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E为线段AB上一点，且AEAB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选A如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，(0,3,1)， (1,1，1)， (0,3，1)设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，则即取y1，得n(2,1,3)cos，n，DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为.3在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，二面角BAA1C1的大小为60，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为()A.B.C.D2解析：选A由题意可知，BAC60，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，所以在三角形ABC中，AB2，AC4，BC2，ABC90，则()()4，|2，|4，cos，故tan，.4.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选A设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1，F(1,0,1)，E，G(0,0,2)， (1,0，1)设平面GEF的法向量n(x，y，z)，则即取x1，则z1，y，故n为平面GEF的一个法向量，所以cosn，所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.5在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选B以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则即n1(1,2,2)又平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.6如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB2，CF3.若直线OF与平面BED所成的角为45，则AE_.解析：如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系设AEa，则B(0，0)，D(0，0)，F(1,0,3)，E(1,0，a)，(1,0,3)，(0,2，0)， (1，a)设平面BED的法向量为n(x，y，z)，则即则y0，令z1，得xa，n(a,0,1)，cosn，.直线OF与平面BED所成角的大小为45，解得a2或a(舍去)，AE2.答案：27.如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，且ACBD，AC与BD交于O，PO底面ABCD，PO2，AB2，E，F分别是AB，AP的中点，则二面角F OE A的余弦值为_解析：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题知，OAOB2，则A(0，2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1，1,0)，F(0，1,1)， (1，1,0)，(0，1,1)，设平面OEF的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，可得m(1,1,1)易知平面OAE的一个法向量为n(0,0,1)，则cosm，n.由图知二面角FOEA为锐角，所以二面角FOEA的余弦值为.答案：8(2018全国卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧C所在平面垂直，M是C上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值解：(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，所以BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.因为DM平面AMD，所以平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC的体积最大时，M为的中点由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，(2，1,1)，(0,2,0)，(2,0,0)设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n(1,0,2)，又是平面MCD的一个法向量，所以cosn，sinn，.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.9(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值解：(1)证明：因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以POAC，且PO2.连接OB，因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.所以POOB2PB2，所以POOB.又因为OBACO，所以PO平面ABC.(2)以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)取平面PAC的一个法向量(2,0,0)设M(a,2a,0)(0a2)，则(a,4a,0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)，由得令ya，得za，x(a4)，所以平面PAM的一个法向量为n(a4)，a，a)，所以cos，n.由已知可得|cos，n|cos 30，所以，解得a或a4(舍去)所以n.又(0,2，2)，所以cos，n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.二、专项培优练素养专练学会更学通1直观想象、数学运算如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ACBDO，A1O底面ABCD，AB2，AA13.(1)证明：平面A1CO平面BB1D1D；(2)若BAD60，求二面角BOB1C的余弦值解：(1)证明：A1O平面ABCD，BD平面ABCD，A1OBD.四边形ABCD是菱形，COBD.A1OCOO，BD平面A1CO.BD平面BB1D1D，平面A1CO平面BB1D1D.(2)A1O平面ABCD，COBD，OB，OC，OA1两两垂直，以O为坐标原点， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系AB2，AA13，BAD60，OBOD1，OAOC，OA1.则O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A(0，0)，A1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)， (1，)设平面OBB1的法向量为n(x，y，z)，则即令y，得z1，n(0，1)是平面OBB1的一个法向量同理可求得平面OCB1的一个法向量m(，0，1)，cosn，m，由图可知二面角BOB1C是锐二面角，二面角BOB1C的余弦值为.2直观想象、数学运算如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ABCD，AB2CD.平面PAD平面ABCD，PAPD，点E在PC上，DE平面PAC.(1)求证：PA平面PCD；(2)设AD2，若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45，求DE的长解：(1)证明：由DE平面PAC，得DEPA，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CDAD，所以CD平面PAD，所以CDPA，又CDDED，所以PA平面PCD.(2)取AD的中点O，连接PO，因为PAPD，所以POAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由(1)得PAPD，由AD2得PAPD，PO1，设CDa，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，1,0)，则(a,2,0)，(a,1，1)设m(x，y，z)为平面PBC的法向量，由得令x2，则ya，z3a，故m(2，a,3a)为平面PBC的一个法向量，由(1)知n(a,0,0)为平面PAD的一个法向量由|cosm，n|，解得a，即CD，所以在RtPCD中，PC，由等面积法可得DE.3直观想象，数学运算如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC2，AC2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD2DB，CE2EB，PDAC.(1)求证：PD平面ABC；(2)若直线PA与平面ABC所成的角为45，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角大小解：(1)证明：AC2，BC2，AB6，AC2BC2AB2，ACB90，cosABC.又易知BD2，CD222(2)2222cosABC8，CD2，又AD4，CD2AD2AC2，CDAB.平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，CD平面ABC，CD平面PAB，又PD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.(2)由(1)知PD，CD，AB两两互相垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，直线PA与平面ABC所成的角为45，即PAD45，PDAD4，则A(0，4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0