平面问题的极坐标解答.ppt

第四章 平面问题的极坐标解答,要点：,（1）极坐标中平面问题的基本方程：, 平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。,（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用,应用：,圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。,4-1 极坐标中的平衡微分方程,4-2 极坐标中的几何方程与物理方程,4-3 极坐标中的应力函数与相容方程,4-4 应力分量的坐标变换式,4-5 轴对称应力与相应的位移,4-6 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞,4-7 曲梁的纯弯曲,4-8 圆盘在匀速转动中的应力与位移,4-9 圆孔的孔边应力集中,4-10 楔形体的楔顶与楔面受力,4-11 半平面体在边界上受法向集中力,4-12 半平面体在边界上受法向分布力,主 要 内 容,4-1 极坐标中的平衡微分方程,1. 极坐标中的微元体,体力：,应力：,PA面,PB面,BC面,BC面,应力正向规定：,正应力 拉为正，压为负；,剪应力 r、的正面上，与坐标方向一致时为正；,r、的负面上，与坐标方向相反时为正。,2. 平衡微分方程,考虑微元体平衡（取厚度为1）：,将上式化开：,两边同除以 ：,两边同除以 ，并略去高阶小量：, 剪应力互等定理,于是，极坐标下的平衡方程为：,（41）,方程（41）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。,4-2 极坐标中的几何方程与物理方程,1. 几何方程,(1) 只有径向变形，无环向变形。,径向线段PA的相对伸长：,（a）,径向线段PA的转角：,（b）,线段PB的相对伸长：,（c）,环向线段PB的转角：,（d）,径向线段PA的相对伸长：,（a）,径向线段PA的转角：,（b）,环向线段PB的相对伸长：,（c）,环向线段PB的转角：,（d）,剪应变为：,（e）,(2) 只有环向变形，无径向变形。,径向线段PA的相对伸长：,（f）,径向线段PA的转角：,（g）,环向线段PB的相对伸长：,环向线段PB的转角：,（h）,（i）,剪应变为：,（j）,(3) 总应变,整理得：,（42）, 极坐标下的几何方程,2. 物理方程,平面应力情形：,平面应变情形：,（43）,（44）,弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：,平衡微分方程：,（41）,几何方程：,（42）,物理方程：,（43）,(平面应力情形),边界条件：,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：,4-3 极坐标中的应力函数与相容方程,1. 直角坐标下变形调方程（相容方程）,（2-22）,（2-23）,（平面应力情形）,（2-25）,(2-27),(2-26),应力的应力函数表示：,2. 极坐标下的应力分量与相容方程,方法1：（步骤）,（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：,（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：,（常体力情形）,（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：,（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：,（常体力情形）,方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）,（1）极坐标与直角坐标间的关系：,（2）应力分量与相容方程的坐标变换：,应力分量的坐标变换,(a),(b),(c),由直角坐标下应力函数与应力的关系（226）：,极坐标下应力分量计算公式：,（45）,可以证明：式（45）满足平衡方程（41）。,相容方程的坐标变换,说明：式（45）仅给出体力为零时的应力分量表达式。,相容方程的坐标变换,(a),(b),将式(a)与(b)相加，得,得到极坐标下的 Laplace 微分算子：,极坐标下的相容方程为：,（46）,方程（46）为常体力情形的相容方程。,说明：,弹性力学极坐标求解归结为,结论：,（1）,由问题的条件求出满足式（46）的应力函数,（46）,（2）,由式（45）求出相应的应力分量：,（45）,（3）,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,3. 