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9 2 CHI NES E J OURNAL OF MECHANI CAL ENGI NE ERI NG v 0 1 1 8 ，No 1 ，2 0 0 5 H e Gu a n g p i n g S c h o o I o f M e c h a n ic a I a n d E l e c t r ic a l E n g i n e e r in g ， N o r t h C h i n a U n iv e r s it y o f T e c h n o lo g y , B e ij i n g 1 0 0 0 4 1 ， C h in a L u Z h e n S c h e o I o f A u t o ma t io n S c ie n c e a n d E le c t r i caI E n g in e e r i n g B e ij in g U n iv e rs i ty o f A e r o n a u t i c s a n dA s tr o n a u t ic s ， B e ij i n g 1 0 0 0 8 3 ， C h in a 0 I NTRoDUCTI oN S E L F R E CON F l GUR A T l ON OF UN D E R AC T U A T E D R E D U N D AN T MAN I P UL A T OR S WI T H OP T I M亿l N G T HE F L E X I B I L I T Y E L L l P S Ol D 木 Ab s t r a c t ： Th e mu l t i mo d e s f e a t u r e ， t h e me a s u r e of t h e ma ni p u l a t i ng fle x i bi l i t y , a nd s e l f - r e c o n f i g u r a t i o n c o n t r o 1 me t h o d o f t h e un d e r a c t ua t e d r e d un d an t man i p u l a t o r s a r e inv e s t i g a t e d ba s e d o n t he o p t i mi z i n g t e c h n o l o g y T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c o n fi g u r a t i o n o f t h e j o i n t s p a c e a n d t h e mani p u l a t i n g fle xi b i l i t y o f t h e u n d e r a c t u a t e d r e d un d an t man i p u l a t o r i s an a l y z e d a n e w me a s u r e o f man i p ul a t i n g fle x i b i l t t y e l l i p s o i d f or出e u n d e r a c t u a t e d r e d u n d a nt ma ni p u l a t o r wi t h p a s s i v e o i n t s i n】 o c k e d mo d e j s p r o p o s e d ， wh i c h c a n b e u s e d t o g e t the o p t i ma l c o nfi g ura t i o n f o r t h e r e a l i z a t i o n o f the s e l f - r e c o n f i g u r a t i o n c o n t r o 1 F u r t h e r mo r e a t i me v a r y i ng no n l i n e ar c o n t r o 1 me t h od b a s e d o n h a r mo ni c i n p u t s i s s u g g e s t e d for f ul fil l ing the s e l f - r e c o n f i g u r a t i o n A s i mu l a t i o n e x a mp l e o f a thr e e D0F s u n d e r a c t u a t e d man i p u l a t o r wi t h o n e p a s s i v e j o i n t f e a t u r e s s o me a s p e c t s o f t h e i n v e s t i g a t j o n s Ke y wo r d s ： Un d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r s S e l f - r e c o nf i g u r a t i o n Op t i mi z a t i o n No n l i ne a r c o n t r o1 Un d e r a c t u a t e d me c h a n i s m a n d ma n i p u l a t o r c a n b e u s e d i n s o me fie l d s s u c h a s s p a c e t e c h n o l o g y ,c o o p e r a t i o n r o b o t a n d me t a mo r p h i c me c h a n i s mI n t h e s p a c e fi e l d ，f o r t h e s a k e o f n o l o s i n g t h e u s e f u l f u n c t i o n o r r e a l i z i n g t h e r e c o n fig u r a t i o n o f t h e s y s t e m t h e f a u l t t o l e r a n c e b a s e d o n t h e u n d e r a c t u a t e d t e c h n o l o g y i s e s s e n t i a l wh e n s o me a c t u a t e d c o mp o n e n t s r e v e a l s o me t r o u b l e s An u n d e r a c ma t e d mani p u l a t o r a l s o c a n b e d e s i g n e d a s a c o o p e r a t i o n r o b o t t h a t i s t o s a y C0B0T Th e d r i v e r s o f t h e COBOT a r e n o t f o r a c re a t i n g t h e ma c h i n e b u t f o r p r o v i d i n g a ldn e ma t i c s c o n s t r a i n t t h a t i s u s u a l l y n o n h o l o n o mi c T h e C0B0T n e e d s o u t s i d e 1 o t e e tha t i s p r o v i d e d b y o p e r a t o r a n d c a n c o mp l e t e s o me a c c u r a t e a p p h c a t l o n s s u c h as i n b i o l o g Y e n g l n e e nn g ，s urg i c a l ，a