线段的垂直平分线教学设计案例

13 线段的垂直平分线（一）、设计指导思想本节利用我们已学过的定理和公理证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线，已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从折纸，尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等（二）、教材分析本节的重点是经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生推理证明的意识和能力，能够证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理及其相关结论，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形，难点是线段垂直平分线的判定定理是性质定理的逆定理，在写出线段垂直平分线性质定理的逆命题时，因为原命题不是“如果那么”的形式，写出逆命题比较困难，其次在证明三角形三边垂直平分线交于一点时对学生来讲也较抽象，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导，学生对它的理解要有一个过程，在这一节中，有一些曾经探索过的命题，如线段垂直平分线的性质定理，也有些是新的结论，如三角形三边的垂直平分线交于一点，因此，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学思想方法的强化和渗透（三）、学情分析本学期是所有中考知识学习的重要阶段，学生没有象初一初二那么轻松，而是普遍感到紧张，中上的学生觉得课内的容易课外难，中上的学生感到疲于应付。（四）、教学目标(一)教学知识点 1经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理 2能够利用尺规作已知线段的垂直平分线 (二)思维训练要求 1经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力 2体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 3学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果 (三)情感与价值观要求 1能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲 2在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心（五）、教法学法教、学法设计设计依据教法以探索导学法为主，启发引导式等多种教法相互穿插、综合运用。 突出以教师为主导， 以学生为主体，以探索导学为主线的教学思想，发挥学生的个性，注重合作学习，依据不同的教学内容及学生实际情况灵活运用多种教法及学法。学法探究答疑贯穿始终，自学与合作学习相配合，观察与动手操作兼容并重。（六）、媒体选择媒体设计设计意图自制课件 贯穿教学始终，增强教学直观性和趣味性，适时突出重点，突破难点，适度加快教学进程，扩大教学容量。（七）、教学程序创设现实情境，引入新课 教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”三次闪烁，强调这几个字在题中有很重要的作用生码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上。 师你为什么要这样做呢? 生我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴，我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成 师这位同学分析得很详细，我们曾利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，你能用公理或学过的定理证明这一结论吗? 教师演示线段垂直平分线的性质： 定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 同时，教师板演本节的题目： 131 线段的垂直平分线(一) 讲述新课 师我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它，现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程，遇到困难，请同学们大胆提出来，我会给你启示 生我有一个问题，要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?何况不可能呢 师谁有办法来解决此问题呢？ 生我觉得一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表 师我觉得这位同学的做法很好，我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质 师生共析 已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且ACBC，P是MN上的点 求证：PAPB 分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等 证明：MNAB， PCAPCB90. ACBC，PCPC， PCAPCB(SAS) PAPB(全等三角形的对应边相等) 教师用多媒体完整演示证明过程，同时，用多媒体呈现：想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 生这个命题不是“如果那么”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果那么”的形式，逆命题就容易写出 师谁来分析原命题的条件和结论呢?注意表述时要流畅，完整 生原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”结论是“这个点到线段两个端点的距离相等” 师有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来 生如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等 师谁能把它描述得更简捷? 生到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 师当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假，如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明，请同学们自行在练习册上完成 生A证法一：已知：线段AB，点P是平面内一点且PAPB 求证：P点在AB 的垂直平分线上 证明：过点P作已知线段AB的垂线PCPAPB，PCPC. RtPACRtPBC(HL定理) ACBC， 即P点在AB的垂直平分线上 生B证法二：取AB的中点C，过PC作直线 APBP，PC=PC，ACCB， APCBPC (SSS) PCA=PCB(全等三角形的对应角相等) 又PCA+PCB二180， PCA=PCB90，即PCAB P点在AB的垂直平分线上 生C证法三：过P点作APB的角平分线.APBP，1=2，PCPC. APCBPC (SAS) ACBC，PCAPCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等) 又PCA+PCB180，PCAPCB90 P点在线段AB的垂直平分线上 生D证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC ACCB，PCAPCB90. P在AB的垂直平分线上 生前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂师先请同学们看两个图，如图(1)，PDAB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB这说明一般情况下：过P作AB的垂直平分线“是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的 师从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理 我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢? 教师多媒体演示：做一做用尺规作线段的垂直平分线. 师要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线 下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据 师生共析 已知：线段AB(如图) 求作：线段AB的垂直平分线 作法：1分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D 2.作直线CD 直线CD就是线段AB的垂直平分线 师根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗?请与同伴进行交流 生从作法的第一步可知 ACBC，ADBD C、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理) CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线) 师我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点 随堂练习 课本P25 1如图，已知AB是线段CD的垂直平分线， E是AB上的一点，如果EC7 cm，那么ED cm如果ECD60，那么EDC . 解：AB是线段CD的垂直平分线， ECED又EC=7 cm， ED7 cm EDCECD60 2已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线使它经过点P已知：直线l和l上一点P 求作：PCl 作法：1以点P为圆心，以任意长为半径作弧，直线l相交于点A和B 2作线段AB的垂直平分线PC 直线PC就是所求的垂线 课时小结 本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线 课后作业 习题16第1、3题 活动与探究 (1)在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，A40，求NMB的大小； (2)如果将(1)中的A的度数改为70，其余条件不变，再求NMB的大小 (3)你发现了什么样的规律?试证明之； (4)将(1)中的A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改 过程由(1)、(2)不难认识到之BMN的大小是A的一半，但也容易认为点M一定在BC的延长线上，通过(4)也就是让ABC保持ABAC的前提下发生变化，认识就会更全面、更准确了 结果(1)ABAC，BACB(等边对等角) B(180-A) (180-40)70 BNM90， M90-B=90-7020如图(1) (2)如图(2)，同(1)求得BMN35 (3)如图(3)，NMB的大小为A的一半 证明：设A ABAC,B=C(等边对等角) B= (180-) BNM90，BMN=90-B=9