轴对称问题应力分量与相容方程,轴对称问题：,（46）,由式（45）和（46）得应力分量和相容方程为：,（410）,应力分量：,相容方程：,4-4 应力分量的坐标变换式,(1) 用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量,(2) 用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量,（48）,（49）,4-5 轴对称应力与相应的位移,求解方法：,逆解法,1. 轴对称问题应力分量与相容方程,（1）应力分量,（410）,（2）相容方程,2. 相容方程的求解,将相容方程表示为：,4阶变系数齐次微分方程,将其展开，有, 4阶变系数齐次微分方程,方程两边同乘以 ：, Euler 齐次微分方程,为方程的特征值,方程的特征根为：,于是，方程的解为：,将 代 回 ：,（411）, 轴对称问题相容方程的通解，A、B、C、D 为待定常数。,3. 应力分量,（410）,将方程（4-11）代入应力分量表达式,（412）, 轴对称平面问题的应力分量表达式,4. 位移分量,对于平面应力问题，有物理方程,（a）,积分式（a），有,（b）, 是任意的待定函数,将式（b）代入式（a）中第二式，得,将上式积分，得:,（c）, 是 r 任意函数,将式（b）代入式（c）中第三式，得,或写成：,要使该式成立，两边须为同一常数。,（d）,（e）,式中F 为常数。对其积分有：,（f）,其中 H 为常数。对式（e）两边求导,其解为：,（g）,（h）,将式（f） （h）代入式（b） （c），得,（b）,（c）,（4-13）,平面轴对称问题小结：,（411）,（1）,应力函数,（2）,应力分量,（412）,（3）,位移分量,（4-13）,式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。,由式（4-13）可以看出：,应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。,但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。,这 时，物体内各点都不会,有环向位移，即不论 r 和 取何值，都应有： 。,对这种情形，有,式（4-13）变为：,4-13（a）,弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：,平衡微分方程：,（41）,几何方程：,（42）,物理方程：,（43）,(平面应力情形),弹性力学平面问题极坐标求解步骤：,（1）,由问题的条件求出满足式（46）的应力函数,（46）,（2）,由式（45）求出相应的应力分量：,（45）,（3）,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,平面轴对称问题的求解：,（411）,（1）,应力函数,（2）,应力分量,（412）,（3）,位移分量,（4-13）,式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。,对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。,极坐标下的平面问题的基本方程,几何方程：,（41）,物理方程：,平面应力情形,平面应变情形,平衡微分方程：,边界条件：,（位移单值条件）,相容方程：,（46）, 常体力情形的相容方程。,应力分量计算式：,（45）,弹性力学极坐标求解归结为,（位移单值条件）,（1）应力分量,（2）相容方程,轴对称问题的应力分量与相容方程：,平面轴对称问题小结：,4-6 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞,1. 圆环或圆筒受均布压力,已知：,求：应力分布。,确定应力分量的表达式：,边界条件：,（a）,将式（4-12）代入，有：,（b）,式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。,对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。,要使单值，须有：B = 0 ，由式（b）得,将其代回应力分量式（4-12），有：,（4-14）,（1）若：,( 二向等压情况),（2）若：,（压应力）,（拉应力）,（3）若：,（压应力）,（压应力）,（4）若：, 具有圆形孔道的无限大弹性体。