2020版高考数学总复习第八章立体几何初步第2节简单几何体的表面积和体积教案文（含解析）北师大版.docx

第2节简单几何体的表面积和体积最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.知 识 梳 理1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.简单几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VS底h台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3微点提醒1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2Ra；(2)若球为正方体的内切球，则2Ra；(3)若球与正方体的各棱相切，则2Ra.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则Ra.()解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P44讲解引申改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1 cm B.2 cmC.3 cm D. cm解析由题意，得S表r2rlr2r2r3r212，解得r24，所以r2(cm).答案B3.(必修2P50A1改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球V柱为()A.12 B.23C.34 D.13解析设球的半径为R，则.答案B4.(2016全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12 B. C.8 D.4解析设正方体的棱长为a，则a38，解得a2.设球的半径为R，则2Ra，即R.所以球的表面积S4R212.答案A5.(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A. B. C. D.解析如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径ROA1，球心到底面圆的距离为OM.底面圆半径r，故圆柱体积Vr2h1.答案B6.(2018浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为_.解析由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V(12)226.答案6考点一简单几何体的表面积【例1】 (1)(2019南昌模拟)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是()A.4 B.4 C.4(1) D.8(2)(2018洛阳模拟)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A. B.9 C. D.10解析(1)因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图.由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，则正四棱锥的斜高PE.所以该四棱锥的侧面积S424.故选B.(2)由三视图可知该几何体由一个圆柱与四分之一个球组合而成.圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，所以几何体的表面积为1221341212129.故选B.答案(1)B(2)B规律方法1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练1】 (1)(2019西安模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20 B.24 C.28 D.32(2)(2018烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为()A.342 B.322C.22 D.22解析(1)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体，S圆锥侧315，S圆柱侧2124，S圆锥底329.故几何体的表面积S154928.(2)由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称性，几何体的底面面积S底12()22.几何体表面积S2(2)(212)S底422342.答案(1)C(2)A考点二简单几何体的体积多维探究角度1以三视图为背景的几何体的体积【例21】 (2019河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.6 B.4 C. D.解析由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为2.故几何体体积V232216.答案A角度2简单几何体的体积【例22】 (一题多解)(2018天津卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为_解析法一连接A1C1交B1D1于点E，则A1EB1D1，A1EBB1，则A1E平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1BB1D1D的高，且A1E，矩形BB1D1D的长和宽分别为，1，故VA1BB1D1D1.法二连接BD1，则四棱锥A1BB1D1D分成两个三棱锥BA1DD1与BA1B1D1，VA1BB1D1DVBA1DD1VBA1B1D1111111.答案角度3不规则几何体的体积【例23】 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B. C. D.解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，取AD的中点O，连接GO，易得GO，SAGDSBHC1，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC21.故选A.答案A规律方法1.(直接法)规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.2.(割补法)不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体.3.(等积法)三棱锥：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面.(1)求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥.【训练2】 (1)如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A.3 B.C.1 D.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8 B.4C.84 D.4解析(1)如题图，在正ABC中，D为BC中点，则有ADAB，又平面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1平面ABCBC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1的底面B1DC1上的高，VAB1DC1SB1DC1AD21.(2)该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体，体积V2242448.答案(1)C(2)A考点三多面体与球的切、接问题典例迁移【例3】 (经典母题)(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A.4 B. C.6 D.解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.则68(6810)r，所以r2.2r43，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由2R3，即R.故球的最大体积VR3.答案B【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积.解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球.体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R13.故S球4R2169.【迁移探究2】 若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”，试求该几何体外接球的表面积.解设外接球的半径为R，由三视图可知该几何体是两个正四棱锥的组合体(底面重合)，上、下两顶点之间的距离为2R，正四棱锥的底面是边长为R的正方形，由R232解得R26，故该球的表面积S4R224.