《概率论与随机过程》第1章习题答案.doc

=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=概率论与随机过程第1章习题答案概率论与随机过程第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 记录一个小班一次数学考试的平均分数。解： S?,?,n?10?0?，其中n为小班人数。 n? 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：S?3,4,?,18?。?01?nn 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只，直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。解： S?3,4,?,10?。 10,11,?。 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： S? 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人，观察选举的结果。 解： S?AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE,EA,EB,EC,ED?其中，AB表示A为正组长，B为副组长，余类推。 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 解： S?e0,e1,e2?其中，e0为和棋，e1为甲胜，e2为乙胜。 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。解： S?r,w,b,rw,rb,wb,rwb?其中，r,w,b,分别表示红色、白色、蓝色。 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 ?其中，0为次品，1为正品。 ,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111解： S?00,100,0100 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 解： S?Aa,Bb,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Ba,Cb;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ac,Bb,Ca?其中，Aa表示球a放在盒子A中，余者类推。 测量一汽车通过给定点的速度。 解：S?vv?0? 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： S?x,y,z?x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?其中，x,y,z分别表示第一段，第二段，第三段的长度。# 2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 A发生，B与C不发生。 解：ABC A与B都发生，而C不发生。 解： ABC A，B，C都发生。解： ABC A，B，C中至少有一个发生。 解： A?B?C A，B，C都不发生。 解： ABC A，B，C中至多于一个发生。 解： AB?BC?CA A，B，C中至多于二个发生。 解： A?B?C A，B，C中至少有二个发生。 解： AB?BC?CA. # 1,2,?,10?,A?2,3,4?，B?3,4,5?，C?5,6,7?，具体写出下列各等式 3. 设S?AB。解： AB?5?； 1,3,4,5,6,7,8,9,10?； A?B。 解： A?B?AB。解：AB?2,3,4,5?； 1 ABC。 解： ABC?1,5,6,7,8,9,10? A(B?C)。 解： A(B?C)?1,2,5,6,7,8,9,10?. # 3?1?14. 设S?x0?x?2?，A?x?x?1?，B?x?x?，具体写出下列各式。 2?2?4A?B。 解： A?B?x0?x?x?1?4?3?x?2? 2?1?3?x?1?x?x?2? 2?2?A?B。 解： A?B?x0?x?x?1?4?AB。解： AB? AB。解：AB?x?11?3?x?x1?x?. # 42?2? 5. 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?14，P(AB)?P(CB)?0，P(AC)?18，求A，B，C至少有一个发生的概率。 5解：题意可知：P(ABC)?0，故P?A?B?C?P?A?P?B?P?C?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)?。 85或 ?(A?C)?B?，?P?A?B?C?P(A?C)?B)?P?A?C?P?B?P(A)?P?C?P(AC)?P(B)?。# 8 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 求恰有90个次品的概率。 至少有2个次品的概率。 解：?1500?200?； ? 