大学数学基础教程课后答案微积分.pdf

1 大学数学基础教程（微积分 1-4 章）习题答案 习题 11 解答 1设，求 y x xyyxf+=),( ),( 1 ),(), 1 , 1 (),( yxfy x xyf yx fyxf 解； y x xyyxf+=),( xxy y yxf yx y x xyf x y xyyx f + =+=+= 2 22 ),( 1 ;),(; 1 ) 1 , 1 ( 2设，证明：yxyxflnln),(=),(),(),(),(),(vyfuyfvxfuxfuvxyf+= ),(),(),(),( lnlnlnlnlnlnlnln )ln)(lnln(ln)ln()ln(),( vyfuyfvxfuxf vyuyvxux vuyxuvxyuvxyf += += += 3求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),( 22 +=yxyxf （2）; )1ln( 4 ),( 22 2 yx yx yxf = （3）;1),( 2 2 2 2 2 2 c z b y a x yxf= （4）. 1 ),( 222 zyx zyx zyxf + = 解（1）1, 1),(=yxyxD y x 1 1-1 -1 O 2 （2）xyyxyxD4, 10),( 222 =xx306 )6,5( )6,5( 2 2 = x x f 在点(5,6)取得极小值),(yxf88)6 , 5(=f 又()0243612)6(26 )6,1 ( )6,1( 2 )6,1( =+= xxxf 当时，有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（唯一驻点） 2 1 =x)(xf = 2 1 2 2 1 2 2 = xx d 8 27 故抛物线和直线之间的最短距离为 2 xy=02 =yx 8 27 5、求抛物线被平面截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与 22 yxz+=1=+zyx 最短距离。 解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为 222 zyxd+= 此问题即是求在条件下的最大值和最小值。 222 zyxd+= =+ += 1 22 zyx yxz 令) 1()( 22222 +=zyxzyxzyxL 由 += += += += += 令 令 令 令 令 01 0 02 022 022 22 zyxL zyxL zL yyL xxL z y x 由-得0)(2(1=+yx 若代入，得，1=0= 再代入，=r （4）设+= 432 2 1 2 1 2 1 2 1 s += 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 1 因为为的几何级数，为 的几何级数，故，均为收敛s 2 1 =rr 3 2 s 级数， 故原级数收敛。 习题 42 1（1）因为，而级数发散，故该级数发散。 2 1 1 12 1 lim= n n n =1 1 n n （2） 因为，而发散，故原级数发散。 nnn n n n un 11 1 1 22 = + + + + = =1 1 n n =1n n u （3）因为，而且收敛，故原级数收敛 。 ()() 1 45 lim 1 41 1 lim 2 2 2 = + = + nn n n nn nn =1 2 1 n n （4）因为，而且收敛，故原级数收敛。 = n n n n n n 2 2 sin lim 2 1 2 sin lim =12 1 n n 2 （1），因为， n n n n u 2 3 =1 2 3 ) 12 3 (lim 2 3 2)1( 3 limlim 1 1 1 = + = + = + + + n n n n u u n n n n n n n n n 故级数发散。 52 （2）因为,故级数收敛。1 3 1 ) 1 ( 3 1 lim 3 3 )1( limlim 2 2 1 2 1 a b 当时，无法判断。ab=1= a b 4 （1），而， n n nu) 4 3 (=1 4 3 4 31 lim ) 4 3 ( ) 4 3 )(1( limlim 1 1 = + = + = + + n n n n u u n n n n n n n 故级数收敛 53 （2），而，故级数收敛。 ! 4 n n un=10 1 1 ) 1 (lim ! )!1( )1( limlim 4 4 4 1 = + + = + + = + nn n n n n n u u nn n n n （3）因为，而级数发散，故级数发散。1 2 1 lim 1 )2( 1 lim 1 lim 1 = + + = + + = + n n n nn n n u nn n n =1 1 n n (4）因为,1 2 ) 1 1( 1 lim2) 1 (2lim !2 )1( )!1(2 limlim 1 1 1 + = =1 1 n n = 1 11 n na 5（1 ），显 然为一 交错级数，且 满足， 2 1 1 1 )1( n u n n = =1n n u 1+ nn uu ，0lim= n n u 因而该级数收敛。