高考数学一轮复习课时跟踪检测（二十）突破“函数与导数”压轴大题的6个“卡壳点”（含解析）新人教A版.docx

课时跟踪检测(二十)突破“函数与导数”压轴大题的6个“卡壳点”1(2019福建三校联考)已知函数f(x)exax，g(x)ln(xm)ax1.(1)当a1时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意的x(m，)，恒有f(x)g(x)成立，求实数m的取值范围解：(1)当a1时，f(x)exx，则f(x)1.令f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增当x0时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(0)1.(2)由(1)得exx1恒成立f(x)g(x)exaxln(xm)ax1exln(xm)1.故x1ln(xm)1，即mexx在(m，)上恒成立当m0时，在(m，)上，exx1，得0m1；当m0时，在 (m，)上，exx1，mexx恒成立于是m1.实数m的取值范围为(，12设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于kx(x0)令g(x)x，则g(x).由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0；当x(，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2.3(2019石家庄质检)已知函数f(x)x(ln xax)(aR)(1)若a1，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：f(x2).解：(1)由已知得，f(x)x(ln xx)，当x1时，f(x)1，f(x)ln x12x，当x1时，f(x)1，所以所求切线方程为y1(x1)，即xy0.(2)证明：由已知条件可得f(x)ln x12ax有两个不同的零点，且两零点的左、右两侧附近的函数值符号相反令f(x)h(x)，则h(x)2a(x0)，若a0，则h(x)0，h(x)单调递增，f(x)不可能有两个零点；若a0，令h(x)0得x，可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，令f0，解得0a， 此时，f0，f2ln a10，所以当0a时，函数f(x)有两个极值点x1，x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)因为f(1)12a0，所以0x11x2，f(x)在1，x2上单调递增，所以f(x2)f(1)a.4(2019成都模拟)已知函数f(x)，aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)(xk)exk，kZ，e2.718 28为自然对数的底数当a1时，若x1(0，)，x2(0，)，不等式5f(x1)g(x2)0成立，求k的最大值解：(1)f(x)(x0)由f(x)0，得xe1a.易知f(x)在(0，)上单调递减，当0xe1a时，f(x)0，此时函数f(x)单调递增；当xe1a时，f(x)0，此时函数f(x)单调递减函数f(x)的单调递增区间是(0，e1a)，单调递减区间是(e1a，)(2)当a1时，由(1)可知f(x)f(e1a)1，x1(0，)，x2(0，)，5f(x1)g(x2)0成立，等价于5(xk)exk0对x(0，)恒成立，当x(0，)时，ex10，xk对x(0，)恒成立，设h(x)x，则h(x).令F(x)exx6，则F(x)ex1.当x(0，)时，F(x)0，函数F(x)exx6在(0，)上单调递增而F(2)e280，F(3)e390.F(2)F(3)0.存在唯一的x0(2,3)，使得F(x0)0，即ex0x06.当x(0，x0)时，F(x)0，h(x)0，此时函数h(x)单调递减；当x(x0，)时，F(x)0，h(x)0，此时函数h(x)单调递增当xx0时，函数h(x)有极小值(即最小值)h(x0)h(x0)x0x01(3,4)又kh(x0)，kZ，k的最大值是3.5(2018广安一模)已知函数f(x)ln xx2(a1)x(aR)(1)当a0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个相异零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1x22.解：(1)由f(x)ln xx2(a1)x(x0)，得f(x)axa1.当a0时，ax10，当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，故当a0时，函数f(x)在x1处取得极大值，且f(1)1，无极小值(2)证明：当a0时，由(1)知f(x)在x1处取得极大值，且f(1)1，当x0时，f(x)，又f(2)ln 220，f(x)有两个相异零点，则f(1)10，解得a2.当1a0时，若0x1，则f(x)0；若1x，则f(x)0；若x，则f(x)0，则f(x)在x1处取得极大值，在x处取得极小值，由于f(1)10，则f(x)仅有一个零点当a1时，f(x)0，则f(x)仅有一个零点当a1时，若0x，则f(x)0；若x1，则f(x)0；若x1，则f(x)0，则f(x)在x1处取得极小值，在x处取得极大值，由于fln (a)10，则f(x)仅有一个零点综上，f(x)有两个相异零点时，a的取值范围是(2，)两零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，不妨设0x11x22.欲证x1x22，只需证明x22x1，又由(1)知f(x)在(1，)上单调递减，故只需证明f(2x1)f(x2)0即可f(2x1)ln(2x1)(2x1)2(a1)(2x1)ln(2x1)x