2020届高考数学一轮复习讲练测专题2.8函数与方程（讲）文（含解析）.docx

专题2.8 函数与方程1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.知识点一 函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210【特别提醒】1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点，函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0的实根.2.由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件.考点一 函数零点所在区间【典例1】（2019河北正定中学模拟）若x0是方程xx的解，则x0属于区间()A. B.C. D.【答案】C【解析】令g(x)x，f(x)x，则g(0)1f(0)0，gf，gf，结合图象可得x0.【方法技巧】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【变式1】（2019山西忻州一中模拟） 函数f(x)ln x的零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)【答案】B【解析】易知f(x)ln x在定义域(0，)上是增函数，又f(1)20.根据零点存在性定理，可知函数f(x)ln x有唯一零点，且在区间(1，2)内.考点二 判断函数零点个数【典例2】【2019年高考全国卷文数】函数在0，2的零点个数为（ ）A2 B3C4D5【答案】B【解析】由，得或，或在的零点个数是3.故选B【方法技巧】(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数【变式2】（2019北京牛栏山一中模拟）已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2 B3C4 D5【答案】A【解析】由已知条件可得g(x)3f(2x)函数yf(x)g(x)的零点个数即为函数yf(x)与yg(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示由图可知函数yf(x)与yg(x)的图象有2个交点，所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2，选A.考点三 根据函数零点个数或存在情况求参数范围【典例3】【2019年高考浙江】已知，函数若函数恰有3个零点，则（ ）Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 【答案】C【解析】当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x，则yf（x）axb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axbx3（a+1）x2+axaxbx3（a+1）x2b，当a+10，即a1时，y0，yf（x）axb在0，+）上单调递增，则yf（x）axb最多有一个零点，不合题意；当a+10，即a1时，令y0得x(a+1，+），此时函数单调递增，令y0得x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数yf（x）axb恰有3个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点，在0，+）上有2个零点，如图：0且，解得b0，1a0，b（a+1）3，则a1，b0.故选C【方法技巧】解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解【变式3】(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)【答案】C【解析】令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.考点四 根据函数零点的范围求参数范围【典例4】（2019辽宁抚顺一中模拟） 若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_【答案】【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即解得m.【方法技巧】解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围。【变式4】（2019河北保定一中模拟）设函数f(x)g(x)f(x)4mxm，其中m0.若函数g(x)在区间(1,1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是()A1 B.C1 D.【答案】C【解析】作出函数yf(x)的大致图象，如图所示函数g(x)的零点个数函数yf(x)的图象与直线y4mxm的交点个数直线y4mxm过点，当直线y4mxm过点(1,1)时，m；当直线y4mxm与曲线y1(1x0)相切时，设切点为，由y得切线的斜率为，则，解得x0，所以4m4，得m1.结合图象可知当m或m1时，函数g(x)在区间(1,1)上有且仅有一个零点考点五 求函数多个零点(方程根)的和【典例5】 (2019石家庄质量检测)已知M是函数f(x)|2x3|8sin x(xR)的所有零点之和，则M的值为_【答案】12【解析】将函数f(x)|2x3|8sin x的零点转化为函数h(x)|2x3|与g(x)8sin x图象交点的横坐标在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M812.【方法技巧】求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线ym与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性