2020版高考数学一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算教案理新人教A版.docx

第1讲平面向量的概念及其线性运算基础知识整合1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算3共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即An1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()3.(，为实数)，若点A，B，C共线，则1.1对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当ab0时，ab，所以ab；当ab时，不一定有ab，所以“ab0”是“ab”的充分不必要条件故选A.2(2019嘉兴学科基础测试)在ABC中，已知M是BC中点，设a，b，则()A.ab B.abCabDab答案A解析ab.故选A.3已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是()Aab0BabCa与b共线反向D存在正实数，使ab答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则a与b共线同向，故D正确4已知向量i与j不共线，且imj，nij，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()Amn1Bmn1Cmn1Dmn1答案C解析由A，B，D共线可设，于是有imj(nij)nij.又i，j不共线，因此即有mn1.5(2019大同模拟)ABC所在的平面内有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是()A. B. C. D.答案C解析因为，所以，所以22，即P是AC边的一个三等分点，且PCAC，由三角形的面积公式可知，.核心考向突破考向一平面向量的概念例1给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； 若A，B，C，D是不共线的四点，则，则ABCD为平行四边形；ab的充要条件是|a|b|且ab；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中真命题的序号是_答案解析错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点错误，若b0，则a与c不一定共线正确，因为，所以|且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线故填.触类旁通平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.即时训练1.设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()A0B1 C2D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.故选D.考向二平面向量的线性运算角度向量加减法的几何意义例2(1)在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形B平行四边形C梯形D以上都不对答案C解析由已知得，a2b4ab5a3b8a2b2(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形故选C.(2)(2017全国卷)设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()AabB|a|b|CabD|a|b|答案A解析解法一：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知|，从而ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.角度平面向量线性运算例3(1)(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.答案A解析根据向量的运算法则，可得()，故选A.(2)(2019唐山统考)在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则()A. B.C. D.答案B解析因为2，所以2.又M是BC的中点，所以()().故选B.角度利用线性运算求参数例4(1)在ABC中，点D在边CB的延长线上，且4rs，则sr等于()A0 B. C. D3答案C解析因为4，所以.又因为，所以()，所以rs，sr.(2)(2019河南中原联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(，为实数)，则22()A. B. C1 D.答案A解析()，所以，故22.故选A.触类旁通平面向量线性运算的一般规律(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解即时训练2.已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设a，b，c，d，则()Aabcd0Babcd0Cabcd0Dabcd0答案B解析如图所示，ab，cd，四边形ABCD是平行四边形，AB綊DC，且与反向，即0，也就是abcd0.3设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.答案A解析( ).故选A.4(2019唐山模拟)在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_答案0解析由题意可求得AD1，CD，所以2.点E在线段CD上，(01)，又2，1，即.01，0.考向三共线向量定理的应用例5(1)(2019朔州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()ABCD不存在答案A解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数，使得.又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，所以解得k.故选A.(2)(2019河北衡水调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若2，3，(，R)，则()AB1 C.D3答案A解析()()2()3，因为E，M，F三点共线，所以2()(3)1，即251，所以.故选A.触类旁通(1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数.(2)三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线存在实数，对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足即时训练5.(2019济南模拟)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为()A1B C.D2答案B解析由于c与d共线反向，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2