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高考易错题举例解析高考数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略.也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误.本文通过几个例子,剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助,加强思维的严密性训练.●忽视等价性变形,导致错误00yx00xyyx,但21yx与23xyyx不等价【例1】已知bxaxxf,若,623,013ff求3f的范围.来源学|科|网Z|X|X|K错误解法由条件得622303baba②①②2-①156a③①2-②得32338b④③④得.3433310,34333310fba即错误分析采用这种解法,忽视了这样一个事实作为满足条件的函数bxaxxf,其值是同时受ba和制约的.当a取最大(小)值时,b不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的.正确解法由题意有2221bafbaf,解得21232,12231ffbffa1952916333ffbaf把1f和2f的范围代入得3373316f.在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题.●忽视隐含条件,导致结果错误【例2】1设、是方程0622kkxx的两个实根,则2211的最小值是不存在D18C8B449A思路分析本例只有一个答案正确,设了3个陷阱,很容易上当.利用一元二次方程根与系数的关系易得,,62kk449434222121211222222k有的学生一看到449,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和,这正是思维缺乏反思性的体现,如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案.原方程有两个实根、,∴06k4k42.32kk或当3k时,2211的最小值是8当2k时,2211的最小值是18,这时就可以作出正确选择,只有(B)正确.2已知14222yx,求22yx的取值范围.错误解法由已知得1216422xxy,因此328383121632222xxxyx,∴当38x时,22yx有最大值283,即22yx的取值范围是-∞,283.错误分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值.事实上,由于14222yx41222yx≤1-3≤x≤-1,从而当x-1时22yx有最小值1,∴22yx的取值范围是1,283.来源学|科|网Z|X|X|K●忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误【例3】已知a>0,b>0,1ba,求2211bbaa的最小值.错误解法41111222222bababbaa≥422abab≥8414abab,∴2211bbaa的最小值是8.错误分析上面的解答中,两次用到了基本不等式22ba≥ab2,第一次等号成立的条件是21ba,第二次等号成立的条件是abab1,显然,这两个条件是不能同时成立的,因此,8不是最小值.正确解法41121421124114111122222222222222baababbaabbabababababbaa由ab≤4122ba得1-ab2≥1-2121,且221ba≥16,1221ba≥17,∴原式≥21174225当且仅当21ba时,等号成立,∴2211bbaa的最小值是252.●不进行分类讨论,导致错误【例4】1已知数列na的前n项和12nnS,求na.错误解法11112221212nnnnnnnnSSa错误分析显然,当1n时,1231111Sa.因此在运用1nnnSSa时,必须检验1n时的情形,即,211NnnSnSann.2实数a为何值时,圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点.错误解法将圆012222aaxyx与抛物线xy212联立,消去y,得00121222xaxax①因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得.01021202aa,解之得817a.错误分析(如图2-2-12-2-2)显然,当0a时,圆与抛物线有两个公共点.来源Zxxk.Com要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时,得0102a解之,得11a.因此,当817a或11a时,圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点.●以偏概全,导致错误以偏概全是指思考不全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,从而表现出思维的不严密性.【例5】1设等比数列na的全n项和为nS.若9632SSS,求数列的公比q.错误解法,2963SSSqqaqqaqqa1121111916131,012363)=整理得qqq.1q24q,01q1q2.01qq20q33336或得方程由错误分析在错解中,由qqaqqaqqa1121111916131,01qq2q363)=整理得时,应有1q0a1和.在等比数列中,01a是显然的,但公比q完全可能为1,因此,在解题时应先讨论公比1q的情况,再在1q的情况下,对式子进行整理变形.正确解法若1q,则有191613963aSaSaS,,,但01a,即得,9632SSS与题设矛盾,故1q.又依题意963S2SSqqaqqaqqa1121111916131xyO图2-2-1xyO图2-2-201qq2q363)=,即,011233qq因为1q,所以,013q所以0123q解得243q.2求过点10,的直线,使它与抛物线xy22仅有一个交点.错误解法设所求的过点1,0的直线为1kxy,则它与抛物线的交点为xykxy212,消去y得0212xkx整理得012222xkxk直线与抛物线仅有一个交点,,0解得21k所求直线为121xy来源Zxxk.Com来源学科网错误分析此处解法共有三处错误第一,设所求直线为1kxy时,没有考虑0k与斜率不存在的情形,实际上就是承认了该直线的斜率是存在的,且不为零,这是不严密的第二,题中要求直线与抛物线只有一个交点,它包含相交和相切两种情况,而上述解法没有考虑相切的情况,只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线相切和只有一个交点的关系理解不透第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所以它的二次项系数不能为零,即0k,而上述解法没作考虑,表现出思维不严密.正确解法①当所求直线斜率不存在时,即直线垂直x轴,因为过点10,,所以0x即y轴,它正好与抛物线xy22相切.②当所求直线斜率为零时,直线为y1平行x轴,它正好与抛物线xy22只有一个交点.③一般地,设所求的过点1,0的直线为1kxy0k,则xykxy212,.012222xkxk令,0解得k12,∴所求直线为121xy综上,满足条件的直线为12101xyxy,,
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