2020版高考数学总复习第九章平面解析几何第3节圆与圆的方程教案文（含解析）北师大版.docx

第3节圆与圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知 识 梳 理1.圆的定义和圆的方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)|MC|rM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内.微点提醒1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2y2r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆.()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()解析(2)当a0时，x2y2a2表示点(0，0)；当a0时，表示半径为|a|的圆.(3)当(4m)2(2)245m0，即m或m1时表示圆.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P82练习1改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()A.(2，3)，3 B.(2，3)，C.(2，3)，13 D.(2，3)，解析圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径r.答案D3.(必修2P82练习2改编)过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A.(x3)2(y1)24 B.(x3)2(y1)24C.(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线xy20上，所以b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以a1，b1.所以r2.所以方程为(x1)2(y1)24.答案C4.(2018汉中调研)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A.(1，1) B.(0，1)C.(，1)(1，) D.a1解析因为点(1，1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0)，则解得D2，E0，F0，故圆的方程为x2y22x0.法二设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA1，kAB1，所以kOAkAB1，即OAAB，所以OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r|OB|1，圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.(2)法一所求圆的圆心在直线xy0上，设所求圆的圆心为(a，a).又所求圆与直线xy0相切，半径r|a|.又所求圆在直线xy30上截得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，d2r2，即2a2，解得a1，圆C的方程为(x1)2(y1)22.法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a，b)到直线xy30的距离d，r2，即2r2(ab3)23.由于所求圆与直线xy0相切，(ab)22r2.又圆心在直线xy0上，ab0.联立，解得故圆C的方程为(x1)2(y1)22.法三设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心为，半径r，圆心在直线xy0上，0，即DE0，又圆C与直线xy0相切，即(DE)22(D2E24F)，D2E22DE8F0.又知圆心到直线xy30的距离d，由已知得d2r2，(DE6)2122(D2E24F)，联立，解得故所求圆的方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.答案(1)x2y22x0(2)(x1)2(y1)22规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练1】 (1)(2019新乡模拟)若圆C：x2n的圆心为椭圆M：x2my21的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为_.(2)(2018九江模拟)已知圆M与直线xy0及xy40都相切，且圆心在直线yx2上，则圆M的标准方程为_.解析(1)圆C的圆心为，m.又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0，1)，从而n4.故圆C的标准方程为x2(y1)24.(2)圆M的圆心在yx2上，设圆心为(a，2a)，圆M与直线xy0及xy40都相切，圆心到直线xy0的距离等于圆心到直线xy40的距离，即，解得a0，圆心坐标为(0，2)，圆M的半径为，圆M的标准方程为x2(y2)22.答案(1)x2(y1)24(2)x2(y2)22考点二与圆有关的最值问题多维探究角度1斜率型、截距型、距离型最值问题【例21】 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值.解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1).所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2).所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如m的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如maxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.角度2利用对称性求最值【例22】 已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A.54 B.1C.62 D.解析P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3).所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5，即|PM|PN|PC1|PC2|454.答案A规律方法求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.【训练2】 (1)设点P是函数y图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_.(2)已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_.解析(1)函数y的图象表示圆(x1)2y24在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60，作出图象如图所示，由于圆心(1，0)到直线x2y60的距离d2，所以直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.(2)因为圆C：x2y24x2y0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r的圆.设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4，2).连接AC交圆C于Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.答案(1)2(2)2考点三与圆有关的轨迹问题【例3】 已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y).因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21(x2).(2)设PQ的中点为N(x，y).在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】 已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.解(1)由x2y26x50得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1MAB，所以kC1MkAB1，当x3时可得1，整理得y2，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立.设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立，消去y得：(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得k2，此时方程为x26x50，解上式得x，因此0)，则A(0，a).又F(1，0)，所以(1，0)，(1，a).由题意得与的夹角为120，得cos 120，解得a.所以圆的方程为(x1)2(y)21.答案(x1)2(y)2114.(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1，