规律方法1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练3】 (2019广州模拟)三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A.23 B. C.64 D.解析如图，设O为正PAC的中心，D为RtABC斜边的中点，H为AC中点.由平面PAC平面ABC.则OH平面ABC.作OOHD，ODOH，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又OPPH2，OODHAB2.R2OP2OP2OO24.故几何体外接球的表面积S4R2.答案D思维升华1.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.2.求体积的两种方法：(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高.易错防范1.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错.2.由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.3.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.直观想象简单几何体的外接球与内切球问题1.直观想象主要表现为利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物，解决与球有关的问题对该素养有较高的要求.2.简单几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键.类型1外接球的问题1.必备知识：(1)简单多面体外接球的球心的结论.结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.(2)构造正方体或长方体确定球心.(3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.2.方法技巧：几何体补成正方体或长方体.【例11】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A.25 B.26 C.32 D.36解析由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥.如图，三棱锥ABCD即为该几何体，且ABBD4，CD2，BC2，则BD2BC2CD2，即BCD90，故底面外接圆的直径2rBD4.易知AD为三棱锥ABCD的外接球的直径.设球的半径为R，则由勾股定理得4R2AB24r232，故该几何体的外接球的表面积为4R232.答案C【例12】 (2019东北三省四市模拟)已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，沿AD进行折叠，使折叠后的BDC，则过A，B，C，D四点的球的表面积为()A.3 B.4 C.5 D.6解析连接BC，由题知几何体ABCD为三棱锥，BDCD1，AD，BDAD，CDAD，BDCD，将折叠后的图形补成一个长、宽、高分别是，1，1的长方体，其体对角线长为，故该三棱锥外接球的半径是，其表面积为5.答案C【例13】 (2019广州二测)体积为的三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，PA平面ABC，PA2，ABC120，则球O的体积的最小值为()A. B.C. D.解析设ABc，BCa，ACb，由题可得SABC2，解得SABC.因为ABC120，SABCacsin 120，所以ac6，由余弦定理可得b2a2c22accos 120a2c2ac2acac3ac18，当且仅当ac时取等号，此时bmin3.设ABC外接圆的半径为r，则2r(b最小，则外接圆半径最小)，故2rmin，所以rmin.如图，设O1为ABC外接圆的圆心，D为PA的中点，R为球的半径，连接O1A，O1O，OA，OD，PO，易得OO11，R2r2OOr21，当rmin时，R617，Rmin，故球O体积的最小值为R()3.答案B类型2内切球问题1.必备知识：(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.【例2】 体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为_.解析设球的半径为R，由R3，得R1，所以正三棱柱的高h2.设底面边长为a，则a1，所以a2.所以V(2)226.答案6基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()A. B.C.16 D.24解析设球的半径为R，则S4R216，解得R2，则球的体积VR3.答案B2.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛解析设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r.所以米堆的体积为Vr255(立方尺).故堆放的米约有1.6222(斛).答案B3.(2018上饶模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.7 B. C. D.解析由三视图可知，该几何体是正方体去掉一个三棱锥，正方体的棱长为2，三棱锥的三个侧棱长为1，则该几何体的体积V231118.答案D4.(2019安徽皖南八校二联)榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A.2452，3452 B.2452，3654C.2454，3654 D.2454，3452解析由三视图可知，这榫卯构件中的榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积V4233262454，表面积S2322364322235436.答案C5.(2019商丘模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，主视图和俯视图都是边长为10 cm的正方形，将该材料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近()A.3 cm B.4 cmC.5 cm D.6 cm解析由题意，知该硬质材料为三棱柱(底面为等腰直角三角形)，所以最大球的半径等于左视图直角三角形内切圆的半径，设为r cm，则10r10r10.r1053(cm).答案A二、填空题6.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.答案7.如图，三棱柱ABCA1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的一点，则四棱锥PACC1A1的体积为_.解析设点P到平面ABC、平面A1B1C1的距离分别为h1，h2，则棱柱的高为hh1h2，又记SSABCSA1B1C1，则三棱柱的体积为VSh1.而从三棱柱中去掉四棱锥PACC1A1的剩余体积为VVPABCVPA1B1C1Sh1Sh2S(h1h2)，从而VPACC1A1VV1.答案8.(2018榆林调研)如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图均是高为2，底边长为2的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是_.解析如图所示，由三视图可得该几何体是三棱锥ABCD，其中点A，B，C，D均是该三棱锥所在长方体的棱的中点，ABCD2，长方体的高为2，易得该三棱锥的外接球的半径R，因此该三棱锥的外接球的体积为4.答案4三、解答题9.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？解由PO12 m，知O1O4PO18 m.因为A1B1AB6 m，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)，所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3).故仓库的容积是312 m3.10.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)如图，作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018德阳模拟)已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.36 B.66 C.312 D.12解析由三视图还原几何体如图，该几何体为组合体，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，则其体积V32433436.故选A.答案A12.用长度分别为2，3