初一数学相交线、平行线知识.doc初一数学相交线、平行线知识.doc

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相交线、平行线一、知识要点1.平面上两条不重合的直线,位置关系只有两种相交和平行。2.两条不同的直线,若它们只有一个公共点,就说它们相交。即,两条直线相交有且只有一个交点。3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直,有两个重要的结论(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(2)直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短。4.在同一平面内,不相交的两条直线称为平行线。平行线中要理解平行公理,能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角,并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。5.利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例1.如图1,直线A与B平行,∠1=3X70,∠25X22,求∠3的度数。解∵A∥B,∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等)∵∠1∠3=∠2∠4=180平角的定义∴∠1=∠2等式性质则3X70=5X22解得X24即∠1=142∴∠3=180∠1=38图1评注建立角度之间的关系,即建立方程(组),是几何计算常用的方法。例2.已知如图2,AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B∠BED∠D192,∠B∠D24,求∠GEF的度数。解∵AB∥EF∥CD∴∠B∠BEF,∠DEF∠D(两直线平行,内错角相等)∵∠B∠BED∠D192(已知)即∠B∠BEF∠DEF∠D192∴2(∠B∠D)192(等量代换)则∠B∠D96(等式性质)∵∠B∠D24(已知)图2∴∠B60(等式性质)即∠BEF60(等量代换)∵EG平分∠BEF(已知)∴∠GEF21∠BEF30(角平分线定义)例3.如图(3),已知AB∥CD,且∠B40,∠D70,求∠DEB的度数。解过E作EF∥AB∵AB∥CD(已知)32LAB4∴EF∥CD(平行公理)∴∠BEF∠B40∠DEF∠D70(两直线平行,内错角相等)∵∠DEB∠DEF∠BEF∴∠DEB∠D∠B30评注证明或解有关直线平行的问题时,如果不构成“三线八角”,则应添出辅助线。图(3)例4.已知锐角三角形ABC的三边长为A,B,C,而HA,HB,HC分别为对应边上的高线长,求证HAHBHC<ABC分析对应边上的高看作垂线段,而邻边看作斜线段证明由垂线段最短知,HA<C,HB<A,HC<B以上三式相加得HAHBHC<ABC研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1.以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2.垂线段最短。例5.如图(4),直线AB与CD相交于O,EFAB于F,GHCD于H,求证EF与GH必相交。分析欲证EF与GH相交,直接证很困难,可考虑用反证法。证明假设EF与GH不相交。∵EF、GH是两条不同的直线∴EF∥GH∵EFAB∴GHAB又因GHCD故AB∥CD垂直于同一直线的两直线平行图(4)这与已知AB和CD相交矛盾。所以EF与GH不平行,即EF与GH必相交评注本题应用结论1垂直于同一条直线的两直线平行。2两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线,那么另一条直线也平行于第三条直线;例6.平面上N条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点,有多少个不同交点解2条直线产生1个交点,第3条直线与前面2条均相交,增加2个交点,这时平面上3条直线共有123个交点;第4条直线与前面3条均相交,增加3个交点,这时平面上4条直线共有1236个交点;则N条直线共有交点个数123N121NN1评注此题是平面上N条直线交点个数最多的情形,需要仔细观察,由简及繁,深入思考,从中发现规律。例7.6个不同的点,其中只有3点在同一条直线上,2点确定一条直线,问能确定多少条ABCDEFGHOBACHA直线解6条不同的直线最多确定5432115条直线,除去共线的3点中重合多算的2条直线,即能确定的直线为15213条。另法3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线,这3点与直线上的3点最多有339条直线,加上3点所在的直线共有39113条评注一般地,平面上N个点最多可确定直线的条数为123N121NN1例8.10条直线两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域解2条直线最多将平面分成224个不同区域;3条直线中的第3条直线与另两条直线相交,最多有两个交点,此直线被这两点分成3段,每一段将它所在的区域一分为二,则区域增加3个,即最多分成2237个不同区域;同理4条直线最多分成223411个不同区域;∴10条直线最多分成2234567891056个不同区域推广N条直线两两相交,最多将平面分成2234N121NN121N2N2块不同的区域思考平面内N个圆两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域例9.