高考数学第八章立体几何2第2讲空间几何体的表面积与体积练习理（含解析）.docx

第2讲 空间几何体的表面积与体积 基础题组练1圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是()A4SB2S CSD.S解析：选A.由r2S得圆柱的底面半径是，故侧面展开图的边长为22，所以圆柱的侧面积是4S，故选A.2(2019武汉调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A. B.C. D3解析：选D.如图，三棱锥PABC为三视图所对应几何体的直观图，由三视图可知，SABC233，点P到平面ABC的距离h3，则VPABCSABCh333，故选D.3(2019昆明调研)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A63 B72C79 D99解析：选A.由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为3，体积为3318，圆柱的底面半径为3，高为5，体积为32545.所以凿去部分的体积为184563.故选A.4(2019唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A1 B3C2 D4解析：选D.由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S2(1112)2(11)2114.故选D.5(2019福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A. B.C16 D32解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2(3R)2()2，解得R2，所以所求球的体积VR323，故选B.6(2019沈阳质量监测)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥PABCD，如图所示，其中PA底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA2，AB2，PB2，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S244.答案：447如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V321463.答案：638某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是_解析：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则体积V2x3，解得x3.答案：39已知一个几何体的三视图如图所示(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P到Q点的最短路径的长解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和S圆锥侧(2a)(a)a2，S圆柱侧(2a)(2a)4a2，S圆柱底a2，所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图则PQa，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.10如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32. 综合题组练1(2019福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A. B.C. D.解析：选C.正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3.故选C.2三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱AA1底面ABC，若球O与三棱柱ABCA1B1C1各侧面、底面均相切，则侧棱AA1的长为()A. B.C1 D.解析：选C.因为球O与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱AA1的长等于球的直径，设球的半径为R，则球心在底面上的射影是底面正三角形ABC的中心，如图所示因为AC，所以ADAC.因为tan ，所以球的半径RMDADtan ，所以AA12R21.3(2018高考全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18C24 D54解析：选B.如图，E是AC中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABCAB29，所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC，所以在RtOBM中，OM2，所以当D，O，M三点共线且DMODOM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值VmaxSABC(4OM)9618.故选B.4(应用型)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当CQ1时，S的面积为_解析：当CQ1时，Q与C1重合如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.因为F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，所以AFFC1APPC1，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，所以PG綊C1D1，所以四边形C1D1GP为平行四边形，所以PC1綊D1G，所以PC1綊AF，所以A，P，C1，F四点共面，所以四边形APC1F为菱形因为AC1，PF，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APC1F，所以其面积为AC1PF.答案：5(创新型)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_解析：如图所示，设S在底面的射影为S，连接AS，SS.SAB的面积为SASBsinASBSA2SA25，所以SA280，SA4.因为SA与底面所成的角为45，所以SAS45，ASSAcos 4542.所以底面周长l2AS4，所以圆锥的侧面积为4440.答案：406(2019泉州模拟)在三棱锥ABCD中，ACCD，ABADBDBC1，若三棱锥