设P(k)表示有k个次品的概率，故至少有2个次品的概率为： ?400?1100?110?90? ?110?0?P(k)?1?P(0)?P(1)?1?200?k?220000?150?0?40?110?200?1?199?150?0?200? . # ?7.在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少？ 在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？解： 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以1N的概率被分在N间房中的每一间中，某指定房间中至少有一人的概率。 设某指定房间中恰有k个人的概率为P(k)，则有 kn?k?n?n?1?N?1?n?k?nP(k)?k?N?1?N?k?N?N?。故，某指定房间中至少有一人的概率为： ?N?1?P(k)?1?P(0)?1?。 N?k?1500nn 所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为： ?364?1?365?1? 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以1N的概率被分在N间房中的每一间中，至少有二个人在同一间房中的概率。 设A为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：Nn。 “每一间房中至多有一个人”事件的个数为：N!。 (N?n)!2 所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。 N!(N?n)!12!(12-4）！1?1?1? 。 #n4N12 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。 在第5次测试发现。 在第10次测试发现。 解： ?4?6?4?3?2?1?4?2?；或?3?310?9?8?7?6105?10?2?10?4!?10!?2?； ?4?3!4!?6!105? ?3?6?9?5。 # ? 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知P(A)?P(B)?，P(AB)?，求P(A/B)，P(B/A)及?4?6?P(A?B)。 解： P(A/B)?P(AB)(AB)?；P(B/A)? P(B)(A) P(A?B?P(A)?P(B)?P(AB)?。 # 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。 二只都是正品。 二只都是次品。 一只是正品，一只是次品。 第二次取出的是次品。 ?解： (1) ?； ?2?2?2!?6！?10！45?8?10?8!?8!?2!28(2) (3) (4) ?2?10?8!?2!1?2?！?45； ?2?10?8?2?10?8?2?8!?2!16822816?；或； ?1?1?2?10！4510910945?82219。 # ?10910945 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ ?; 解：(1) ?2?3?2!?7!10！?。 #(2) ?2?3?2!?2!5！?4?5?4!3!?2!?9?10?9!3!?7! 12. 某工厂中，机器B1,B2,B3分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器B1,B2,B3生产的概率分别是多少？ 解：设A为“次品”， 已知：P(B1)?，P(B2)?，P(B3)?； P(A/B1)?，P(A/B2)?，P(A/B3)?， 3 P(A)?P(A/B)P(B)?。故， jjj?13P(Bi/A)?P(A/Bi)P(Bi)可得： P(A)P(B1/A)?P(A/B1)P(B1)?； P(A)(A/B2)P(B2)?； P(A)(A/B3)P(B3)?。 # P(A)(B2/A)?P(B3/A)?13. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为，而B被误收作A的概率为。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解：设：A?,B?分别表示收到信息是A 和B。已知条件可知: P(B?/A)?，P(A?/B)?，P(A?/A)?，P(B?/B)?(A)?2/3，P(B)?1/3。 A?/B）?P(A)P(A?/A)?197/300 ?P(A?)?P(B)P(P(A)P(A?/A)196?P(A/A?)?。 # P(A?)197 14. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？ 12L4563R解: P(1?3)?(2?3)?4?(5?6) ?P(1?3)?P(2?3)?P(4)?P(5?6)?P(1?3?2)?P(1?3?4)?P(1?3?5?6)?P(2?3?4) ?P(2?3?5?6)?P(4?5?6)?P(1?3?2?4)?P(1?3?2?5?6)?P(1?3?4?5?6)?P(2?3?4?5?6)?P(1?3?2?4?5?6)?p?3p2?4p4?3p5?p6。 # 15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为，第二次为，第三次为。飞机击中一次而被击落的概率为，击中二次而被击落的概率为，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。 解: 设Ai：为第i次射击命中飞机；Bi：飞机击中i次而被击落。C：射击三次而击落飞机 P(C)?P(B1)P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)? ?P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(B3)P(A1A2A3) ?(?)?(?)?。 # 4 16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率质函数。 ?x?1?解： ? px?2?X ?5?3? ?3 45 110 310610 px 17. (1) 设随机变量X的概率质函数为PX?k?a设随机变量X的概率质函数为PX?k?kk!，k?0,1,2,?,?0为常数，试确定常数a。 a，k?0,1,2,?,N?1，试确定常数a。 N?解： ?PX?k?ak!?a?k!?ae?1， ?a?e? k?0k?0k?0?k?k(2) ?PX?k?k?0k?0?N?1aa?N*?1， ?a?1。 # NN18. 设事件A在每一次试验中发生的概率为，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 解：题意可知： A A pk?n?k5?k设：Y?X1?X2?Xn，则PY?K?k?。 ?Xk n?5时，P(Y?3)?n?7时，P(Y?3)? 19. ?7?5?k5?k? ?k?k?3?5?7?k7?k?。 # ?k?3?一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：每分钟恰有8次呼唤的概率。每分钟的呼唤次数大于10的概率。 4k?e?4解: ? 参数为4的泊松分布为：PX?k?， k?0,1,2,?。 故， k!48*e?4?； (2) PX?10?1?(1) PX?8?。 # PX?k?!k?0?10 20. 设随机变量X的分布函数为 ?1?e?x,x?0, 求PX?2,F(x)?x?0.?0,PX?3， 求概率密度f(x)。 解：PX?2?F(2)?1?e?2? 5 PX?3?1?F(3)? ?e?x, (3) f(x)?F?(x)?0,x?0。 # x?0 21. 一工厂生产的电子管的寿命X服从参数为?160，?的正态分布，若要求P120?X?200?,允许?最大为多少？ 解： ?f(x)?1(x?160)22?2exp?2?2 200?P120?x?200?1?160)22?2exp?2?2dx120?(x40/?1y240/?2 ?1?y?40?/?2?exp?2dy?2?2?exp2dy?40/?即，1?y22?exp?40?2dy?, 查表可得： ? ?max?。 # 22设随机变量X的概率质函数为 X ?2 ?1013 pk 1/51/6 1/5 1/15 11/30 求Y?X2的概率质函数。 解：Y?X2可知：SY?0,1,4,9。故有 Y?X2 0 1 4 9 pk 1/5 7/30 1/5 11/30 23. 设X的概率密度为 ?f(x)?2x?2,0?x?，求Y?sinX的概率密度。 ?0,其它解：?0?x?,0?y?sinx?1，故X?arcsinY?arcsinY。 ?又?FY(y)?PY?sinX?y?P0?X?arcsiny?P?arcsiny?X? arcsiny?2x?0?2dx?arcsin?2xdx?22y?arcsiny， 0?y?1 ?21?fy)?F?,0?y?1Y(Y?(y)?1?y2? 。 # ?0,其它 6 24. 设概率变量的概率密度为 ?f(x,y)?x2?xy,0?x?1,0?y?2, ?0,3其它.求PX?Y?1。 解： PX?Y?1?f(x,y)dydx?10?21?xf(x,y)dydx ?12(x21220?1?x?xy3)dydx?0(xy?x6y2)dx 1?x?1(5x3?4x2?1x)dx?51x4?4x3?1x26506322494?072。 # 25. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fx)?1,0?x?1,?e?y,y?0,其它. f0,X(Y(y)? ?0,y?0.试求随机变量Z=X+Y的概率密度。 ?f(x,y)dxdy,0?z?1,?1(0?x?z,0?y?z?x) y ? 解：?F?1z(z)?f(x,y)dxdy,z?1,?2(0?x?1,0?y?z?x)x+y=z1 ?2 ?0,z?0,x+y=1?z ?z?x0?0e?ydy?dx?z?1?e?z,0?z?1,0 x ? 1 ?1?z?x0?0e?ydy?dx?1?e?z(e?1),z?1,?0,x+y?0,z? 设概率变量的概率密度为 f(x,y)?1y22?2exp(?x2?2?2),?x?,?y?。 求Z?X2?Y2的概率密度。 解：?FZ(z)?y)dxdy?1?y2x2?f(x,y2?z2?2x2?exp(?x2y2?z2?2)dxdy 7 x2?y2?z是以原点为中心，z为半径的圆域。