n d s e mi c o n d u c t o r ma n u f a c t u r e a n d s o o n I n t h e fi e l d o f me c h a n i s ms ， t h e me t a mo rph i c me c h a n i s m h a s mu l t i mo d e s and c a n b e tra n s f o r me d f r o m o n e mo d e t o an o t h e r , h a d b e e n p r e s e n t e d r e c e n t l y t Th e tra n s f o rm a t i o n b e t we e n the d i ffe r e n t mo d e s i s l i k e l y t o r e s u l t i n c h a n g e o f t h e DOF s o r c o n s tra i n t s o f t h e me t a mo rph i c me c h a n i s mI t i s o b v i o u s l y t h a t c o n tro l t h e u n d e r a c t u a t e d r e d u n d a n t a c t u a t e d an d f l e x i b l e me c h a n i s m c a n n o t b e e v a d e d Th e r e for e 。 the u n d e r a c ma t e d s y s t e m b e c o me s a n a t t r a c t i v e r e s e a r c h fie l d g r a d u a l l y Th e r e s e a r c h e s o n t h e u n d e r a c ma t e d ma n i p u l a t o r s ma n i f e s t t h e s y s t e m c ann o t b e c o n tr o l l e d b y k i n e ma t i c s Th e mo t i o n o f t h e p a s s i v e i o i n t c a n b e mo v e d b y t h e d y n a mi c c o u p l i n g o n l y L4 ,3 J J a i n ， e t a l【 h a v e s h o wn tha t t h e d y n a mi c c o u p l i n g i s s e c o n d o r d e r n o n h o l o n o mi c c o n s 仃 a i n t s 0 f the u n d e r a c ma t e d ma n i p u l a t o r I n c o n trast wi t h t h e f a c t tha t n o n h o l o n o mi c s y s t e m i s s t d i e d e x t e n s i v e l y a b o u t o n e h u n dre d o f y e ars i n me c h an i c s b u t t h e mo t i o n p l a n n i n g an d c o n tr o l o f t h e n o n h o l o n o mi c s ys t e m i S n o l o n g e r than tw o d e c a d e an d t h e s t d i e s l i mi t e d i n t h e fir s t o r d e r n o n h o l o n o mi c s y s t e m ( s u c h a s wh e e l mo v i n g r o b o t t J , h o p p i n g r o b o t t and s p a c e r o b o t W J ) m a i n l y I n the a s p e c t o f the r e s e ar c h o n the u n d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r s An t h o n e y e t a l t h a v e i n v e s t i g a t e d the s tab i l i t y o fthe mo t i o n Ar a i e t a l L I I J h a v e p r o p o s e d a t i me 。 s c a l i n g me tho dand a c h i e v e dthe p o s i ti o n c o n tr o l o f the s 3 s t e m Le e e t a l L l Z h a v e p r e s e n t e d s e v e r a l k i n d s o f n o n l i n e a r c o n tr o l me t bo d for u n d e r a c t u a t e d a c r o b o t T h e s e r e s e a r c h e s o n t h e c o n tro l o f u n d e r a c ma t e d s y s t e m h a v e r e v e a l e d tha t t h e s e me t h o d s are n o t h i n g b u t n o n l i n e ar,t i me v a r yi n g a n d d i s c r e t e i n n a t u r e Th e f a c t i s ma t Br o c k e tt【 ” h a v e p r o v e d t h a t t h e r e i s n o s mo o t h a n d s tat i c s t a t e f e e d b a c k 1 a w tha t s t a b i l i z e s t h e s y s t e m t o a g i v e n c o n fi gn r a t i o n a s y mp t o t i c a l l y An o b v i o u s f e a t u r e o f t h e n o n h o l o n o mi c s ys t e m i s t l l a t i t i s c o n tro l l a b l e i n a c o n fig u r a t i o n s p a c e wi t h mo r e d i me n s i o n sthan tha t o f thei n p u t s p a c e S 0ma t mu c h a tt e n ti o n s h a v e b e e n p a i d o n the c o n tr o l o f the n o n h o l o n o mi c s y s t e m Th e u n d e r a c t u a t e d me c h an i s m o r ma n i p u l a t o r a l s o i S d i s o b e d i e n t t o the f u n d a me n tal p r i n c i p l e o f t h e me c h a n i s m d e s i gn i n g t h e o r y t h a t j s t h e n u mb e r o f t h e a c ma t e d c o mp o n e n t s s h o u l d e q u a l t 0 t h a t o f the DOF