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精英数学 山东专升本高等数学习题解析朱老师：Email： Tel、函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) =+ ，(2) =.解 (1) 由所给函数知,要使函数有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 推得这两个不等式的公共解为 与所以函数的定义域为.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 推得即 , 因此，所给函数的定义域为 .2.设的定义域为，求的定义域.解：令, 则的定义域为, （k, k+）, k , 的定义域为 （k, k+）, k .3.设=，求，.解： = = (1,0),= (0,1).4.求下列极限：（1）, （2）,解：原式= 解: 原式= = =2.（抓大头） = .（恒等变换之后“能代就代”）（3）, （4）,解：原式= 解：时, = ,=. （恒等变换之后“能代就代”） 原式=.（等价） （5）, （6） ， 解：原式= 解： 原式= =0 + 100 = 100 （无穷小的性质） (7) 解 : 原式=（抓大头）（8） . 解：因为 而，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 （9）解：不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而 ，因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得 .（10） 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=（也可用洛必达法则） （11）.解一 原式=，解二 原式=（12）解 ：= （） （等价替换）5.求下列极限（1） （2） （3）（4） （5） 解 ：（1）由于时，故原极限为型，用洛必达法则 所以 （分母等价无穷小代换）.（2） 此极限为，可直接应用洛必达法则 所以 = .（3） 所求极限为型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型. .（4）所求极限为型，得 （型） =（5）此极限为 型，用洛必达法则，得不存在，因此洛必达法则失效！但 .6.求下列函数的极限：（1）， （2） 当为何值时，在的极限存在.解： (1),因为左极限不等于右极限，所以极限不存在（2）由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限于是，有， ，为使存在，必须有=，因此 ，当=1 时， 存在且 =17.讨论函数 ， 在点处的连续性解：由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限因而有，而即，由函数在一点连续的充要条件知在处连续8. 求函数的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知的间断点为.而在处无定义，故为其可去间断点.又 为的无穷间断点.综上得为的可去间断点, 为的无穷间断点.二、一元函数微分学1.判断：（1）若曲线=处处有切线，则=必处处可导.答：命题错误. 如：处处有切线，但在处不可导.（2）若（为常数），试判断下列命题是否正确.在点 处可导, 在点 处连续, = .答：命题、全正确.(3)若，在点处都不可导，则点处也一定不可导.答：命题不成立.如：= =，在 = 0 处均不可导，但其和函数+= 在= 0 处可导.（4）若在点处可导，在点处不可导，则+在点处一定不可导.答：命题成立.原因：若+在处可导，由在处点可导知=+在点处也可导，矛盾.（5）与有区别.答：命题成立.因为表示处的导数; 表示对处的函数值求导，且结果为.（6）设在点的某邻域有定义，且=，其中为常数，下列命题哪个正确？在点处可导，且,在点处可微，且, （ 很小时）.答：、三个命题全正确.2.已知，利用导数定义求极限.解：= =0.3.求 ，的导数.解： 当时， ， 当时，当时，所以 ，因此 ，于是 4.设，求解：,.5.已知 求.解：两端对求导，得 ，整理得 ，故 ，上式两端再对求导，得=，将 代入上式，得.6.求= 的导数解：两边取对数：= ,两边关于求导：,.7.设，求.解：令, 两边取对数得：,两边关于求导数得： 即 .8.设求和.解：=,=.9., 求.解：, , .10.设 求 .解： ，.11.求曲线在点（1，1）处切线的斜率.解：由题意知：,曲线在点（1，1）处切线的斜率为312. 求函数的微分.解一 用微分的定义求微分， 有. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 .13.试证当时，.证明：令，易见在内连续，且.当时，可知为上的严格单调减少函数，即当时，可知为上的严格单调增加函数，即.故对任意 有即 .14.求函数的单调性与极值.解：函数的定义域为. ，令 驻点 列表 -0-0+极小由上表知，单调减区间为，单调增区间为，极小值 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中 不能确定处是否取极值，得是极小值.15.求+在闭区间上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：, 令, 得, , , 的极大值为4，极小值为. , . 比较的大小可知：最大值为200， 最小值为.16.求曲线的凹凸区间与拐点.解：函数的定义域为, , ,令, 得,用把分成，两部分.当时，, 当时，, 曲线的凹区间为 凸区间为 拐点为.17.求函数的凹向及拐点.解：函数的定义域 ， ， 令 得，列表 1(1,1) 10+0拐点拐点 由此可知，上凹区间,下凹区间，曲线的拐点是.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线（1） ，（2） ，（3）.解 （1）所给函数的定义域为.由于 ，可知 为 所给曲线的水平渐近线.由于 ，可知 为曲线的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域,.由于 ， ，可知 为所给曲线的铅直渐近线（在的两侧的趋向不同）.又 ，所以 是曲线的一条斜渐近线.