且z?0，故z?0时，FZ(z)?0。 令x?rcos?,FZ(z)?12?2y?rsin?，则 ?02?z0?exp(?)rdr?d?2?2?r2?z0r2zexp(?)d()?exp(?)?1?exp(?)222?22?22?0r2r2z ?fZ(z)?FZz?1),z?0?2exp(?(z)?2?。 # 2?2?0,z?0?27. 设某种型号的电子管的寿命近似地服从N(160,202)分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率。 解： 设Xk为取出的第k只管子的寿命，故， FXk(180)?1801202?exp(?(x?160)22?202)dx令y?(x?160)20?1?y2exp(?)dy? 22?1令N4?min(X1,X2,X3,X4)。因为Xk相互独立，且同分布，所以， PN4?180?1?PN4?180?1?Fmin(180)?1?1?1?FXk(180)4?1?FXk(180)4?()4。 # ?28. 设随机变量X的概率质函数为 X -202 pk 求E(X),E(X2),E(3X2?5)。 解：E(X)?2?0?2?， E(X2)?(?2)2?02?22?， E(3X2?5)?3E(X2)?5?3?5?。 # 29. 设X服从二项分布，其概率质函数为 ?n?kn?kP?X?k?k?p(1?p),k?0,1,2,?,?p?1. 求E(X)和D(X)。 ?解：E(X)?k?0nnkPX?k?n?kn?k? k?p(1?p)?k?k?0?n?kk?0nn(n?1)(n?2)?n?(k?1)kp(1?p)n?kk!n(n?1)(n?2)?(n?1)?(k?2)k?1p(1?p)(n?1)?(k?1) (k?1)!?np?k?0?np(p?1?p)n?1?npE(X2)?EX(X?1)?X?EX(X?1)?E(X)?n?kn?k?k(k?1)?np?k?p(1?p)?k?0n? 8 n?n(n?1)p2?(n?2)(n?3)?(n?2)?(k?3)pk?2(1?p)(n?2)?(k?2)?npk?0(k?2)! ?n(n?1)p2(p?1?p)n?2?np?n(n?1)p2?npD(X)?E(X2)?E(X)?2?n(n?1)p2?np?n2p2?np(1?p)。 # 30. 设X服从泊松分布，其概率质函数为 P?X?k?ke?k!,k?0,1,2,?,?0. 求E(X)和D(X)。 ?解： E(X)?k?ke?e?k?0k!?k?1(k?1)!?e?e?， k?1E(X2)?EX(X?1)?X?EX(X?1)?E(X)?2?k(k?1)?ke?2?k?2? k?0k!?e?k?2(k?2)!?D(X)?E(X2)?E(X)?2?2?2?。 # 31. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为 ?f(x)?1?b?a,a?x?b, 求E(X)和D(X)。 ?0，其它， 解： E(X)?ba?bb?adx?2， ax12D(X)?E(X2)?E(X)?2?bx21?b?ab?adx?a?b?a?2?2?12。 # 32. 设X服从正态分布，其概率密度函数为 f(x)?1?exp?x-?2?，?0,?x?。 求E(X)和D(X)。 2?2?2? 解： E(X)?1?x-?2?x?x2?exp?dx， 令?t，则?2?2? E(X)?1?t2?1?t22?(?t?)exp?2?dx?2?(?t?)exp?2?dt?2?exp? ?t2/2?dt?2?2?其中，f(t)?texp(?t2/2)为奇函数，故?texp(?t2/2)dt?0； 而?exp?t2/2?dt?2?0exp?t2/2?dty?t2/22?10y2?1exp?y?dy?2(12)?2?(?)?0x?1exp?x?dx,?(12)?。 D(X)?1?2?(x?)2exp?x-?2? 9 ?22?texp?t/2dt?2?2?2?te2?t2/2?2?exp?t/2dt?2?2?2?2。 # 33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码，试求EX，DX。 解：因为3球独立放入4盒的总放法有43=64种。按题意， X=4时的放法有C33?1种，故P(X?4)?1/64； X=3时，放入3#盒后，余下的球必放入4#盒。其的放法有 C13?C32?C33?3?3?1?7，故P(X?3)?7/64； X=2时，放入2#盒后，余下的球必放入3#和4#盒。其的放法有 C13C20?C12?C22?C32C10?C11?C33 ?31?2?1?31?1?1?19种，故P(X?4)?19/64； X=1时，放入1#盒后，余下的球必放入2#，3#和4#盒。其的放法有 C13C20(C20?C12?C22)?C12(C20?C12)?C22?C32C10(C10?C11)?C11?C33 ?3(1?2?1)?2(1?1)?1?3(1?1)?1?1?37种，故P(X?4)?37/64； ?EX?4iP(X?i)?37i?164?2?1964?3?712564?4?64?16。 ?EX24?i2P(X?i)?37197i?164?4?64?9?64?16?14864?16， ?DX?EX2?E2X?4825214316?162?162?。 # 34. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立： D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)； Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。 证： ? D(X?Y)?E?X?E(X)?Y?E(Y)?2?E?X?E(X)?2?Y?E(Y)?2?2?X?E(X)?Y?E(Y)? ?E?X?E(X)?2?E?Y?E(Y)?2?2E?X?E(X)?Y?E(Y)? ?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) ? D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)； ? Cov(X,Y)?E?X?E(X)?Y?E(Y)?E?XY?E(X)Y?XE(Y)?E(X)E(X)? ?E(XY)?E(X)E(Y) ? Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。 # ?e?x35. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)?,x?0。求Y=2X，Y?e?2x?的数学期望。 ?0,x?0 10 解：E?Y?2X?EY?e?02xe?xdx?2e?xe?2x?x?0?2； ?2X?01edx?e?3x3?1/3。 # 036. 设随机变量的概率密度函数为 ?K,0?x?1,0?y?x,f(x,y)? 试确定出常数K，并求E(XY)。 0,其它，?1?x1?K?解： ? f(x,y)dxdy?1， 故?Kdy?dx?Kxdx?1，? K?2 0?00?2?E(XY)?xyf(x,y)dxdy?x?x?2ydy?dx?0?0?1?10x3dx?1。 # 437. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在52009400之间的概率。 解： 已知：?7300，?700。 ? ?5200?9400?/2?7300? 故令?9400?7300?2100 ?27002?1?2?1?P?X?2100?8/9? ?21002?8/9?。 # ? P?X?2100?e?x,x?038. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)?，其中?0为常数。求E(X)和D(X)。 ?0,x?0? ?1?y11?x解： E(X)?xedx?yedy?(2)?， ?0?0?D(X)?E(X2)?E(X)?2?0?x2e?xdx?1?2?1?2?0y2e?ydy?1?2?1?2?(3)?1?2?1?2。 # ?xx2?39. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)?2exp(?2?2),x?0，其中?0为常数。求E(X)和D(X)。 ?0,x?0? 解： E(X)?x20?2exp(?x22?)dx?2?2?0t2e?tdt?2?(1?1)?2?21?2?/2?， exp(?x22?)dx?2D(X)?E(X)?E(X)?x3?220?2?2?2?0texp(?t)dt?2?2?22?4?2?。 # 240. 设随机变量X的概率质函数为P?X?k?pqk?1，k?1,2,?。其中0?p?1,q?1?p为常数，则称 X服从参数为p的几何分布。试求E(X)和D(X)。 解：E(X)?k?1?kpqk?1?k?1?1?p?q?p?p?1?q?1?q?2?k?1?1?， ?p? 11 D(X)?E(X)?E(X)?EX(X?1)?E(X)?E(X)?222?k?1?k(k?1)pqk?1?11?2 pp?k?2?qq1?pq=pq?q?2?pq?1?q?2?1?q?3?pp?k?1?qq?。 # 2?p2p?141. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.f(x,y)?(x?y),0?x?2,0?y?2。求E(X)、E(Y)、 8Cov(X,Y)。 解： E(X)?xf(x,y)dxdy?18?0220(x2?xy)dydx?18?220(x2y?xy1)dx?240222?2020(x2?x)dy?7， 6E(Y)?1yf(x,y)dxdy?8?02201(y2?xy)dxdy?8?0x2y12(yx?)dy?240?(y2?y)dy?7， 6Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?4771?， 36636E(XY)?1xyf(x,y)dxdy?8?02201(xy?xy)dxdy?822?20xyxy(?)dy?3203222?20yy24(?)dy?。# 34342. 计算机在进行加法时，对每个加数取整，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在上服从均匀分布。 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为？ 解： 设X为取整误差，则E(X)?0,D(X)?2?1/12。 P?1500k?1?1?Xk?15?P?150