s o f t h e me c h a n i s mT h e u n d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r h a d b e e n s u g g e s t e d fir s t l y i s n o t b y r e a s o n t h a t i t h as s o me me r i t s d i s t i n c t l y ， b u t s o me r e s e arc h e s s h o w t h a t t h e u n d e r - a c t u a t e d me c h a n i s m d e s i gn e d p u r p o s e l y a l s o i S v a l u a b l e F o r e x am p l e Ri v h t e r , e t a l 1 4 1 h a v e me a s ure d mu l t i d i me n s i o n s for c e b y a fle x i b l e u n d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r ,Na k a mu r a e t a l t ” h a v e d e s i gn e d a n o n h o l o n o mi c ma n i p u l a t o r b a s e d o n the wh e e l r o l l i n g c o n tac t a n d c o n tr o l l e d a f o ur DOF s p l anar ma n i p u l a t o r b y tw o i n p u t s He e t a l 【 h a v e p r o p o s e d a c o l l i s i o n fre e mo t i o n p l an a l g o r i t h m for the un d e r a c t u a t e d r e d u n d a n t ma n i p u l a t o r Ba s e d o n t h e r e s u l t s t h a t h a v e b e e n d i s c u s s e d a b o v e 。 we C a l l c o n c l u d e tha t t h e i n v e s t i g a t i o n a b o u t t h e un d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r d e l i b e r a t e l y ma y r e s ul t i n s ome ne w p he no m e non t o be d i s c ove r e d， t e c h ni q ue s t 0 b e p r o p o s e d o r the o r y t o b e for me d the r e for e c o u l d b e d e v e l o p t h e me c h a n i c s p o t e n t i a l l y I n t h i s P a p e we e x p l o r e t h e s t a t i c f e a m r e and s e l f - r e c o n f i g u r a t i o n c o n tr o l me t h o d for the u n d e r a c t u a t e d r e d u n d an t ma n i p u l a t 0 r S 1 FLEXI BI LI TY ELLI PS oI D Th e ma n i p u l a t i n g s t i f f n e s s i s a n i mp o r t a n t p ara me t e r o f a ma n i p u l a t o r , wh i c h c an b e u s e d i n the for c e o r i mp e d a n c e c o n tro 1 A mani p u l a t o r i s o p e n c h a i n i n me c h an i s m g e n e r a l l y , a n d the l i n k s a l wa y s are rig i d b o d i e s ， s o t h e d e form a t i o n o n e n d e f f e c t o r r e s u l t s f r o m t h e i o i n t s ma i n l y T h e s t i ff mo d e c a n b e wr i t t e n t o t h e fol l o w e q u at i o n a p p r o x i ma t e l y M = i =1 ， 2 ， 。 。 。 ， ( 1 ) T h i s p r o j e c t i s s u p p o r t e d b y N a l i 0 n a l N a t u r a 1 s c i e n c e F o u n 血I i 0 n o f c h i m wh e r e ， T 0 r q u e 0 f j 0 i n t ( N o 5 0 3 7 5 0 0 7 ， No 5 0 4 7 5 1 7 7 ) R e c e i v e dMa r c h l 0 ， 2 0 o 4 ； r e c e i v e di n r e v i s e d f 0 I NO v e mb e r 2 3 ， 2 0 0 4 ； a c c 印 t c d De c e mb e r 2 ， 2 0 0 4 维普资讯 CHI NES E J OURNAL OF MECHANI CAL E NGI NEE RI NG 9 3 D e f 0 ma t i o n o f j o i n t i k i S t i f f h e s s c o n s t a n t o f j o i n t i I f t h e g r a v i t a t i o n a n d t h e f r i c t i o n i n t h e j o i n t s a r e i g n o r e d ， s u p p o s i n g the r e i s a f o r c e v e c t o r F R o n t h e ma n i p u l a t o r s e n d e ff e c t o r ， t h e e q u i v a l e n t j o i n t t o r q u e c a n b e wr i t t e n a s M =J F ( 2 ) wh e r e M R E q u i V a I e n t t o r q u e o f t h e j o i n t s JR J a c O b i a nma t rix I t i s we l l k n o w n t h a t t h e d e f o r ma t i o n s o n t h e j o i n t s a n d t h e e n d e ffe c t o r h a v e a r e l a t i o n s h i p a s f o l l o ws A x= J A0 ( 3 ) wh e r e Ax Mi c r o d i s p l a c e me n t o f t h e e n d e ffe c t o r Mi c r 0 d i s p l a c e me n t o f t h e j o i n t s We wr i t e E q ( 1 ) a s a ma t ri xf o rm a