,边缘处的应力：,2. 压力隧洞,问题：,厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的应力。,1. 分析：,与以前相比较，相当于两个轴对称问题：,(a) 受内外压力作用的厚壁圆筒；,(b) 仅受外压作用的无限大弹性体。,确定外压 p 的两个条件：,径向变形连续：,径向应力连续：,2. 求解,2. 求解,(1) 圆筒的应力与边界条件,应力：,（a）,边界条件：,(2) 无限大弹性体的应力与边界条件,应力：,（b）,边界条件：,将式（a）、（b）代入相应的边界条件，得到如下方程：,4个方程不能解5个未知量，,需由位移连续条件确定。,上式也可整理为：,(c),(d),利用：,(e),要使对任意的 成立，须有,(f),对式（f）整理有，有,(g),式（g）中：,将式（g）与式（c）（d）联立求解,（4-16）,当 n 1 时，应力分布如图所示。,讨论：,（1）,压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。,完全接触：,接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为,应力：,位移：,（1）,非完全接触（光滑接触）,应力：,位移：,接触条件：,4-7 曲梁的纯弯曲,1 . 问题及其描述,矩形截面曲梁：内半径为 a ，外半径为 b ，在两端受有大小相等而转向相反的弯矩 M 作用（梁的厚度为单位1），O 为曲梁的曲率中心，两端面间极角为。,取曲梁的曲率中心 O 为坐标的原点，并按图示建立坐标系。,由于各截面上弯矩 M 相同，因而可假定各截面上应力相同，构成一轴对称问题（对称轴为 z 轴）。,2 . 应力分量,1. 曲梁的应力,3. 边界条件, 自然满足,（1）,（2）,将应力分量代入，有,（a）,（b）,注：此处为单连体问题，,（3）,端部：,（c）,（d）,由轴对称问题应力分量式,将其代入式（c）,代入式（c），有,代入式（d），有,（分部积分）,将其代入，有,整理，有,（d）,（a）,（b）,联立求解式（a）（b）（d）,可求得：,其中：,将其代入应力分量式，有,（f）,其截面上的应力分布如图：,讨论：,（1）,（2）,中性轴（ ）距内侧纤维较近，离外侧较远，中性轴不过截面形心。,（3）,与材料中比较：,关于截面不再成线性分布，而是成双曲线分布。但在曲率不大时这种影响较小；,挤压应力 实际不为零；,2. 曲梁的位移,2. 曲梁的位移,假定：,（4-13）,代入位移分量式（4-13），确定得,代回位移分量式（4-13），即得相应的位移分量。这里只给出环向位移：,将上式对变量 r 求导，得,由上式可知： 当 一定时，曲梁截面任意径向线段 dr 转角都相同，即平面 保持平面。,表明：材力中纯弯曲曲梁的平面保持平面假设是正确的。,问题：,图示为带有一微小张角缺口的圆环，若将此圆环焊成一整环，试求此时环内的内力矩 M 。,解：,要使该圆环焊成一整环，需在两端加上一对平衡力矩 M 。,使其产生环向位移为：,由两端受力偶作用时的环向位移计算式：,由前面系 B 的计算式：,代入应力分量式，可求出圆环中的装配应力。,4-8 圆盘在匀速转动中的应力与位移,由问题的几何形状与外力（体力）均对称于轴 O ，因而为轴对称问题。,等厚度圆盘，半径为 a ，均匀旋转的角速度为，回转轴为O ，圆盘的密度为，求：圆盘内的应力与位移。,1. 等厚度圆盘,（1）问题的描述,圆盘内任一点具有加速度（径向）：,圆盘内任一点具有惯性力（径向）：,由此可见，该问题为一变体力的问题，体力分量为：, 沿 r 方向线性变化的体力,所以有：,（2）平衡方程、相容方程与应力函数,平衡方程：,（a）,将上式两边同乘以 r ,有,引入函数 ，,使得：,（b）,这里也称 为应力函数。, 应力分量计算式,（但不是常体力下的应力函数 ）,相容方程：,（变形协调方程）,轴对称问题的几何方程为：,在式（c）中消去位移分量，有：, 应变表示的变形协调方程（相容方程）,由平面应力情形下的物理方程：,代入上式，有,再将应力分量式（b）代入，并整理得,（d）,（d）,两边同除 r2,也可简写成：,将上式对 r 积分一次，得：,两边同乘以 r，并积分，得：, 应力函数表示的相容方程,应力函数：,两边同除以 r，并积分，得：,再将应力函数代入应力分量式（b），有,（ e）,式中：A、B 为任意常数。由定解条件确定。