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解二元一次方程组 加 减 消元法,四川省阿坝州松潘县镇江中学 张学雄,=,=,( )元,( )元,+,+,=,=,5元,8元,关键是看第二行比第一行多的部分,=,=,( )元,( )元,+,+,=,=,5元,8元,关键是看第二行比第一行多的部分,3,2,=,=,( ),( ),+,+,=,=,20,24,关键是看第二行比第一行多的部分,4,16,=,=,( ),( ),关键是看第二行比第一行多的部分,18,4,上面的解法是用式减去式消去未知数y,如果用式减去式,也能消去y吗?,解: 得: -x = -18 x = 18,把x=18代入得 y=4,所以原方程组的解是: x = 18 y=4,想一想,小练习,解方程组:,当方程组中有某个未知数系数相同时,两式相减可以消元。那么,下面这个方程组,如果把两式相减,能够消去一个未知数吗?,想一想: 既然用减法不能消元,那么还有什么方法可以消元呢?,通过观察可以发现,上下两式中,未知数y的系数互为相反数,如果上下两式相加,含y项相加的结果就是零,这样就只剩下了含有x的项,消去了未知数y,实现了消元的目的。,+ 0,=,25,相加,+0,=,25,即: = 25,解得: =5,当方程组中未知数的系数具有什么特点时,用加法消元?未知数系数具有什么特点时,用减法消元?,当同一未知数的系数相等时,用减法消元。,当同一未知数的系数相反时,用加法消元。,巩固应用,仔细观察下面每个方程组中未知数系数的特点,思考应该用加法消元还是用减法消元?,X+2y=9 3x-2y=-1,3a+b=18 3a+4b=36,小诊所,4m +n= 18 3m - n= 10,下面这个方程组,小明求出的解是 m=8 n=14 但代入原方程检验时,发现结果不正确。请帮小明找一找,错在哪里?,解: 得: m = 8,把m=8代入得 n=14,所以原方程组的解是: m = 8 n=14,小诊所,4m +n= 18 3m - n= 10,下面这个方程组,小明求出的解是 m=8 n=14 但代入原方程检验时,发现结果不正确,请帮小明找一找,错在哪里?,解: 得: m = 8,把m=8代入得 n=14,所以原方程组的解是: m = 8 n=14,病因:两式中未知数n的系数相反,用减法不能消元,应该用加法消元。,小诊所,4m +n= 18 3m - n= 10,下面这个方程组,小明求出的解是 m=8 n=14 但代入原方程检验时,发现结果不正确,请帮小明找一找,错在哪里?,解: 得: m = 8,把m=8代入得 n=14,所以原方程组的解是: m = 8 n=14,病因:两式中未知数n的系数相反,用减法不能消元,应该用加法消元。,欣赏:古今数学家对方程组的研究成果。,方程组是解决实际问题的有力武器,古往今来,许多数学家对它进行了大力研究,取得了卓越的成果。,中国古代用算筹解方程组。,算筹,是一些小棒,有木制的,也有骨制的。这些不起眼的小棒棒,在中国古代数学家的手里,竟成了重要的计算工具。古代数学家用它可以进行加减乘除等复杂的运算,甚至还能够解方程组。中国古代著名数学专著九章算术提供的解法是:用一个方程连续去减(或者加)另一个方程,直到消去一个未知数。这种思想,其实就是我们今天研究的“加减消元法”的思想。,近代社会用矩阵解方程组。,后来,数学家们又发明了一种数阵,把方程组中每个未知数的系数排成一个表,这种由数排成的表叫做矩阵,容易看出,这个矩阵与上面的算筹图是相似的,只是用数字替代了算筹。利用矩阵解方程组的方法,与前面所说的算筹方法也是一致的。我们祖先掌握的上述解法,比起欧洲来,要早一千多年,这是我国古代数学的光辉成就。,2 1 39 3 1 34 1 2 3 26,当代社会用计算机解方程组。,如果把我们学的方程组中每个未知数的系数,输入计算机中,通过编写好的程序,计算机可以用极快的速度求出任何一道二元一次方程组的解,解一道方程组用不到1秒。类似的运用,被称为数学机械化,这样,就不需要人工再详细通过纸笔计算来解方程组了,极大地提高了人们工作效率。,吴文俊是中国著名的数学家,因为在数学机械化上
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