2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性教案理新人教A版.docx

第3讲函数的奇偶性与周期性基础知识整合1函数的奇偶性2函数的周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(4)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a(a0)3对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称 1(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)()A20 B20 C12 D12答案D解析f(2)f(2)2(8)412.故选D.2(2019大连测试)下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是()Ay Bylog2|x|Cy1x2 Dyx31答案C解析函数y3|x|为偶函数，在(，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求3(2019石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4) B(2,1) C(1,2) D(1,0)答案A解析因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)f(1)f(1)，即1，化简得(a4)(a1)0，解得1a0，则x的取值范围是_答案(1,3)解析f(2)0，f(x1)0，f(x1)f(2)，又f(x)是偶函数，f(|x1|)f(2)，又f(x)在0，)上单调递减，|x1|2，2x12，1x3，x(1,3)6(2019合肥质检)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x)则ff_.答案解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以ffffffsin.核心考向突破考向一函数奇偶性的判断例1(1)(2017北京高考)已知函数f(x)3xx，则f(x)()A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数答案A解析函数f(x)的定义域为R，f(x)3xxx3xf(x)，函数f(x)是奇函数函数yx在R上是减函数，函数yx在R上是增函数又y3x在R上是增函数，函数f(x)3xx在R上是增函数故选A.(2)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()Ayxf(x) Byxf(x)Cyx2f(x) Dyx2f(x)答案B解析设g(x)xf(x)因为f(x)f(x)，所以g(x)xf(x)xf(x)，所以g(x)g(x)，所以B正确触类旁通判断函数奇偶性的方法(1)定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：1(f(x)0)判断函数的奇偶性(2)图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性即时训练1.(2018合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，)上单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy2|x|答案B解析因为yx3是奇函数，y|x|1，yx21，y2|x|均为偶函数，所以A错误；又因为yx21，y2|x|x|在(0，)上均为减函数，只有y|x|1在(0，)上为增函数，所以C，D错误，故选B.2设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故错误；对于B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故错误；对于C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故正确；对于D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故错误选C.考向二函数的周期性例2(1)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50答案C解析因为f(x)是定义域为(，)的奇函数，且f(1x)f(1x)，所以f(1x)f(x1)，所以f(3x)f(x1)f(x1)，所以T4，因此f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因为f(3)f(1)，f(4)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，因为f(2)f(2)f(2)，所以f(2)0，从而f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2，选C.(2)(2017山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.答案6解析f(x4)f(x2)，f(x2)4f(x2)2，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.触类旁通函数周期性问题的求解关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在已知函数关系的范围上进行求解.本例(1)合理利用已知函数关系和函数奇偶性进行适当变形，准确求出周期.即时训练3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2017)f(2019)的值为()A0 B4 C2 D2答案A解析当x0时，f(x2)，所以f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一个周期所以f(2017)f(2017)f(1)log221，f(2019)f(3)1，所以f(2017)f(2019)0.故选A.4定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当x3，1)时，f(x)(x2)2，当x1,3)时，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2019)_.答案338解析由题意得f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，所以数列f(n)从第一项起，每连续6项的和为1，则f(1)f(2)f(2019)33612338.考向三函数性质的综合应用角度1奇偶性的应用例3(1)(2019金版创新)已知函数f(x)ax3bx1，若f(2019)1，则f(2019)的值为()A3 B1 C1 D0答案A解析设F(x)f(x)1ax3bx，则F(x)为奇函数，所以F(2019)F(2019)，即f(2019)1f(2019)1，所以f(2019)2f(2019)2(1)3，故选A.(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)()A2x2x B2x2xC2x2x D2x2x答案C解析当x0时，xf(2x1)成立的x的取值范围是_答案(，1)解析因f(x)f(x)，故f(x)是奇函数，且x0时，f(x)1，故f(x)单调递增，又f(0)0，从而f(x)是R上的增函数，故f(x)f(2x1)x2x1，得x1.角度2奇偶性与单调性例4(1)(2019天津模拟)设奇函数f(x)在2,2上是减函数，且f(2)3，若不等式f(x)2t1对所有的x2,2都成立，则t的取值范围是()A1,1 B(，1)C(1，) D(，1)(1，)答案C解析因为奇函数f(x)在2,2上是减函数，且f(2)3，所以在2,2上f(x)maxf(2)f(2)3，要使不等式f(x)f(x)max，即2t13，解得t1，故选C.(2)设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_答案解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)所以f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时，f(x)是减函数，所以解得1m0.若函数f(x2017)为偶函数，则()Af(2015)f(2016)f(2017)Bf(2016)f(2015)f(2017)Cf(2017)f(2016)f(2015)Df(2015)f(2017)0，即f(x1)f(x2)(x1x2)f(2018)f(2019)因为f(x2017)为偶函数，所以f(x2017)f(x2017)，所以f(12017)f(12017)，f(22017)f(22017)，即f(2016)f(2018)，f(2015)f(2019)，所以f(2015)f(2016)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)答案C解析f(x)是奇函数，当xf(a)，得2a2a，解得2a1.角度3奇偶性与周期性例5(1)(2019呼伦贝尔统考)已知函数f(x)满足f(x2)f(x2)，yf(x2)的图象关于y轴对称，当x(0,2)时，f(x)log2x2，则下列结论中正确的是()Af(4.5)f(7)f(6.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(7)f(6.5)f(4.5)Df(4.5)f(6.5)f(7)答案A解析由题知f(x)是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为x2.因为当x(0,2)时，f(x)log2x2，所以f(x)在区间(0,2)上是增函数又f(4.5)f(0.5)，f(7)f(3)f(21)f(21)f(1)，f(6.5)f(2.5)f(20.5)f(20.5)f(1.5)，且00.511.52，所以f(0.5)f(1)f(1.5)，即f(4.5)f(7)0，由题意知要满足g(x)在区间2018，2018上有4032个零点，只需m(x)与n(x)的图象在0,4上有两个交点，则可得eae3，故选B.触类旁通利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质.,本例(1)就是将待比较的函数值的自变量全部转化到(0，2)上，再比较大小.即时训练10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析f(x8)f(x4)f(x)，所以函数的周期T8，又f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.因为f(x)在0,2上是增函数，且f(x)0，所以f(x)在2,0上也是增函数，且f(x)0，又x2,4时，f(x)f(x4