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文档简介
22.2 等差数列的性质,学习目标,1.进一步巩固等差数列的概念和通项公式 2掌握等差数列的性质,课堂互动讲练,知能优化训练,2. 2.2 等差数列的性质,课前自主学案,课前自主学案,1数列an为等差数列_ 2等差数列的通项公式an_ 3A是a、b的等差中项_,an1and(常数)(nN*),a1(n1)d,nN*.,1等差数列的项与序号的关系,(nm)d,aman,思考感悟,在等差数列an中,若amanapaq,则mnpq(m、n、p、qN*)成立吗? 提示:不一定,若an3,则a1a2a3a4,但1234.,2等差数列的性质 (1)若an是公差为d的等差数列,则: can(c为任一常数)是公差为_的等差数列; can(c为任一常数)是公差为_的等差数列 (2)若an、bn分别是公差为d1、d2的等差数列,则数列panqbn(p、q是常数)是公差为_的等差数列,d,cd,pd1qd2,课堂互动讲练,等差数列的性质在数列问题的研究中经常用到,而且它具有很强的灵活性,常用的等差数列的性质如下: (1)等差数列an中,若公差d0,则数列为递增数列;若d0,则数列为递减数列;若d0,则数列为常数列 (2)等差数列an中,若mnpq,则amanapaq.特例:若mn2p,则aman2ap.,(1)(2010年高考大纲全国卷)如果等差数列an中,a3a4a512,那么a1a2a7( ) A14 B21 C28 D35 (2)已知等差数列an,若a1126,a5154,则a14_.,【思路点拨】 利用等差数列的性质求解,或整体考虑问题(1)利用2a4a3a5,(2)利用anam(nm)d.,【答案】 (1)C (2)20,变式训练1 (1)数列an中,a3、a10是方程x23x50的两根,若an是等差数列,则a5a8_; (2)在等差数列an中,已知a1a4a8a12a152,则a3a13_. 解析:(1)由根与系数的关系知a3a103, 故a5a8a3a103. (2)由a1a15a4a12, 得a82,a3a132a84. 答案:(1)3 (2)4,(1)若有三个数成等差数列,则一般设为ad,a,ad; (2)若有四个数成等差数列,则一般设为a3d,ad,ad,a3d; (3)若有五个数成等差数列,则一般设为a2d,ad,a,ad,a2d.,(1)三个数成等差数列,和为6,积为24,求这三个数; (2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首、末两项的积为8,求这四个数 【思路点拨】 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差,建立基本量的方程组求解 【解】 (1)设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数依次为ad,a,ad, 依题意,3a6,且a(ad)(ad)24, 所以a2,代入a(ad)(ad)24,,化简得d216,于是d4, 故这三个数依次为2,2,6或6,2,2. (2)设这四个数依次为a3d,ad,ad,a3d(公差为2d), 依题意,2a2,且(a3d)(a3d)8, 即a1,a29d28, d21,d1或d1. 又四个数成递增等差数列, d0,d1, 故所求的四个数依次为2,0,2,4.,某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?,【解】 由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,. 设从第1年起,第n年的利润为an,则anan120,n2,nN*.所以每年的利润可构成一个等差数列an,且首项a1200,公差d20.,所以ana1(n1)d22020n. 若an11, 即从第12年起,该公司经销此产品将亏损 【名师点评】 “亏损”“利润小于零”由于公差d0,所以利润构成的数列是一个递减数列,即随着n的增大,an的值越来越小,an0时(此处暗含an10成立)公司将出现亏损,变式训练2 夏季高山上的温度从山脚起,每升高100 m,平均降低0.7 ,已知山顶处的温度是14.8 ,山脚处的温度为26 ,问此山相对于山脚的高度是多少? 解:每升高100 m温度降低0.7 , 该处温度的变化是一个等差数列问题 山脚温度为首项a126,山顶温度为末项an14.8, 26(n1)(0.7)14.8,解得n17, 此山的高度为(171)10
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