（3）, 故为曲线的铅直渐近线, , 故为曲线的铅直渐近线, 故为曲线的水平渐近线,曲线的渐近线为：.19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为， ,其中为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本=边际收入=边际利润.（2）设为某产品的价格，为产品的需求量，且有, 问为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由得,所以需求价格弹性,故当 , 即4080时, 需求弹性大; 当0, 即0 ，而级数发散，由比较判别法知级数发散又因为级数是一交错级数，=0且 ，由莱布尼茨判别法知，级数收敛，故此级数条件收敛(2) 当0时，0，由级数收敛的必要条件知级数 发散当时,先判断级数 =的敛散性，因为 =1 ，由比值判别法知，级数绝对收敛4. 将循环小数化为分数.（了解！）解： = = =.5. 判定级数的敛散性.解：因为级数,而级数收敛，故级数绝对收敛. 6.求下列幂级数的收敛域： （1）, （2）.解：（1）=0,级数的收敛域为.（2）= = =,级数的收敛域为.7.求下列幂级数的收敛域(1) ， (2) ， (3) 解 (1) 因为=，所以收敛半径=3，收敛区间为 （3，3）当=3时，级数为 ，收敛，当=3时，级数为 ，显然发散故收敛域为 3，3 (2) 因为 =，所以收敛半径=2， 由 2得，收敛区间为（3，1），当时，级数为，发散，当=1时，级数为，发散，故级数的收敛域为（3，1）(3)幂级数 缺少奇次项，直接用比值判别法有 =0，收敛半径=，收敛域为（）8. 求幂级数的和函数.（了解！）解：设,两端关于求积分得： = 两端求导得： ,即 .9. 将展开成的幂级数，并求收敛域. （了解！）解：=,因为 ,所以 =,其中 ， 即.当时，级数为发散；当时，级数为发散,故 = .10. 以函数的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域. （了解！）（1）, （2）, （3）,（4）, （5）.解：（1）=.（2） =,.（3）=, .(4) =,于是 =, .(5) =,于是 =, .七、向量与空间解析几何1. 求点与轴，平面及原点的对称点坐标.解：关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为.2. 下列向量哪个是单位向量？ （1），（2），（3）.解：（1）, 不是单位向量.（2）, 是单位向量.（3）, 不是单位向量.3. 求起点为，终点为的向量的坐标表达式及.解：=,.4. 设向量=4-4+7的终点的坐标为(2,1,7).求 (1)始点的坐标；(2)向量的模；(3)向量的方向余弦；(4)与向量方向一致的单位向量.解：（1）设始点的坐标为 ，则有 ， ,，得 =2 , =3 , =0 ;(2) =9;(3) cos= , cos , cos ;(4) o=(44+7).5. 已知向量与向量=及轴垂直，且，求出向量.解：因为，（垂直于轴），故与向量平行.由两向量平行的充要条件，可写成，即=.由题设，得=2 ， ，,从而得 =，或 =.6.求平行于轴，且过点与的平面方程.解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量.因为平面平行于轴，所以.又因为平面过点与，所以必有.于是，取=, 而=2，7，-4 ，所以 =，因此，由平面的点法式方程，得，即 .解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 ,由于平面平行于轴，所以 ，原方程变为，又所求平面过点(1, -5, 1)与(3 , 2, -3)，将的坐标代入上述方程，得 解之得 , ,代入所设方程，故所求平面方程为 .7. 求点到点之间的距离.解：距离.8. 求使向量与向量平行.解：由得得.9. 求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式.解： =.10. 求与向量=1，5，6平行，模为10的向量的坐标表达式.解：,故 .11. 求点的向径与坐标轴之间的夹角.解：设与, , 轴之间的夹角分别为，则, ., , .12. 求同时垂直于向量和轴的单位向量.解：记,故同时垂直于向量与轴的单位向量为.13. 求与平行且满足的向量.解：因, 故可设，再由得，即，从而.14. ，求，及，.解：依题意，故，.，.15. ，求及.解：,.16. 证明向量与向量垂直.证明：, ， 即与垂直.17. 写出过点且以为法向量的平面方程.解：平面的点法式方程为.18. 求过点且与平面平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为,从而其方程为,即 .19. 写出过点且以为方向向量的直线方程.解：方程为.20. 求过两点的直线方程.解：取直线的方向向量，则直线的方程为.21. 求过点且与直线平行的直线的方程.解：依题意，可取的方向向量为，则直线L的方程为.22. 求直线的点向式方程.解：令=0，可解得直线上一点,取直线的方向向量,所以直线的点向方程为：.23. 求直线与平面的夹角.解：直线的方向向量，平面的法向量. 设直线与平面的夹角为，则 ,故 .24. 求通过点(3 , 0 , 0)和点(0 , 0 , 1)且与平面成角的平面的方程.解：设所求平面方程为 ，平面过点(3, 0, 0)，有 , 即 ， 平面过点(0, 0, 1), 有 , 即 ， 又,平面与面成角，有 =， 即 ，解 得 =,故所求平面为 ，即 .23. 求过点且垂直于直线的平面方程.解：已知直线的方向向量为=,由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量为该方向向量，即=，由点法式得平面方程 ，即 .24. 求通过点且与直线垂直相交的直线方程.解：利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线的方向向量.为此先求出过点且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直线与此平面的交点，利用交点与已知点找出所求直线的方向向量，即可得到所求的直线方程.其步骤如下：(i)过点垂直于已知直线的平面方程为 ，即 .(ii)求上述平面与直线的交点，为此令 =， , , ，将上述参数方程代入平面中，有 ，得 = , 所以 , , =，即 , 所以 ,(iii)写出所求直线方程。由于直线过点，故所求直线方程为 ， 即.25.求过点且与两平面：和：平行的直线方程.解：设所求直线的方向向量为， 因为所求直线与,平行，所以,取=,故所求直线的方程为 .26. 指出下列方程所表示的几何图形的名称 ，并画草图.（了解！）（1）