初一数学竞赛讲座(三)数字数位及数谜问题初一数学奥赛系列教程.doc -- 5 元

初一数学竞赛讲座三数字、数位及数谜问题一、知识要点1、整数的十进位数码表示一般地，任何一个n位的自然数都可以表示成122321110101010aaaaannnn其中，aii1，2，，n表示数码，且0≤ai≤9，an≠0.对于确定的自然数N，它的表示是唯一的，常将这个数记为N121aaaann2、正整数指数幂的末两位数字1设m、n都是正整数，a是m的末位数字，则mn的末位数字就是an的末位数字。2设p、q都是正整数，m是任意正整数，则m4pq的末位数字与mq的末位数字相同。3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用凑、猜的方法求解，是一种有趣的数学游戏。二、例题精讲例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。分析将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。解设所求的四位数为a103b102c10d，依题意得a103b102c10dd103c102b10a9988∴ad103bc102bc10ad9988比较等式两边首、末两位数字，得ad8，于是bc18又∵c2d，d2b，∴bc0从而解得a1，b9，c9，d7故所求的四位数为1997评注将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。例2一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为新生数，试求所有的三位新生数。分析将所有的三位新生数写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位新生数的可能值，再进行筛选确定。解设N是所求的三位新生数，它的各位数字分别为a、b、ca、b、c不全相等，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数cbacabbcabacacbabc,,,,,，不妨设其中的最大数为abc，则最小数为cba。由新生数的定义，得Ncaabccbacbaabc991010010100由上式知N为99的整数倍，这样的三位数可能为198，297，396，495，594，693，792，891，990。这9个数中，只有954459495符合条件。故495是唯一的三位新生数评注本题主要应用新生数的定义和整数性质，先将三位新生数进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数。这也是解答数学竞赛题的一种常用方法。例3从1到1999，其中有多少个整数，它的数字和被4整除将每个数都看成四位数不是四位的，在左面补0，0000至1999共2000个数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，十位数字从0到9中选择，各有10种。在千、百、十位数字选定后，个位数字在2到9中选择，要使数字和被4整除，这时有两种可能设千、百、十位数字和为a，在2，3，4，5中恰好有一个数b，使ab被4整除a2、a3、a4、a5除以4，余数互不相同，其中恰好有一个余数是0，即相应的数被4整除在6，7，8，9中也恰好有一个数cb4，使ac被4整除。因而数字和被4整除的有210102400个再看个位数字是0或1的数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，在千、百、个位数字选定后，十位数字在2到9中选择。与上面相同，有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有2210280个。在个位数字、十位数字、千位数字均为0或1的数中，百位数字在2到9中选择。有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有222216个。最后，千、百、十、个位数字为0或1的数中有两个数，数字和被4整除，即1111和0000，而0000不算。于是1到1999中共有40080161497个数，数字和被4整除。例4圆上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到的是一个9位数并且能被27整除。证明如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除。分析把从某一位起按顺时针方向记下的9位数记为9321aaaa，其能被27整除。只需证明从其相邻一位读起的数1932aaaa也能被27整除即可。证明设从某一位起按顺时针方向记下的9位数为9321aaaa依题意得9321aaaa987281101010aaaa能被27整除。为了证明题目结论，只要证明从其相邻一位读起的数1932aaaa也能被27整除即可。