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文档简介

第四节 实对称矩阵的相似矩阵,一、实对称矩阵特征值的性质 二、实对称矩阵的相似理论 三、 实对称矩阵对角化的方法,第四节 教学要求 1、掌握实对称矩阵特征值的性质 2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法,定理1 实对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、实对称矩阵特征值的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,于是有,两式相减，得,定理1的意义,证明,于是,二、实对称矩阵的相似理论,定理4 任意实对称矩阵 都与对角矩阵相似。,它们的重数依次为,其中,证明：,设 的互不相等的特征值为,由定理3，对应于特征值,又由定理2及 知， 有 个线性无关的特征向量，,恰有 个线性无关的特征向量，,从而 与对角矩阵相似。,定理5 设 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 使 ，其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩阵。,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,三. 实对称矩阵对角化的方法,其中对角矩阵 的主对角元的排列顺序与 中列向量的排列顺序相对应.,解,例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,于是得正交阵,利用对角化可求方阵的幂,例2 设 为3阶实对称矩阵, 的特征值为 求,解: 由于 是实对称矩阵,故 必可对角化,且,例3 设三阶实对称矩阵 的特征值为-1,1,1,与特征值-1对应的特征向量为 ,求,即,解之得基础解系,故 就是对应于 的特征向量.,解:设与特征值 对应的特征向量为,由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向 量一定正交,故,又 的对应于二重特征值 的线性无关的特征向量一定有两个,记,于是,例4 设 是两个 阶实对称矩阵,证明 相似 的充要条件是 有相同的特征值.,证明,若A与B 有相同的特征值.记特征值为,由相似矩阵的传递性知 A与B 相似.,因为实对称矩阵A与B 必可对角化 ,所以,若 A与B 相似,由相似矩阵的性质, A与B 一定有相同的特征值.,1. 对称矩阵的性质：,小结,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值,2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值
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