,（3）应力分量,应力有界条件：,对实心圆盘，为保证 r = 0 处应力的有界性，应取：,边界条件：, 自动满足,代入式（e），有,（ f）,最大应力点位于圆盘的中心：,（4）位移分量,由几何方程，可得：,（ g）,最大位移点位于圆盘的边缘：,最大位移点位于圆盘的边缘：,2. 变厚度圆盘,作为自学（一般了解）内容,4-9 圆孔的孔边应力集中,1. 孔边应力集中概念,由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。,称为孔边的应力集中。,应力集中系数：,与孔的形状有关，是局部现象；,与孔的大小几乎无关。,（圆孔为最小，其它形状较大）,2. 孔边应力集中问题的求解,（1）问题：,带有圆孔的无限大板（B a），圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。,求：孔边附近的应力。,（2）问题的求解,问题分析,坐标系：,就外边界（直线），宜用直角坐标；,就内边界（圆孔），宜用极坐标。,取一半径为 r =b (ba），在其上取一点 A 的应力：,由应力转换公式：,原问题转化为：,无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。,新问题的边界条件可表示为：,内边界,外边界,（a）,问题1,（b）,（c）,问题2,将外边界条件（a）分解为两部分：,问题1的解：,该问题为轴对称问题，其解为,当 ba 时，有,（d）,问题2的解：,（非轴对称问题）,由边界条件（c），可假设： 为 r 的某一函数乘以 ； 为r 的某一函数乘以 。,又由极坐标下的应力分量表达式：,可假设应力函数为：,将其代入相容方程：,与前面类似，,该方程的特征方程：,特征根为：,方程的解为：,相应的应力分量：,对上述应力分量应用边界条件（c）, 有,（e）,求解A、B、C、D，然后令 a / b = 0，得,代入应力分量式（e）, 有,（f）,将问题1和问题2的解相加, 得全解：,（4-17）,讨论：,（1）,沿孔边，r = a，环向正应力：,（4-18）,（2）,沿 y 轴， =90，环向正应力：, 齐尔西（G. Kirsch）解,（3）,沿 x 轴， =0，环向正应力：,（4）,若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用,叠加后的应力：,（4-19）,（5）,任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。,只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：,4-10 楔形体的楔顶与楔面受力,1. 楔顶受有集中力P作用,楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力 P ，与中心线的夹角为，求：,（1）应力函数的确定,因次分析法：,由应力函数与应力分量间的微分关系，,可推断：,（a）,将其代入相容方程，以确定函数：,得：, 4阶常系数齐次的常微分方程,其通解为：,其中A，B，C，D为积分常数。,将其代入前面的应力函数表达式：,（4-20）,（对应于无应力状态）,（2）应力分量的确定,边界条件：,（1）, 自然满足,（2）,楔顶的边界条件：,（b）,将式（b）代入，有：,积分得：,可解得：,代入式（b）得：,（4-21）, 密切尔（ J. H. Michell ）解答,两种特殊情况：,（1）,（2）,两种情况下的应力分布：,应力对称分布,应力反对称分布,（3）,无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用,2. 楔顶受有集中力偶 M 作用,（1）应力函数的确定,由应力函数与应力分量间的微分关系，,可推断：,将其代入相容方程：,（c）,（4-22）,（2）应力分量的确定,考虑到：,反对称载荷下，对对称结构有：,为奇函数；,而 则为偶函数。,由应力函数 与 关系可知，,应为奇函数。即,将其代入应力分量表达式，得到,（d）,边界条件：,（1）, 自然满足,（e）,（2）,代入应力分量表达式（d）, 得：,（4-23）, 英格立斯（C. E. Inglis）解答,说明：,另外两个边界条件，一定自动满足。,楔顶的边界条件：,特殊情况：,说明：,前面有关楔形体的分析结果，在楔顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力 P 和集中力偶 M 的原因，事实上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在小区域的面力超过材料的比例极限，则弹性力学的基本方程不再适用。