2020版高考数学总复习第六章数列第2节等差数列及其前n项和教案文（含解析）北师大版.docx

第2节等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就为等差数列.(2)如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN+).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN+)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN+)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.(5)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列.微点提醒1.已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值.3.等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列.4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN+，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()解析(3)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d0，则前n项和不是二次函数.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修5P17练习1T3(2)改编)设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A.31 B.32 C.33 D.34解析由已知可得解得S88a1d32.答案B3.(必修5P38A6(2)改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案1804.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3S2S4，a12，则a5()A.12 B.10 C.10 D.12解析设等差数列an的公差为d，则3(3a13d)2a1d4a16d，即da1.又a12，d3，a5a14d24(3)10.答案B5.(2019皖南八校模拟)已知等差数列an中，a21，前5项和S515，则数列an的公差为()A.3 B. C.2 D.4解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，因为所以解得d4.答案D6.(2019江西赣中南五校联考)在等差数列an中，已知a3a80，且S90，S90，S99a50，a50，S1，S2，S9中最小的是S5.答案S5考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8(2)(2019西安检测)设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m()A.9 B.10 C.11 D.15解析(1)法一设等差数列an的公差为d，依题意得所以d4.法二等差数列an中，S648，则a1a616a2a5，又a4a524，所以a4a22d24168，则d4.(2)设等差数列an的公差为d，依题意得解得ama1(m1)d7m4030，m10.答案(1)C(2)B规律方法1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)，的第四项等于()A.3 B.4 C.log318 D.log324(2)(一题多解)设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.解析(1)log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)成等差数列，log3(2x)log3(4x2)2log3(3x)，log32x(4x2)log3(3x)2，则2x(4x2)9x2，解之得x4，x0(舍去).等差数列的前三项为log38，log312，log318，公差dlog312log38log3，数列的第四项为log318log3log3273.(2)法一设数列an的首项为a1，公差为d，由S36，S412，可得解得所以S66a115d30.法二由an为等差数列，故可设前n项和SnAn2Bn，由S36，S412可得解得即Snn2n，则S636630.答案(1)A(2)30考点二等差数列的判定与证明典例迁移【例2】 (经典母题)若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式.故an【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列an是否为等差数列，并说明理由.解因为anSnSn1(n2)，an2SnSn10，所以SnSn12SnSn10(n2).所以2(n2).又2，所以是以2为首项，2为公差的等差数列.所以2(n1)22n，故Sn.所以当n2时，anSnSn1，所以an1，又an1an.所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列.【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a1，nan1(n1)ann(n1)，试求数列an的通项公式.解由已知可得1，即1，又a1，是以为首项，1为公差的等差数列，(n1)1n，ann2n.规律方法1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN+)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列.(2)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.解(1)设an的公比为q，由题设可得解得故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.考点三等差数列的性质及应用多维探究角度1等差数列项的性质【例31】 (2019九江一模)在等差数列an中，a13a8a15120，则a2a14的值为()A.6 B.12 C.24 D.48解析在等差数列an中，a13a8a15120，由等差数列的性质，a13a8a155a8120，a824，a2a142a848.答案D角度2等差数列和的性质【例32】 设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27解析由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，所以a7a8a945.答案B规律方法1.项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN+)，则amanapaq.2.和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则(1)S2nn(a1a2n)n(anan1)；(2)S2n1(2n1)an.【训练3】 (1)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 015，6，则S2 019_.(2)(2019荆州一模)在等差数列an中，若a3a4a53，a88，则a12的值是()A.15 B.30 C.31 D.64(3)等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于()A. B. C. D.解析(1)由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为d，则6d6，d1.故2 018d2 0152 0183，S2 01932 0196 057.(2)由a3a4a53及等差数列的性质，3a43，则a41.又a4a122a8，得1a1228.a1216115.(3).答案(1)6 057(2)A(3)A考点四等差数列的前n项和及其最值【例4】 (2019衡水中学质检)已知数列an的前n项和为Sn，a10，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立.(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100，当n为何值时，数列的前n项和最大？解(1)令n1，得a2S12a1，a1(a12)0，因为a10，所以a1，当n2时，2anSn，2an1Sn1，两式相减得2an2an1an(n2).所以an2an1(n2)，从而数列an为等比数列，ana12n1.(2)当a10，100时，由(1)知，an，则bnlg lg lg 100lg 2n2nlg 2，所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2，所以b1b2b6lg lg lg 10，当n7时，bnb7lg 0，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am10时，Sm1也为最大值)；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am10时，Sm1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列an的公差d0，且a3，a5，a15成等比数列，若a55，Sn为数列an的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为()A.3 B.3或4C.4或5 D.5(2)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.解析(1)由题意知由d0，解得a13，d2，3n1n4，则n40，得n4，数列的前n项和取最小值时的n为3或4.(2)因为等差数列an的首项a120，公差d2，Snna1d20n2n221n，又因为nN+，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.答案(1)B(2)110思维升华1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和SnAn2Bn及通项anpnq来判断一个数列是否为等差数列.2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为ad，a，ad.若偶数个数成等差数列，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.易错防范1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A.100 B.99 C.98 D.97解析设等差数列an的公差为d，由已知，得所以所以a100a199d19998.答案C2.(2019惠州调研)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则()A.1 B.1 C.2 D.解析由于1.答案A3.(2019中原名校联考)若数列an满足d(nN+，d为常数)，则称数列an为调和数列，已知数列为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16()A.10 B.20 C.30 D.40解析依题意，xn1xnd，xn是等差数列.又x1x2x20200.x1x2020，从而x5x16x1x2020.答案B4.(2019合肥质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤解析用a1，a2，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，8a117996，解之得a165.a865717184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案B5.已知等差数列an的前n项和为Sn，a19，4，则Sn取最大值时的n为()A.4 B.5 C.6 D.4或5解析由an为等差数列，得a5a32d4，即d2，由于a19，所以an2n11，令an2n11，所以Sn取最大值时的n为5.答案B二、填空题6.已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为_.解析设项数为2n ，则由S偶S奇nd得，25152n解得n5，故这个数列的项数为10.答案107.已知数列an满足a11，anan12anan1，则a6_.解析将anan12anan1两边同时除以anan1，2.所以是以1为首项，2为公差