2020版高考数学第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质学案理（含解析）新人教A版.docx

第四节三角函数的图象与性质2019考纲考题考情考纲要求考题举例考向标签1.能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性2018全国卷T10(三角函数的单调性)2018北京高考T11(三角函数的最值)2017全国卷T14(三角函数的最大值)2017全国卷T6(三角函数的周期性、对称性、单调性)命题角度：1三角函数的定义域2三角函数的值域与最值3三角函数的性质核心素养：直观想象、逻辑推理1“五点法”作图原理在确定正弦函数ysinx在0,2上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、(，0)、(2，0)。2三角函数的图象和性质函数性质ysinxycosxytanx定义域x|xk，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：(kZ)对称中心：(kZ)周期22续表函数性质ysinxycosxytanx单调性单调增区间(kZ)；单调减区间(kZ)单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数1函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为T，函数ytan(x)的最小正周期为T。2求函数yAsin(x)的单调区间时，应注意的符号，只有当0时，才能把(x)看作一个整体，代入ysint的相应单调区间求解。3函数ysinx与ycosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如ycosx的对称轴为xk(kZ)，而不是x2k(kZ)。4对于ytanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数。一、走进教材1(必修4P46A组T2,3改编)若函数y2sin2x1的最小正周期为T，最大值为A，则()AT，A1BT2，A1CT，A2DT2，A2解析最小正周期T，最大值A211。故选A。答案A2(必修4P40练习T4)下列关于函数y4sinx，x，的单调性的叙述，正确的是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在及上是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在及上是增函数，在上是减函数解析函数y4sinx在和上单调递减，在上单调递增。故选B。答案B二、走近高考3(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为()A4B2CD解析函数f(x)sin的最小正周期为T。答案C4(2018江苏高考)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值是_。解析由函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，得sin1，因为，所以，则，。答案三、走出误区微提醒：忽视定义域的限制出错；不注意正切函数的定义域；不化为同名函数以及同一个单调区间导致比较大小出错。5函数f(x)3sin在区间上的值域为()ABCD解析当x时，2x，sin，故3sin，即f(x)的值域为。故选B。答案B6函数ytan的单调递减区间为_。解析因为ytanx的单调递增区间为(kZ)，所以由k2xk，(kZ)，得xcos23cos97。答案sin68cos23cos97考点一三角函数的定义域【例1】(1)函数y的定义域为_。(2)函数ylg(sinx)的定义域为_。解析(1)要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为。(2)函数有意义，则即解得所以2kx2k(kZ)，所以函数的定义域为。答案(1)(2)1三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数ytanx的定义域求函数yAtan(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式。(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式。2简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解。(2)利用三角函数的图象求解。【变式训练】(1)函数y的定义域为_。(2)函数f(x)tan的定义域是_。解析(1)要使函数有意义，必须使sinxcosx0。利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysinx和ycosx的图象，如图所示。在0,2内，满足sinxcosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为。解析：sinxcosxsin0，将x视为一个整体，由正弦函数ysinx的图象和性质可知2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)。所以定义域为。(2)依题意得所以0x2，且xk(kZ)，所以函数f(x)的定义域是。答案(1)(2)考点二三角函数的值域与最值【例2】(1)已知函数f(x)cosxsin2x，则函数f(x)的最大值为_。(2)已知函数f(x)(sinxcosx)2cos2x，求f(x)在区间上的最大值和最小值。(1)解析(换元法)因为yf(x)cosxsin2x2cos2xsinx2(1sin2x)sinx2(sinxsin3x)，令tsinx，则yg(t)2(tt3)，1t1。令g(t)2(13t2)0，得t。当t时，g(t)0，g(t)在上是增函数；当t时，g(t)0，g(t)在上是增函数。由此，得yg(t)在t时取得最大值，最大值为。故f(x)的最大值为。答案(2)解因为f(x)sin2xcos2x2sinxcosxcos2x1sin2xcos2xsin1，当x时，。由正弦函数ysinx在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取最大值1；当2x，即x时，f(x)取最小值0。综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为0。