概率论基础知识.ppt

周 圣 武,数理统计,Tel:E-mail: ,中国矿业大学 理学院,1.3 随机变量及其分布函数,定义1 设随机试验的样本空间,在样本,上的实值单值函数，,称,是定义,为随机变量。,2）随机变量的取值在试验之前无法确定,且取值有一定的概率。,随机变量和普通函数的区别,1） 定义域不同,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z, U,V ,W等表示,随机变量,非离散型随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,混合型随机变量,随机变量的分类,我们将研究两类随机变量：,如：“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.,（1）离散型随机变量,（2）连续型随机变量,如：“灯管的寿命”， “测量误差”等.,从中任取3 个球取到的白球数X是一个随机变量 .,(1) X 可能取的值是0,1,2 ;,(2) 取每个值的概率为:,看一个例子,1.离散型随机变量,定义1 若随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 则称X为离散型随机变量 .,其中 (k=1,2, ) 满足：,（2）,定义2 设 xk (k=1,2, ) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称,为离散型随机变量 X 的分布律.,解 依据分布律的性质,a0 ,从中解得,即,例1,设随机变量X的分布律为,k = 0,1,2, ,试确定常数a .,离散型随机变量表示方法,（1）公式法,（2）列表法,例2 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解 X可取值为0,1,2 ;,PX =0=0.10.1=0.01,PX =1= 20.90.1 =0.18,PX =2=0.90.9=0.81,X的分布律为,例3 设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号,灯，每盏信号灯以概率,允许汽车通过,变量,表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）,解,由题意可知,将,带入可得,的分布律为,（1） (01)分布,定义1 如果随机变量X的分布律为,则称X服从参数为p的(01)分布。,即,或,2.常用的离散型随机变量,（01）分布的分布律也可写成,伯努利概型（概率论中最早研究的模型之一，也是,研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由,它推导）,重复独立试验,在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各,结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。,（2）二项分布,“重复”是指这n次试验中P(A)= p保持不变.,“独立”是指各次试验的结果互不影响 .,伯努利概型,设随机试验E只有,两种可能结果，且,将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验,为n重伯努利试验，或 n重伯努利概型。,掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”,抽验产品：“是正品”，“是次品”,一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的 结果：A 或 .,这样的试验E称为伯努利试验 .,二项分布,n重伯努利试验中,“事件,恰好发生k次”,即,的概率为：,定义2 如果随机变量,的分布律为,则称,服从参数为,的二项分,其中,布，记为,特别,当,时,二项分布为,这就是（01）分布，常记为,例1 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地,取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品,的概率.,，于是所求概率为,则,例2 一大批产品中一级品率为0.2，现随机抽查20,只，问20只元件中恰好有 k 只 (k=0,1,2,20),为一级,品的概率为多少？,解,设,表示20只元件中为一级品的只数，,这个试验可以看作伯努利试验。,例3 某人射击命中率为0.02，独立射击400次，试,求至少击中2次的概率？,解 设,表示击中的次数，则,所以分布律,则所求概率,定理1（泊松Poisson定理) 设,是一常数，n是,正整数，若,，则对任一固定的非负整数,定义1 设随机变量,所有可能取的值为0,1,2,而,且概率分布为：,（3） 泊松分布,其中,，则称,服从参数为,的泊松分布，记,近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。,泊松分布的应用, 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客,数, 生物存活的个数, 放射的粒子数,2.分布函数,为X 的分布函数。,设 X 是一个随机变量，,定义1,是任意实数，称函数,的值就表示X 落在区间,上的概率.,分布函数,对任意实数,上的概率,，用F(x)刻画随机点落在区间,分布函数的性质, 单调不减性：, 右连续性：对任意实数, 归一 性：,，则,具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分,布函数。,故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,解,所以,例2 已知离散型随机变量 X 的分布函数为,求 X 的分布律。,解 X 的可能取值为 3，4，5。,所以 X 的分布律为,例3 设X 表示弹着点与靶心的距离.已知：,Answer,3. 连续型随机变量,定义1. 设 F(X) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负,，使对任意实数,则称 X为连续型随机变量，称,为 X 的概率密度函,数，简称概率密度或密度函数。,记为,函数,概率密度的性质, 非负性, 归一性,可由下图表示,面积为1,这两条性质是判定一个函,是否为某随机变量X,的概率密度的充要条件。,数, 对于任意的数,有, 概率密度,在点,处连续，则有,解,4.几种常用的连续型随机变量,(1) 均匀分布,定义 若随机变量X 的概率密度为：,则称 X 服从区间a, b上的均匀分布，记作,由上可知均匀分布的分布函数为,图形如下,解,依题意， X U 0, 30 ,以7:00为起点0，以分为单位,随机变量，,例1 某公共汽车站从上午7时起，,每15分钟来一班车，,即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，,如果乘客到达此站时间X 是7:00 到 7:30 之间的均匀,试求他候车时间少于5分钟的概率.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3。,(2)指数分布,若随机变量X 的概率密度为：,指数分布。,为常数，则称随机变量X服从参数为的,其中,概率密度的图形,指数分布的分布函数为,例2 假设灯管的寿命X （单位：小时）服从参数为,的指数分布， （1）求这个灯管能使用1000小时以上的概率； （2）若已知该灯管已使用1000小时，求它能再使用1000小时的概率。,(3) 正态分布,定义1 设连续型随机变量的概率密度为,其中,为常数，则称 X 服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为,条关于 对称的钟形曲线.,特点是:,正态分布的密度曲线是一,正态分布的图形特点,决定了图形,决定了图形中,峰的陡峭程度,的中心位置,“两头小,中间大,左右对称”,定义2,若X 的概率密度为,则称 X 服从标准正态分布，记为,X的分布函数为,例1,解,设随机变量,，试求,一般地，若,，我们只要通过一个线性变,换就能将它化成标准正态分布。,定理1 若随机变量,，则,结论, 若,，则它的分布函数可以写成, 若,解,例2