n d c o mb i n e i t wi t hE q s ( 2 ) a n d( 3 ) ， b y s o me s i mp l e c a l c u l a t i o n s ， t h e r e l a t i o n s h i p b e t we e n Ax an dFc a nb ewr i tt e n a s wh e r e I f wed e fi n e A x = ( 以 t， ) F 0 0 k 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C ：J k J ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) E q ( 6 ) i s t o s a y t h e fl e x i b i l i t y ma t ri x o f t h e e n d - e ff e c t o r Wh e r e a s C c o r r e s p o n d s t o t h e s t i fi n e s s ma t rix i n tas k s p a c e Th e fl e x i b i 1 - i t y ma t rix C c an b e u s e d t o me asu r e t h e s tat i c f e a t u r e o f Ma n i p u l a t o r Ma t r i x C i s a l s o a f u n c t i o n o f t h e J a c o b i an h e n c e i t i s c h a n g e a b l e i n a l a r g e r a n g for i t r e l a t i o n s t o t h e c o n fi g u r a t i o n a n d the c o n s t r u c t i o n p ara me t e r s T h e v a r i a b l e f e a t u r e s o f t h e ma n i p u l a t o r i n s t a t i c c an b e u s e d t o c o mp l e t e s o me c o mp l i ant a n d c o m。 p l e x man i p u l a t i o n s u c h a s a s s e mb l a g e ， p o l i s h i n g t r e a t me n t a n d s o o n B ase d o n E q s ( 5 ) a n d( 6 ) ， we c a n s e e ma tr i x C i s s y m me t - r i c I f wed e fi n e d e t ( ) ( 7 ) a n d d e c o mp o s e ma t ri x C b y t h e s i n g u l ar v a l u e ， f r o m E q ( 7 ) we h a v e = 丌 ( 8 ) wh e r e o -i ， i =l ， 2 ， ， ， d e n o t e s t h e s i n g u l ar v a l u e o fma tri x C Th e r e f o r e t h e e x p r e s s i o n c i s a p o s i t i v e d e fin i t e s y mme tri c ma t r i x ， an dan e q u a t i o n c a nb ed e fi n e d a s x T ( c c ) = 1 ( 9 ) E q ( 9 ) d e s c ri b e s t h e e q u a t i o n o f a g e n e r a l i z ed e l l i p s o i d T h i s e l l i p s o i d i s t o s a y t h e g e n e r a l i z e d fl e x i b i l i t y e l l i p s o i d( GF E ) T h e p ri n c i p a l a x e s o f t h e e l l i p s o i d a r e e q u a l t o t h e s i n g u l a r v a l u e s o f ma t ri x C r e s p e c t i v e l y F o r s o me i n t u i t i o n i s t i c s a k e ，a p l a n a r tw o l i n k s ma n i p u l a t o r t h a t t h e l e n g t h o f l i nk s L =1 0 m ， i =1 ，2， i s r e g ar d e d a s a n e x a mp l e( F i g 1 ) ， a n d s o me GF E s a r e s h o w n i n F i g 2 and F i g 3 Fi g 1 Pl a n a r 2 R ma n i p u l a t o r Si n g ul a r i t y v a l u e o 1 Fi g 2 GFE o f a f ul l a c t u a t e d pl a na r 2 R mani pu l a t o r L1 ： L 2 =1 0 In 1 0 1 =0 2 = 6 0 。2 = ： 3 5 。3 ：o 2 ：2 o 。 Si n g u l a r i t y v a l ue 1 Fi g3 GF E o fa ful l- a c tua t e d p l an a r 2 R man i p u l a t o r LI ： 0 5 i n L 2 =1 0 in 1 6 5 = 8 2 = 6 0 。 2 6 5 = 8 2 = 3 5 。 3 0 1 = 0 2 = 2 0 。 Th e s e fi g u r e s s h o w t h a t t h e me a s u r e d e p e n d s o n t h e c o n fi g u r a t i o n a n d t h e s t r u c t u r e p aram e t e r s W h e r e a s a ful l a c t u a t e d ma ni p ul a t or 1 s u na bl e t o be c ha n ge d t o t he s t r u c t u r e p ar a m e t e r s g e n e r a l l y Th e r e f o r e ，t h e GFE c an b e c h a n g ed b y d i ff e r e n t c o n 。 