求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型1形如yasinxbcosxc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)。2形如yasin2xbsinxc的三角函数，可先设sinxt，化为关于t的二次函数求值域(最值)。3形如yasin3xbsin2xcsinxd，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值。【变式训练】(1)函数f(x)sin2xcosx的最大值是_。(2)若函数f(x)(1tanx)cosx，x，则f(x)的最大值为()A1B2CD1解析(1)f(x)sin2xcosx1cos2xcosx21，cosx0,1，当cosx时，f(x)取得最大值1。(2)f(x)(1tanx)cosxcosxsinx2sin。因为x，所以x，故当x时，f(x)取最大值为，故选C。答案(1)1(2)C考点三三角函数的性质微点小专题方向1：三角函数的单调性【例3】(1)(2018沈阳市教学质量监测)函数f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x在上的单调递增区间是()ABCD(2)(2018全国卷)若f(x)cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是()ABCD解析(1)f(x)sin2x2sinxcosx3cos2xsin2x12cos2xsin2xcos2x2sin2。令2k2x2k，kZ，则kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ，所以结合选项知函数f(x)在上的单调递增区间为。故选C。解析：因为x，所以2x，当2x时，函数f(x)单调递增，此时x。故选C。(2)因为f(x)cosxsinxcos，且函数ycosx在区间0，上单调递减，则由0x，得x，因为f(x)在a，a上是减函数，所以所以0a，从而得a的最大值为。故选A。解析：因为f(x)cosxsinx，所以f(x)sinxcosx，则由题意，知f(x)sinxcosx0在a，a上恒成立，即sinxcosx0，即sin0在a，a上恒成立，结合函数ysin的图象可知有解得00)。若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_。解析(1)因为函数f(x)sinx的图象关于对称，所以k(kZ)，即k(kZ)，又函数f(x)sinx在区间上是增函数，所以且0，所以00，所以min。答案(1)A(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断。【题点对应练】1(方向1)已知函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，则f(x)在0，上的单调递增区间是()ABCD解析因为0，所以，又f(x)cos(x)在x时取得最小值，所以，所以f(x)cos。由0x，得x。由x，得x，所以f(x)在0，上的单调递增区间是。故选A。答案A2(方向2)若函数f(x)cos(0)是奇函数，则_。解析因为f(x)为奇函数，所以k，k，kZ。又因为0，故。答案3(方向3)函数ysin的图象与函数ycos的图象()A有相同的对称轴但无相同的对称中心B有相同的对称中心但无相同的对称轴C既有相同的对称轴也有相同的对称中心D既无相同的对称中心也无相同的对称轴解析当xk，kZ时，cos1，所以函数ycos的图象的对称轴是xk，kZ，又当2xk，kZ，即x，kZ时，sin1，所以ysin的图象的对称轴是x，kZ，所以ycos的图象的对称轴也是ysin的图象的对称轴；当xk，kZ时，cos0，所以ycos的图象的对称中心是，kZ，又当x，kZ时，sin0，所以ysin的图象的对称中心是，kZ，由此可得，它们的对称中心均不相同。故选A。答案A1(配合例2使用)将函数f(x)2sin的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到g(x)的图象，若g(x1)g(x2)9，且x1，x22，2，则2x1x2的最大值为()ABCD解析f(x)向左平移个单位，得到2sin2sin，再向下平移一个单位，得到g(x)2sin1，其最小值为3，由于g(x1)g(x2)9，故g(x1)g(x2)3，也就是说x1，x2是g(x)的最小值点。要使2x1x2取得最大值，即x1取最大值，x2取最小值。令2x2k(kZ)，2x2k(kZ)，xk(kZ)，令k2，得x1，令k1，得x2，所以2x1x2的最大值为2。答案A2(配合例3使用)已知函数f(x)sin(2x)的最小正周期为T，将曲线yf(x)向左平移个单位之后，得到曲线ysin，则函数f(x)的一个单调递增区间为()ABCD解析因为曲线yf(x)向左平移个单位后所得曲线的解析式为ysinsin，所以由题意知2k(kZ)，所以2k(kZ)，又因为|0)在区间上单调递减，则的取值范围是()ABCD【解析】令2kx2k(kZ)，得x，因为f(x)在上单调递减，所以得6k4k3。又0，所以k0，又6k4k3，得0k0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求的取值范围。【变式训练1】已知函数f(x)2sinx，其中常数0。若f(x)在上单调递增，求的取值范围。解因为函数f(x)2sinx的周期T，所以是f(x)的一个单调递增区间。又f(x)在单调递增，所以，于是有，。又0，解得00)的一条对称轴为x，一个对称中心为点，则有()A最小值2B最大值2C最小值1D最大值1【解析】因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，中心到对称轴x间的距离用周期可表示为(kN，T为周期)，解得(2k1)T，又T，所以(2k1)，则2(2k1)，当k0时，2最小。故选A。【答案】A三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“”的取值。值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)Asin(x)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这又说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“”的取值。【变式训练2】若函数ycos(N*)的图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1B2C4D8解析依题意得cos0，则k，kZ，解得