高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用教案理苏教版.docx

第三节 平面向量的数量积及其应用1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab2.平面向量的数量积设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab.3向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|小题体验1已知|a|2，|b|6，ab6，则a与b的夹角为_答案：2已知向量a(1,3)，b(1，t)，若(a2b)a，则|b|_.解析：因为a(1,3)，b(1，t)，所以a2b(3,32t)因为(a2b)a，所以(a2b)a0，即(1)(3)3(32t)0，即t2，所以b(1,2)，所以|b|.答案：3已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.解析：由b1e12e2，b23e14e2，得b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e.因为e1，e2为单位向量，e1，e2，所以b1b23286.答案：61数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量2两个向量的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，反之不成立3ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.4在用|a|求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方小题纠偏1给出下列说法：向量b在向量a方向上的投影是向量；若ab0，则a和b的夹角为锐角，若ab0，则a和b的夹角为钝角；(ab)ca(bc)；若ab0，则a0或b0.其中正确的说法有_个答案：02已知向量，则ABC_.解析：因为，所以.所以cosABC，又0ABC180，所以ABC30.答案：303已知平面向量a与b的夹角为，a(1，)，|a2b|2，则|b|_.解析：因为a(1，)，所以|a|2，又|a2b|2，即|a|24ab4|b|212，故2242|b|cos 4|b|212，化简得|b|2|b|20，所以|b|2.答案：2题组练透1设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c_.解析：因为a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，所以(a2b)c(5,6)(3,2)3.答案：32(2018南京高三年级学情调研)在ABC中，AB3，AC2，BAC120，.若，则实数_.解析：因为，()(1)，23cos 1203.所以(1)22(12)1912，所以.答案：3已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_.解析：因为a(2，6)，所以|a|2，又|b|，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 60210.答案：104如图，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC2，D为BC的中点，则_.解析：法一：由题意知，ACBC2，AB2，所以()|cos 45|cos 4522216.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(2,0)，D(1,0)，所以(2,0)(0,2)(2，2)， (1,0)(0,2)(1，2)，所以2(1)(2)(2)6.答案：6谨记通法向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题锁定考向平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直 题点全练角度一：平面向量的模1(2018苏州高三暑假测试)已知平面向量a(2,1)，ab10，若|ab|5，则|b|_.解析：因为a(2,1)，所以|a|，又|ab|5，所以a22abb250，所以b225，所以|b|5.答案：5角度二：平面向量的夹角2(2018太湖高级中学检测)已知|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为_解析：因为a(ab)，所以a(ab)a2ab1cosa，b0，所以cosa，b，所以a，b.答案：3(2019启东中学检测)已知平面向量，满足|1，且与的夹角为120，则的模的取值范围是_解析：如图，在ABC中，设，则.因为与的夹角为120，所以A60.由正弦定理得，则BAsin C又0sin C1，所以0BA，故的模的取值范围是.答案：角度三：平面向量的垂直4在平面直角坐标系xOy中，已知向量(6,1)，(x，y)，(2，3)，且.(1)求x与y之间的关系式；(2)若，求四边形ABCD的面积解：(1)由题意得(x4，y2)，(x，y)因为，所以(x4)y(y2)x0，即x2y0.(2)由题意得(x6，y1)，(x2，y3)因为，所以(x6)(x2)(y1)(y3)0，即x2y24x2y150，联立解得或当时，(8,0)，(0，4)，S四边形ABCDACBD16；当时，(0,4)，(8,0)，S四边形ABCDACBD16.所以四边形ABCD的面积为16.通法在握平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.演练冲关1(2019海安模拟) 已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|2，|b|3，则|2a3b|_.解析：由题意可得ab|a|b|cos 3，所以|2a3b|.答案：2已知向量a，b满足a(4，3)，|b|1，|ab|，则向量a，b的夹角为_解析： 易知|b|1，|a|5，对|ab|两边平方，整理得2ab5，即2|a|b|cos 5，解得cos ，则向量a，b的夹角为.答案：3已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若 ，且，则实数的值为_解析：，由于，所以0，即()()22(1)94(1)320，解得.答案：典例引领(2018启东高三期中)已知向量a(sin x,2)，b(cos x，1)，函数f(x)ab.(1)若ab，求tan的值；(2)求函数yf，x的最小值和最大值解：(1)由ab，得sin x2cos x所以tan x2.所以tan3.(2)因为f(x)absin xcos x2sin 2x2，所以yfsin2.因为x，所以2x，从而sin1.于是，当2x，即x0时，函数yf有最小值，当2x，即x时，函数yf有最大值.由题悟法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等即时应用已知向量m(cos x，1)，n(sin x，cos2x)(1)当x时，求mn的值；(2)若x，且mn，求cos 2x的值解：(1)当x时，m，n，所以mn.(2)mncos xsin xcos2xsin 2xcos 2xsin.若mn，则sin，即sin.因为x，所以2x，所以cos，则cos 2xcoscoscossinsin.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019海门模拟)向量a(3,4)在向量b(1，1)方向上的投影为_解析：向量a(3,4)，b(1，1)，向量a在向量b方向上的投影为|a|cos .答案：2(2018江苏百校联盟联考)已知平面向量a，b的夹角为，且a(ab)8，|a|2，则|b|_.解析：因为a(ab)8，所以aaab8，即|a|2|a|b|cosa，b8，所以42|b|8，解得|b|4.