又是的级数，所以发散， = = = 1 2 1 1 1 nn n n u1pp =1n n u 即原级数是条件收敛。 （2）对于，故收敛，1 3 11 3 1 lim 3 3 1 limlim 1 1 nn uu 1 1 + n un 发散，故原级数是条件收敛。 =1n n u （5）因为，故级数发散。= = = 123)1( 22222 lim ! 2 lim 2 1 nnn u nnnnn n n n n n 6 （1）因为为几何级数，且， = = = = 0 1 11 1 1 ) 4 1 () 4 1 ( 4 )1( n n n nn n n 4 1 =r 其和为。 5 4 ) 4 1 (1 1 1 1 = = r （2）因为 = = = = = = +=+=+= + 100111 ) 3 1 ( 3 1 ) 2 1 ( 2 1 ) 3 1 () 2 1 () 3 1 () 2 1 ( 6 23 nn n n nn n n n nn n n nn 而由知，其和为 =0 ) 2 1 ( n n 2 1 =r2 2 1 1 1 1 1 = = r 由知，其和为 =0 ) 3 1 ( n n 3 1 =r 2 3 3 1 1 1 1 1 = = r 故 2 3 2 3 3 1 2 2 1 6 23 1 =+= + =n n nn 7设排球每一次下落后的高度依次为: , hhh hhh hhh hhh hh n nn )43(43 ,)43(43 ,)43(43 ,)43(43 ,43 1 4 34 3 23 2 12 1 = = = = = 55 反弹的总距离hhhhhs n n nn n n 3 431 1 4 3 )43( 4 3 )43( 011 = = = = = 8由已知可得： ,)(sinsin)90cos( ,)(sinsin ,)(sinsin)90cos( ,sin 4 3 2 bEFEFFG bDEEF bCDCDDE bCD o o = = = = L=|CD|+|DE|+|EF|+|FG|+ = sin1 sin sin1 1 sin)(sinsin)(sin 10 = = = = b bbb nn nn 习题 4-3 1 （1） 2 1 )1)1(2 )1(2 limlim 21 2 1 = + + = + + n n a a R n n n n n n 当时，级数收敛，所以该级数的收敛域为 2 1 x= 2 1 , 2 1 （2）1 11 1 limlim 1 = + = + n n a a R n n n n 当时，级数收敛，当时，级数发散，4x=6x= 所以该级数的收敛域为)6 , 4 （3）该幂级数只含有奇次幂项，记，则有 nn n n nx u )3(2 12 + = 2 12 1112 1 3 1 )3(2( )3(2()1( limlimx nx xn u u nnn nnn n n n n = + + = + + 当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径3x3R= 当时，级数发散，所以该级数的收敛域为3x=)3,3( （4）该幂级数只含有偶次幂项，记，则有 nn n axu 2 )(2+= 56 2 2 221 1 2 )(2 )(2 limlimax ax ax u u nn nn n n n n += + + = + + 当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径 2 2 ax+ 2 2 R= 当时，级数发散，所以收敛域为 2 2 ax=) 2 2 a, 2 2 a(+ 2 （1）设)11()( 1 1 = = xnxxs n n )11( 1 )()( 1 0 1 1 0 = = = x x x xdxnxdxxs n n x n n x 故)1x1( )x1( 1 x1 x )x(s 2 = = （2）设)1x1( 1n2 x )x(s 1n 1n2 = = )1x1( x1 1 x)x(s 2 1n 2n2 = = )11( 1 1 ln 2 1 )1ln()1ln( 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 )1)(1( 1 1 1 1 1 1 1 )0()( 00 00 0 2 0 2 0 2 + = += + + = + = + = = = += x x x xxdx x dx x dx xx dx xx dx x dx x dx x sxs xx xx xxx （3）设)1x1(x)1n2()x(s 1n n += = 则)1x1(xx)1n(2)x(s 1n nn 1n += = = 令)1x1(x)1n()x(u n 1n += = 57 )1x1( x1 x xdx)x(u 2 1n 1n x 0 = = + )1x1( )x1( xx2 x1 x )x(u 2 22 = = 故)1x1( )x1( xx3 x1 x )x1( xx2 2)x(s 2 2 2 2 = = （4）设)1x1( )1n(n x )x(s 2n n = = )1x1( 1n x )x(s 2n 1n = = )1x1( x1 1 x)x(s 2n 2n = = )1x1()x1ln(dx x1 1 )0(s)x(s x 0 = += )1x1(x)x1ln()x1(dx)x1ln()0(s)x(s x 0 += 习题 4-4 1 (1) 1 22 2 22 1 2 31 1 111 ()(1)(1) 11111 222 1()1 2242!4 4 1 4 1(21)! ( 22) 2!2 n n n n n n xx n xx n xx n = + = + =+ =+ =+ （2） = += = 1n n21n2 1n2 )x( )!n2( x2 )1( 2 1 2 x2cos1 xsin （3）设)x1xln()x(f 2 += 58 1 22 2 2 1 2 1 111 ()(1)(1) 1 222 ( )(1)1() ! 1 (21)! 1( 1)( 11) (2 )! n n nn n n fxxx n x n xx n = = + =+= + + = + )1x1(x )1n2( !)!n2( !)!1n2( )1(x dxx !)!n2( !)!1n2( )1(dx)0(f)x(f 1n 1n2n 1n x 0 n2n x 0 + += += = + = （4）)x(x !n )a(ln ea 0n n n alnxx += = （5）设)x1ln()x1()x(f+= )1x1( n x )1(1)x1ln(1)x(f 1n n 1n +=+= = )1x1( )1n(n x )1(x dx n x )1(dx)0(f)x(f 1n 1n 1n 1n x 0 n 1n x 0 + += += = + = （6）x !)!n2( !)!1n2( ) 1(1x x1 x 1n n2n 2 = += + )1x1(x !)!n2( !)!1n2( )1(x 1n 1n2n += = + 2 2 4x 1 1 2 1 3 4x 1 1 3 1 2x 1 1x 1 2x3x 1 )x(f 2 + + + = + + = + = = = += 0n n n n 0n n )4x( 2 1 2 1 )4x( 3 1 3 1 11 0 11 ()(4)( 62) 23 n nn n xx + = =+ 注：收敛域： 4 11 71 3 62 624 11 2 x x x xx + + 59 3 （1） 10 18o = += 642 ) 10 ( !6 1 ) 10 ( !4 1 ) 10 ( !2 1 1 10 cos 46 2 10) 10 ( !6 1 |r | 9511 . 0 ) 10 ( !4 1 ) 10 ( !2 1 1 10 cos 42 + （2）)1x1(x !)!n2( !)!1n2( )1(1 x1 1 1n n4n 4 += + = = + + += +1n 1n4n 2 1 04 ) 2 1 ( ) 1n4(!)!n2( !)!1n2 ( ) 1( 2 1 dx x1 1 413 2 10) 2 1 ( 13 1 ! !6 ! !5 |r| 4969.0) 2 1 ( 24 1 ) 2 1 ( 10 1 2 1 dx x1 1 95 2 1 04 + + 4 设+= = xx !n n )x(s 1n n 2 2 121 11 ( )() (1)!(2)!(1)! nnnxx nnn n s xxxxx exex nnn = =+=+ + 则 = = 1n 2 e2)1(s !n n 5 = = + = + = 0n nn ) M m ()1(m M m 1 1 m Mm mM 由于很小，则 M m |r| 2 0 m 习题 4-5 1、解： （1）因为; 22 11 22 22 0 = ee edxea xx 60 )4( )()1(2 42 )()1( cossin 42 )()1( sincos 2 1 cos 1 2 22 222 22 22 222 + = = + = += n ee a a nee nxdxnexe nee nxdxnenxenxdxea n n n n xx n xxx n )4( )()1( 2 cossin 2 1 sin 1 2 221 222 + = = = + n een b a n xdxnenxenxdxeb n n n xxx n 所以的傅氏展开式为)(xf 。 ), 2, 1 , 0 ,)12( )sincos2( 4 )1( 4 1 )( 1 2 22 =+ + + = = nnx nxnnx n ee xf n n （2）因为 ;2 1 3 1 232 0 = xdxxa 22 2 2 )1(12 coscos 6 sin 6 sin 31 cos3 1 n nxdxnxx n nxdx n x nx n x nxdxxa n n = = = （奇函数在以零为对称中心的区间上的定积分等于零）。