初一数学竞赛讲座(三)数字数位及数谜问题初一数学奥赛系列教程.doc

初一数学竞赛讲座三数字、数位及数谜问题一、知识要点1、整数的十进位数码表示一般地，任何一个N位的自然数都可以表示成122321110101010AAAAANNNN其中，AII1，2，，N表示数码，且0≤AI≤9，AN≠0对于确定的自然数N，它的表示是唯一的，常将这个数记为N121AAAANN2、正整数指数幂的末两位数字1设M、N都是正整数，A是M的末位数字，则MN的末位数字就是AN的末位数字。2设P、Q都是正整数，M是任意正整数，则M4PQ的末位数字与MQ的末位数字相同。3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。二、例题精讲例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。分析将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。解设所求的四位数为A103B102C10D，依题意得A103B102C10DD103C102B10A9988∴AD103BC102BC10AD9988比较等式两边首、末两位数字，得AD8，于是BC18又∵C2D，D2B，∴BC0从而解得A1，B9，C9，D7故所求的四位数为1997评注将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。例2一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。分析将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。解设N是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为A、B、CA、B、C不全相等，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数CBACABBCABACACBABC,,,,,，不妨设其中的最大数为ABC，则最小数为CBA。由“新生数”的定义，得NCAABCCBACBAABC991010010100由上式知N为99的整数倍，这样的三