,前面有关楔形体的分析结果的适用性：离楔顶稍远的区域。,3. 楔形体一侧面上受有均布面力 作用,（1）应力函数的确定,由应力函数与应力分量间的微分关系，,可推断：,将其代入相容方程：,（f）,得到：,该方程的解为：,（4-24）,（2）应力分量的确定,（g）,边界条件：,由此可确定4个待定常数。,可求得：,将常数代入应力分量表达式，有,（4-25）,特殊情况：,若用直角坐标表示，利用坐标变换式：,楔形体（尖劈）问题应力函数的构造小结：,附1：曲梁一端受径向集中力作用,矩形截面曲梁（单位厚度），内半径为 a ，外半径为 b ，一端固定，另一端受径向集中力作用。,（1）应力函数的确定,分析：,任取一截面 m-n ，截面弯矩为,由材料力学初等理论，可知截面上正应力,由此假定：,再由应力分量与应力函数间的关系，,可推得：,将其代入相容方程,（a）,该方程可转变为欧拉方程求解，其解为,（b）,代入应力函数为,（c）,（2）应力分量的确定,（d）,边界条件：,代入应力分量得：,端部条件：,（e）,代入剪应力分量得：,（f）,联立求解式（e）、（f），得：,其中，,代入应力分量式（d），有：,（f）,弹性力学极坐标求解归结为：,（1）,由问题的条件求出满足式（46）的应力函数,（46）,（2）,由式（45）求出相应的应力分量：,（45）,（3）,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,1. 轴对称问题,（412）,应力函数：,应力分量：,位移分量：,（4-13）,2. 非轴对称问题,(1) 孔边应力集中问题, 齐尔西（G. Kirsch）解,(2) 楔形体问题,(3) 曲梁问题,附1：曲梁应力函数确定的基本方法,思路：,与直梁确定应力函数的方法类似，借且于梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关系、应力与应力函数间微分关系，来推断应力函数的分离变量形式。,梁截面上的应力内力的关系：, M、Q为梁截面上的弯矩与剪力。,直梁截面上的应力内力的关系：,曲梁截面上的应力内力的关系：, q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。,4-11 半平面体在边界上受法向集中力,1. 应力分量,由楔形体受集中力的情形，可以得到,（4-26）, 极坐标表示的应力分量,利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得,（4-27）,或将其改为直角坐标表示，有,（4-28）,2. 位移分量, 直角坐标表示的应力分量,假定为平面应力情形。,其极坐标形式的物理方程为,（4-29）,(a),(b),(c),积分式（a）得，,(d),将式（d）代入式（b），有,积分上式，得,(e),将式（d）(e) 代入式（c） 得，,(d),(e),(c),要使上式成立，须有：,不妨令=0，可解得：,代入位移分量式（d）（e），有,式中，常数H，I，K 由边界条件确定。,(f),常数 I 须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。,由式（f）得：,(g),由问题的对称性，有：,3. 边界沉陷计算,M点的下沉量：,由于常数 I 无法确定，,所以只能求得的相对沉陷量。,为此，在边界上取,一基准点B，如图所示。,M点相对于基准点B的沉陷为,简化后得：,（4-30）,符拉芒（A. Flamant）公式,对平面应变情形：,4-12 半平面体在边界上受法向分布力,1. 应力分量,dP 作用在原点O，则有,dP 作用在距原点 时，,将此式在 AB 区间上积分，得,（4-31）,式中，需将分布力集度 q 表示成 的函数，再进行积分。,2. 边界点的相对沉陷量,讨论均匀分布的单位力的情形。,计算分布力中点 I 相对于 K 点的沉陷量：,（a）,（a）,对 r 积分，即可求得 I 点的相对沉陷量。,当基准点K位于均布力之外时，沉陷量为,为简单起见，假定基点 K 取得很远，即s远大于r，积分时可视其为常数，积分结果为：,（4-32）,其中常数 C、Fki 的值为：,（b）,（c）,平面问题极坐标求解方法小结,一. 基本方程,1. 平衡方程,（41）,2. 几何方程,（42）,3. 物理方程, 平面应力情形,（43）,4. 边界条件,位移边界条件：,应力边界条件：,二、按应力求解基本步骤,（46）,（2）,由式（45）求出相应的应力分量：,（45）