fi g u r a t i o n( F i g 2 )b u t n o t t h e s t r u c t u r e p ara me t e r s( c h ang e f r o m F i g 2 t o F i g 3 ) W h e n s o me p a s s i v e i o i n t s are i n tr o d u c e d i n t o t h e f u 1 1 a c tua t e d ma n i p u l a t o r ,f o r s o me c o n v e n i e n c e s u p p o s i n g t h a t t h e p a s s i v e j o i n t s are e q u i p p ed wi t h b r a k e s a n d p o s i t i o n s e n s o r s o ma t t h e b r ak e s c an s wi t c h t h e p a s s i v e i o i n t s b e tw e e n the fre e s wi n g mo d e a n d 也e l o c k e d mo d e t h u s t h e u n d e r a c tua t e d r ed u n d ant mani p u l a t o r r e v e a l s s o me r e d u n d a n t DOF s i n k i n e ma t i c s b u t c a n n o t b e s h o wn i n“ s e l f - mo t i o n ”f o r t h a t t h e d i me n s i o n o f t h e i n p u t s s p a c e i s n o t mo r e t h a n tha t o f t h e t ask s p a c e t y p i c a l l y On t h e o t h e r h a n d ，s wi t c h i n g t h e mo d e o f t h e p a s s i v e i o i n s c a n r e c o n fi R a l r e t h e un d e r a c tua t ed ma n i p u l a t o r ， a n d t h e s y s t e m r e v e a l s s o me d e x t e r o u s n e s s i n a d a p t i n g t o d i ffe r e n t wo r k s 2 FLEXI BI LI TY M ATI UX S u p p o s e d t h a t the r e are s p a s s i v e j o i n t s i n a n und e r a c tu- a t e d r e d u n d a n t mani p u l a t o r , a n d t h e p a s s i v e j o i n t s are e q u i p p e d b ，i 1 1 日一 ， a_ 力 b 一 日 1 1 B 1 a_ 力 维普资讯 9 4 He Gua n g p i ng ， e t a l ： Se l f _ r e c 0 n f i g u r a t i 0 n of u n de r a c t ua t e d r e d u nd a nt ma n i p u l a t o r s wi t h o pt i mi z ing t h e fle x i b i l i ty e l l i p s o i d wi t h b r a k e s Wh e n t h e p a s s i v e j o i n t s a r e f r e e s wi n g mo d e ， t h e mi c r o mo t i o n e q u a t i o n s o f t h e ma n i p u l a t o r c a n b e wri t t e n a s = J a +J p A0 p ( 1 0 ) wh e r e A xR _ Mi c r o d i s p l a c e me n t o f t h e e n d e ffe c t o r R S u b ma t r i x o f t h e J a c o b i a n o f t h e ma n i p u l a t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e a c t u a t e d j o i n t s J一R _ s u b ma t r i x o f t h e J a c o b i a n o f t h e ma n i p u l a t o r c o rre s p o n d i n g t o t h e p a s s i v e j o i n t s R ， R Mi c r o d i s p l a c e me n t i n a c t u a t e d j o i n t s a n d t h e p a s s i v e j o i n t s r e s p e c t i v e l y Wh e n t h e p a s s i v e j o i n t s a r e l o c k e d ， t h e mi c r o m o t i o n e q u a t i o n c a n b e d e s c r i b e d a s A x=J 1 碍 ( 1 1 ) wh e r e R Mi c r 0 一 d i s p l a c e me n t o f t h e e n d e ffe c t o r J I R J a c o b i a n o f the mani p u l a t o r a s p a s s i v e j o i n t s l o c k e d A qR Mi c r o d i s p l a c e me n t i n the a c t u a t e d j o i n t s I t i s o b v i o u s l y t h a t E q s ( 1 1 ) a n d( 3 )h a v e t h e s a me f o r ms E q s ( 1 0 )a n d( 1 1 ) i n d i c a t e t h a t an u n d e r a c tua t e d ma n i p u l a t o r h a s t wo d i ffe r e n t mo d e l i n k i n e ma ti c s I n o t h e r wo r d s ， t h e s y s t e m h a s t h e f e a t u r e o f mu l t i mo d e s i n k i n e ma t i c s A p l a n a r 3 R ma n i p u l a t o r s h o wn i n Fi g 4 c a n b e r e g a r d e d a s a n e x a mp l e o f t h i s Th e s e c o n d j o i n t o f t h e ma n i p u l a t o r i s p a s s i v e ， a n d t h e o t h e r s a r e a c t u a t e d Wh e n the p a s s i v e j o i n t i s fre e ，0R c a n b e c h o s e n a s t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s I f t h e p a s s i v e j o i n t i s l o c k e d ， t h e DO F s o f t h e ma n i p u l a t o r c h an g e s t o tw o ，and t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s c an b e s e l e c t e d a s qR F o r t h e r e a s o n o f q0 o b v i o u s l y t h u s the J a c o b i a n ma t rix s a t i s fie s t h e r e l a t i o n s h i p o f -， I l I Fi g4 P l a n a r 3 R ma n i p ul a t o r B y r e a s o n t h a t t h e u n d e r a c tua t e d ma n i p u l a t o r h a v e d