答案：43(2018苏州期末)已知a(m,2)，b(1，n)，m0，n0，且|a|4，|b|2，则向量a与b的夹角是_解析：设向量a与b的夹角是，0，a(m,2)，b(1，n)，m0，n0，且|a|4，|b|2，m2416,1n24，解得m2，n.abm2n442cos ，cos ，则向量a与b的夹角是.答案：4(2018滨海期末)已知向量a(1,3)，b(3，t)，若ab，则|2ab|_.解析：向量a(1,3)，b(3，t)，ab，ab33t0，解得t1，b(3,1)，2ab(1,7)，故|2ab|5.答案：55(2018淮安高三期中)在平行四边形ABCD中，AB2，AD1，ABC60，则_.解析：由题意得，所以()2421cos 1203.答案：36(2018南通一调)已知边长为6的正三角形ABC，AD与BE交于点P，则的值为_解析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B(3,0)，C(3,0)，D(0,0)，A(0，3)，E(1, 2)，P，所以|22.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018淮安调研)已知向量a(1，x)，b(1，x)，若2ab与b垂直，则|a|_.解析：由已知得2ab(3，x)，而(2ab)b03x20x23，所以|a|2.答案：22(2019如皋模拟)已知平面向量a与b的夹角为60， a(3,4)，|b|1，则|a2b|_.解析：a(3,4)，|a|5，又|b|1，ab |a|b|cos 6051，|a2b|2a24b24ab2541019，则|a2b|.答案：3(2018苏北四市期末)已知非零向量a，b满足|a|b|ab|，则a与2ab夹角的余弦值为_解析：因为非零向量a，b满足|a|b|ab|，所以a2b2a22abb2，aba2b2，所以a(2ab)2a2aba2，|2ab| |a|，cosa,2ab.答案：4(2018泰州中学高三学情调研)矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA3，PC4，矩形对角线AC6，则_.解析：由题意可得()()29()09936cos(PAC)918918.答案：5(2018苏锡常镇调研)已知菱形ABCD边长为2，B，点P满足，R，若3，则_.解析：法一：由题意可得22cos 2，() ()()()()(1)(1)2(1)2(1)422(1)463，所以.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，D(1，)令P(x,0)，由(3，)(x1，)3x333x3得x1.因为，所以.答案：6(2018苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA3，OC5.若7，则_.解析：()()()()22，同理，227，所以222279.答案：97(2019崇川一模)若非零向量a与b满足|a|a b|2，|b|1，则向量a与b夹角的余弦值为_解析：非零向量a与b满足|a|ab|2，|b|1，|a|2|ab|2|a|2|b|22ab，即ab|b|212，设a与b的夹角为，则cos ，向量a与b夹角的余弦值为.答案：8(2018盐城期中)如图，在四边形ABCD中，A，AB2，AD3，分别延长CB，CD至点E，F，使得，其中0，若15，则的值为_解析：()，()(2)(93)15，.答案：9(2019通州调研)设两个向量a，b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)若|a|2，|b|3，a，b的夹角为60，求使向量kab与akb垂直的实数k的值解：(1)证明：(ab)(2a8b)3(ab)6(ab)6，与共线，且有公共点A，A，B，D三点共线(2)kab与akb垂直，(kab)(akb)0，ka2(k21)|a|b|cos 60kb20，即3k213k30，解得k.10在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以，即0，又AB9，BC6，2，所以，所以22629218.(2)设与的夹角为，由(1)得，2262 96cos 926，所以cos .故与夹角的余弦值为.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB90，P为上的一点，若2，则_.解析：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，设P(x，y)，由2，可得2x2，x1，P为A上的一点，所以|2，所以P(1，)，(1，)，又(2,2)，所以22.答案：222(2018南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若3，5，则()()的值为_解析：法一：因为，所以2，而，由于，所以 0，所以()()(2)2，又因为Q是BC的中点，所以2，故2()()2292516.法二：由题意得ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取ABBC，从而P为AC的中点又|3，|5，所以|4，cosBAC，故()，从而()()()229352516.答案：163(2019姜堰中学调研)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，ADBC于D，求的值解：(1) 由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0A，所以sin A.(2)由正弦定理，得，则sin B.因为0B，所以B，所以sin Csin(AB)(sin Acos A).又|sin C5，所以()2|2.命题点一平面向量基本定理1(2018全国卷改编)在ABC中，a，b，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则_.(用a，b表示)解析：由题知ab.答案：ab2(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.解析：由题易得2ab(4,2)，因为c(2ab)，所以42，解得.答案：3(2017江苏高考)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1,1，与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_.解析：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan 7，得sin ，cos ，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC|cos ，yC|sin ，即C.又cos(45)，sin(45)，则xB|cos(45)，yB|sin(45)，即B.由mn，可得解得所以mn3.答案：34(2015江苏高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：因为manb(2mn，m2n)(9，8)，所以所以所以mn253.答案：3命题点二平面向量的数量积1.(2016江苏高考)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是_解析：由题意，得()()()()22|2|21，()()(3)(3)9229|2|24.由得|2，|2.所以()()(2)(2)4224|2|24.答案：2(2014江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_解析：因为，所以|2|22，将AB8，AD5代入解得22.答案：223(2018全国卷改编)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)_.解析：a(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.答案：34(2018北京高考)设向量a(1,0)，b(1，m)若a(mab)，则m_.解析：因为a(1,0)，b(1，m)，所以mab(m1，m)由a(mab)，得a(mab)0，即m10，所以m1.答案：15.(2018天津高考