0sin3 1 2 = nxdxxbn 所以的傅氏展开式为。)(xf),(,cos )1( 12)( 1 2 2 + += = xnx n xf n n （3）因为是奇函数，所以。)( 3 sin2x x ), 2 , 1 , 0(0=nan 19 318 )1( 13 3 sincos 13 3 sincos 6 3 1 3 1 sin 3 1 3 1 sin 2 3 1 cos 3 1 cos 2 sin 3 sin2 2 2 1 00 = + = + + = + = + n n n n n n n n n n dxxnxnnxdx x b n n 61 所以的傅氏展开式为。)(xf),(,sin 19 )1(318 )( 1 2 1 = = + xnx n n xf n n 2、解： （1）因为为偶函数，所以，而 2 1)(xxf=), 2 , 1 , 0( , 0 =nbn ， 6 11 )1(4)1( 2 1 2 2 1 0 2 2 1 0 2 0 = dxxdxxa ()()() ()() ), 2 , 1( )1( 2sin 8 2 2cos 4 2 )2sin( 2 1 4 2cos14 2 1 cos1 2 1 2 22 1 2 1 0 3322 2 2 1 0 2 2 1 0 2 = = + = = + n n xn n xn n x xn n x dxxnxdx xn xa n n 由于在内连续，所以)(xf()+, 。),(,)2cos( )1(1 12 11 )( 1 2 1 2 + += = + xxn n xf n n （2）因为为奇函数，所以 + = 10),1( 01),1( )( xxx xxx xf1l , 0 =且 n a = l l n xdxnxxxdx l n xf l b 1 1 sin)1(2sin)( 1 = 1 0 2 1 0 sin2sin2xdxnxxdxnx = 1 0 2 1 0 sin2sin2xdxnxxdxnx ()() += += 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 2 1 0 cos2 2 cos 2 cos 2 cos 2 )(cos 2 )cos( 2 xdxnx n xnx n xdxn n xnx n xndx n xnxd n 1 03 1 0 2 1 0 2 1 0 2 cos )( 4 sin )( 4 sin )( 4 )(sin )( 4 cos 2 cos 2 xn n xdxn n xnx n xnxd n n n n n = += += 62 = = = += 12, )( 8 2 , 0 )( 4 cos )( 4 3 33 kn n kn n n n + = = xxn n xf n ,)12sin( )12( 18 )( 1 33 3解：因为为偶函数，所以； 2 cos)( x xf=), 2, 1(0=nbn = 0 cos 2 cos 2 cos 2 cos 1 nxdx x nxdx x an dxxnxn += 0 ) 2 1 cos() 2 1 cos( 1 0 2 1 ) 2 1 sin( 2 1 ) 2 1 sin( 1 + + + = n xn n xn + + = 12 cos 12 cos2 n n n n () + = + 12 1 12 12 1 1 nn n () () ), 2, 1 , 0( 14 4 1 2 1 = = + n n n 令得，且在上连续，0=n 4 0 =a 2 cos)( x xf=, () = + += 1 2 1 )(, 14 cos 1 42 2 cos n n x n nxx 4解：作奇延拓，得,使有,(),(xxF( ) ( () = = 0 , ),( 0 , 0 , 0),( xxf x xxf xF 计算系数： 63 () )0(,sin 1 )( ), 2 , 1(, 1 sin 2 1 cos 2 2 sin 2 2 ;, 2, 1 , 0 , 0 1 0 0 2 = = = = = = xnx n xf n n nx n nx n x nxdx x b na n n n 5解：作偶延拓：，计算系数：(,2)( 2 =xxxF = += = = = 1 2 2 00 2 22 0 22 0 )0(,cos )1( 8 3 2 )( ), 2 , 1( , 0 ), 2, 1(, 8 )1(cos 4 cos2 2 ; 3 4 2 2 n n n n n xnx n xf nb n n nxdxxnxdxxa dxxa 6解： ：用正弦级数逼近：作奇延拓，由题知周期为，由系数公式：2=l ), 2 , 1 , 0( , 0 =nan 2 0 , 2 sin 2 sin 18 )( 2 sin )( 8 0 2 sin )( 4 sin )( 4 2 cos 2 cos 4 2 cos 4 cos 4 0 2 sin )( 4 2 cos 2 2 cos 2 2