高考数学第八篇平面解析几何第6节圆锥曲线的综合问题（第二课时）最值、范围、证明专题应用能力提升.docx

第二课时最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题2,4范围问题1,3证明问题51.已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为4且过点(,-2).(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E,F,求的取值 范围.解:(1)椭圆C:+=1(ab0)的焦距是4,所以焦点坐标是(0,-2),(0,2),2a=+=4,所以a=2,b=2,即椭圆C的方程是+=1.(2)若直线l垂直于x轴,则点E(0,2),F(0,-2),=-8.若直线l不垂直于x轴,不妨设l过该椭圆的上焦点,则l的方程为y=kx+2,设点E(x1,y1),F(x2,y2),将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2+k2)x2+4kx-4=0,则x1+x2=,x1x2=,所以=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+4=-8,因为010,所以-82,所以的取值范围是-8,2.2.(2018河北唐山二模)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,交y轴于点C,O为坐标原点.(1)若kOA+kOB=4,求直线l的方程;(2)线段AB的垂直平分线与直线l,x轴,y轴分别交于点D,M,N,求的最小值.解:(1)设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.所以kOA+kOB=+=-4m=4.所以m=-1,所以l的方程为x+y-1=0.(2)由(1)可知,m0,C(0,-),D(2m2+1,2m).则直线MN的方程为y-2m=-m(x-2m2-1),则M(2m2+3,0),N(0,2m3+3m),F(1,0),SNDC=|NC|xD|=|2m3+3m+|(2m2+1)=,SFDM=|FM|yD|=(2m2+2)2|m|=2|m|(m2+1),则=m2+12,当且仅当m2=,即m2=时取等号.所以的最小值为2.3.(2018河南省洛阳三模)已知抛物线C:y=-x2,点A,B在抛物线上,且横坐标分别为-,抛物线C上的点P在A,B之间(不包括点A,点B),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率k的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.解:(1)由题可知A(-,-),B(,-),设P(xP,-),-xP,所以k=-xP+(-1,1),故直线AP斜率k的取值范围是(-1,1).(2)直线AP:y=kx+k-,直线BQ:x+ky+k-=0,联立直线AP,BQ方程可知点Q的横坐标为xQ=,|PQ|=(xQ-xP)=(+k-)=|PA|=(xP+)=(1-k),所以|PA|PQ|=(1-k)3(1+k),令f(x)=(1-x)3(1+x),-1x1,则f(x)=(1-x)2(-2-4x)=-2(1-x)2(2x+1),当-1x0,当-x1时f(x)b0),双曲线-=1的两条渐近线为l1,l2.过椭圆C的右焦点F作直线l,使ll1.设直线l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B,直线l与直线l2交于P点.(1)若l1与l2的夹角为60,且双曲线的焦距为4,求椭圆C的方程;(2)求的最大值.解:(1)因为双曲线方程为-=1,所以双曲线的渐近线方程为y=x,因为两渐近线的夹角为60且b0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上在第一象限内的点,如图,点P关于原点O的对称点为A,关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴交于点C,点D为线段CQ的中点,直线AD与椭圆E的另一个交点为B,证明:点P在以AB为直径的圆上.(1)解:由题意可知2c=2,所以c=.又=,所以a=2.b2=a2-c2=1.所以椭圆E的方程为+y2=1,(2)证明:设P(x0,y0),B(x1,y1),则A(-x0,-y0),C(x0,0),Q(x0,-y0),所以有D(x0,-y0),kAD=,所以直线AD的方程为y=(x+x0)-y0.由消去y并整理得(4+)x2-6x0x+9-16=0,所以x1+(-x0)=x1-x