2020届高考数学第二篇导数在研究函数中的应用（第3课时）利用导数证明不等式专题课时作业理新人教A版.docx

第3课时 利用导数证明不等式专题课时作业1已知函数f(x)ln x0若x1x20，求证：.解：当x1x20时，不等式等价于ln，即ln.令x(x1)，构造函数F(x)ln x(x1)，F(x)0，所以F(x)在(1，)上单调递增，F(x)F(1)0，即ln x，所以原不等式成立2(2018西安期末)已知函数f(x)mx，g(x)2ln x，(1)当m2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当m1时，判断方程f(x)g(x)在区间(1，)上有无实根；(3)当x(1，e时，不等式f(x)g(x)2恒成立，求实数m的取值范围解析：(1)m2时，f(x)2x，f(x)2，f(1)4，切点坐标为(1,0)，切线方程为y4x4(2)m1时，令h(x)f(x)g(x)x2ln x，h(x)10，h(x)在(0，)上为增函数，又h(1)0，所以f(x)g(x)在(1，)内无实数根(3)mx2ln x2恒成立，即m(x21)2x2xln x恒成立又x210，则当x(1，e时，m恒成立，令G(x)，只需m小于G(x)的最小值G(x)，1xe，ln x0，x(1，e时，G(x)0，G(x)在(1，e上单调递减，G(x)在(1，e的最小值为G(e)，则m的取值范围是.3已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x0)解：(1)设两曲线的公共点为(x0，y0)，f(x)x2a，g(x)，由题意知f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，即由x02a，得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2ln aa23a2ln a.令h(t)t23t2ln t(t0)则h(t)2t(13ln t)，于是当t(13ln t)0，即0te时，h(t)0；当t(13ln t)0，即te时，h(t)0.故h(t)在(0，e)上为增函数，在(e，)上为减函数，于上h(t)在(0，)上的最大值为h(e)e，即b的最大值为e.(2)证明设F(x)f(x)g(x)x22ax3a2ln xb(x0)，则F(x)x2a(x0)故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，)上为增函数于是F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x0时，有f(x)g(x)0.即当x0时，f(x)g(x)4(2019福建四地六校联考)已知a为实数，函数f(x)aln xx24x.(1)是否存在实数a，使得f(x)在x1处取得极值？证明你的结论；(2)设g(x)(a2)x，若x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)定义域为(0，)，f(x)2x4.假设存在实数a，使f(x)在x1处取极值，则f(1)0，a2，此时，f(x)，当x0时，f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，x1不是f(x)的极值点故不存在实数a，使得f(x)在x1处取得极值(2)由f(x0)g(x0)，得(x0ln x0)ax2x0，记F(x)xln x(x0)，F(x)(x0)，当0x1时，F(x)0，F(x)单调递减；当x1时，F(x)0，F(x)单调递增F(x)F(1)10，a，记G(x)，x，G(x).x，22ln x2(1ln x)0，x2ln x20，x时