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人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修3,1.3.1辗转相除法与更相减损术,“求两个正整数的最大公约数”是数学中的一个基础性问题,它有各种解决办法,我们以此为案例,对该问题的算法作一些探究.,例1.求18与24的最大公约数:,短除法,想一想,如何求8251与6105的最大公约数?,例1.求8251与6105的最大公约数:,为什么?,辗转相除法 (欧几里得算法),试试看:用辗转相除法求225和135的最大公约数,思考:上面两个例子中的算理是什么?,1:用大数除以小数,2:除数变成被除数,余数变成除数,3:重复1、2,直到余数为0,辗转相除法(欧几里得算法),定义:所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数。若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,主要运用的是 哪种算法结构?,m = n q r,辗转相除法(欧几里得算法),(1)算法步骤:,第一步:输入两个正整数m,n(mn). 第二步:计算m除以n所得的余数r. 第三步:m=n,n=r. 第四步:若r0,则m,n的最大公 约数等于m; 否则转到第二步. 第五步:输出最大公约数m.,算法、框图、程序,m = n q r,辗转相除法(欧几里得算法),(2)程序框图:,m = n q r,辗转相除法(欧几里得算法),(3)程序:,INPUT “m,n=”;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END,例2.求98与63的最大公约数.,解:,986335 633528 35287 28721 21714 1477,所以,98和63的最大公约数等于7,这又是为什么?,更相减损术,思考:上面例子中的算理是什么?,定义:所谓更相减损术,就是对于给定的两个数,用较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成新的一对数,再用较大的数减去较小的数,反复执行此步骤直到差数和较小的数相等,此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,更相减损术,循环结构,1.用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数,练习:,思路分析:先约简,再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。,2.求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析:求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数,第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,请比较辗转相除法与更相减损术的区别,思考?,(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来
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