1932aaaa197382101010aaaa∴109321aaaa1932aaaa10987281101010aaaa197382101010aaaa101010109738291aaaa197382101010aaaa13191911100011010aaaa∵1100010009991100010001100011000223而999能被27整除，∴100031也能被27整除。因此，1932aaaa能被27整除。从而问题得证。评注本题中，1091难以分解因数，故将它化为100031，使问题得到顺利解决。这种想办法降低次数的思想，应注意领会掌握。例5证明111111112112113113能被10整除分析要证明111111112112113113能被10整除，只需证明111111112112113113的末位数字为0，即证111111，112112，113113三个数的末位数字和为10。证明111111的末位数字显然为1112112112428，而1124的末位数字是6，所以112112的末位数字也是6113113113428113，1134的末位数字是1，所以113113的末位数字是3∴111111，112112，113113三个数的末位数字和为16310∴111111112112113113能被10整除评注本题是将证明被10整除转化为求三数的末位数字和为10。解决数学问题时，常将未知的问题转化为熟知的问题、复杂的问题转化为简单的问题，这是化归思想。例6设Pm表示自然数m的末位数，nPnPan2求199521aaa的值。解199521aaa112PP222PP199519952PP199521199521222PPPPPP199521199521222PP∵1995101995，又因为连续10个自然数的平方和的末位数都是5∴51995432119952122222222PPP5510又219961995199521PP0∴199521aaa10评注本题用到了连续10个自然数的平方和的末位数都是5这个结论。例71111111请找出6个不同的自然数，分别填入6个问号中，使这个等式成立。第三届华杯赛口试题分析分子为1分母为自然数的分数称作单位分数或埃及分数，它在很多问题中经常出现。解决这类问题的一个基本等式是11111nnnn，它表明每一个埃及分数都可以写成两个埃及分数之和。解首先，12121从这个式子出发，利用上面给出的基本等式，取n2可得613121∴1613121又利用上面给出的基本等式，取n3可得1214131∴1611214121再利用上面给出的基本等式，取n4可得2015141∴1611212015121最后再次利用上面给出的基本等式，取n6可得4217161∴1421711212015121即可找出2，5，20，12，7，42六个自然数分别填入6个问号中，使等式成立。评注1、因为问题要求填入的六个自然数要互不相同，所以每步取n时要适当考虑，如最后一步就不能取n5，因为n5将产生30161，而61已出现了。2、本题的答案是不唯一的，如最后一步取n12，就可得16115611312015121例8如图，在一个正方体的八个顶点处填上1到9这些数码中的8个，每个顶点处只填一个数码，使得每个面上的四个顶点处所填的数码之和都相等，并且这个和数不能被那个未被填上的数码整除。求所填入的8个数码的平方和。第12届希望杯数学竞赛培训题解设a是未填上的数码，s是每个面上的四个顶点处所填的数码之和，由于每个顶点都属于3个面，所以6s31234567893a即6s3453a，于是2s45a，可以断定a是奇数而a不整除s，所以a只能是7，则填入的8个数码是1，2，3，4，5，6，8，9，它们的平方和是1222324252628292236例9在右边的加法算式中，每个表示一个数字，任意两个数字都不同。试求A和B乘积的最大值。AB分析先通过运算的进位，将能确定的确定下来，再来分析求出A和B乘积的最大值。解设算式为abcdefghAB显然，g1，d9，h0acf10B，bc9A,∴A≤62AB19234567835，∴AB8要想AB最大，∵A≤6，∴取A5，B3。此时b6,e8,a2,c4,f7,故AB的最大值为15.评注本题是通过正整数的十进制的基本知识先确定g，d，h，然后再通过分析、观察得出A、B的关系，最后求出AB的最大值。例10在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc。并请这个人算出5个数acb、bac、bca、cab、cba的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc。现在设N3194，请你做魔术师，求出数abc来。第四届美国数学奥林匹克试题解将abc也加到和N上，这样a、b、c就在每一位上都恰好出现两次，所以有abcN222abc①从而3194a1，由123aaa减去321aaa得一个三位数123bbb，证明123bbb321bbb108919、对于自然数n，如果能找到自然数a和b，使得nabab,那么n就称为好数。如31111，所以3是好数。在1到100这100个自然数中，有多少个好数20、AOMEN和MACAO分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别代表两个5位数，其中不同的字母代表从1到9中不同的数字，相同字母代表相同的数字，而且它们的和仍是一个5位数，求这个和可能的最大值是多少