平面上N条直线两两相交,求证所成得的角中至少有一个角不大于N0180证明平面上N条直线两两相交最多得对顶角21NN2=NN1对,即2NN1个角平面上任取一点O,将这N条直线均平行移动过点O,成为交于一点O的N条直线,这N条直线将以O为顶点的圆周角分为2N个(共N对)互不重叠的角1、2、3、、2N由平行线的性质知,这2N个角中每一个都和原来N条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等,即这2N个角均是原2NN1个角中的角。若这2N个角均大于N0180,则1232N>2NN0180360,而1232N360,产生矛盾故1、2、3、、2N中至少有一个小于N0180,OL3L2LN即原来的2NN1中至少有一个角不小于N0180评注通过平移,可以把原来分散的直线集中交于同一点,从而解决问题。例10.(A)请你在平面上画出6条直线(没有三条共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,并简单说明画法。(B)能否在平面上画出7条直线(任意3条都不共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,如果能请画出一例,如果不能请简述理由。解(A)在平面上任取一点A。过A作两直线M1与N1。在N1上取两点B,C,在M1上取两点D,G。过B作M2∥M1,过C作M3∥M1,过D作N2∥N1,过G作N3∥N1,这时M2、M3、N2、N3交得E、F、H、I四点,如图所示。由于彼此平行的直线不相交,所以,图中每条直线都恰与另3条直线相交。(B)在平面上不能画出没有3线共点的7条直线,使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交。理由如下假设平面上可以画出7条直线,其中每一条都恰与其它3条相交,因两直线相交只有一个交点,又没有3条直线共点,所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。根据直线去计数这些交点,共有37=21个交点,但每个交点分属两条直线,被重复计数一次,所以这7条直线交点总数为221=105个,因为交点个数应为整数,矛盾。所以,满足题设条件的7条直线是画不出来的。三、巩固练习选择题1.平面上有5个点,其中仅有3点在同一直线上,过每2点作一条直线,一共可以作直线()条A.6B.7C.8D.92.平面上三条直线相互间的交点个数是()A.3B.1或3C.1或2或3D.不一定是1,2,33.平面上6条直线两两相交,其中仅有3条直线过一点,则截得不重叠线段共有()A.36条B.33条C.24条D.21条4.已知平面中有N个点CBA,,三个点在一条直线上,EFDA,,,四个点也在一条直线上,除些之外,再没有三点共线或四点共线,以这N个点作一条直线,那么一共可以画出38条不同的直线,这时N等于()(A)9(B)10(C)11(D)125.若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形,则共得同旁内角()A.4对B.8对C.12对D.16对6.如图,已知FD∥BE,则∠1∠2∠3A.90B.135C.150D.180M1N1M2M3N2N3ABCDEFGHIABCDEFGH第5题312ABCDEFG第6题第7题7.如图,已知AB∥CD,∠1∠2,则∠E与∠F的大小关系;8.平面上有5个点,每两点都连一条直线,问除了原有的5点之外这些直线最多还有交点9.平面上3条直线最多可分平面为个部分。10.如图,已知AB∥CD∥EF,PSGH于P,∠FRG110,则∠PSQ=。11.已知A、B是直线L外的两点,则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是。12.平面内有4条直线,无论其关系如何,它们的交点个数不会超过个。13.已知如图,DE∥CB,求证∠AED∠A∠B14.已知如图,AB∥CD,求证∠B∠D∠F∠E∠G第13题第14题15.如图,已知CBAB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠EDC∠ECD90,求证DAAB16.平面上两个圆三条直线,最多有多少不同的交点17.平面上5个圆两两相交,最多有多少个不同的交点最多将平面分成多少块区域18.一直线上5点与直线外3点,每两点确定一条直线,最多确定多少条不同直线19.平面上有8条直线两两相交,试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。20.平面上有10条直线,无任何三条交于一点,欲使它们出现31个交点,怎样安排才能办到画出图形。LABCDEFGHPQRS第10题ABCDE第15题
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