统计指数理论

第五讲 统计指数理论 本课程的基本要求 : 一、 掌握统计指数的概念、分类和作用； 二、掌握各种统计指数的编制； 三、指数误差的产生、测验以及消除误差的方法； 四、掌握指数体系及其因素分析方法； 五、掌握指数数列的编制 六、各种重要指数的应用 第一 统计指数的基本理论 一、统计指数的概念 1.统计指数的各种定义 （ 1）英国经济学家兼统计学家鲍利认为：指数是用来测定 不能直接观察的某种数量变化的。 （ 2）指数是 统计中反映不同时期某一社会现象变动情况的指标，指某一社会现象的报告期数值和基期数值之比。分为 个体指数 和 总指数 。前者如个别产品的产量指数；后者如全部商品的价格指数等。 （ 3）指数最简单的形式仅仅是若干组相互关联数值的加权平均数。 （ 4）指数是一种反映不能直接相加、不能直接对比的现象综合变动的相对数。 （ 5）指数是一种动态相对数。 （ 6）指数主要是反映商品工资或其他经济比例在不同时期的价格变动。 （ 7）指数是一种相对数，可用于经济现象在时间、空间上的对比。 （ 8）指数包含两层意思：一是指数的一般概念，即综合反映由多种因素组成的经济现象在不同时间或空间条件下平均变动的相对数；二是指数分析法，即通过计算各种指数来反映某一经济现象的数量总变动及其组成要素对总变动影响程度的统计分析方法。 （ 9）指数的涵义有广义和狭义两种。广义的指数是指一切说明社会经济现象数量变动或差异程度的相对数。狭义指数是指一种特殊的相对数，也即专指说明不能直接相加的复杂社会经济现象综合变动的相对数。 二、指数各种定义的评价 国内外学术界对指数定义的不同理解，究其原因主要下列几个方面： 第一，有些指数的定义与指数理论发展的各个阶段相适应，但未随指数理论的发展作出相应的调整； 指数产生和发展的历史来看，最早的指数是物价指数，于是产生了（ 6）定义。到了 20世纪初，指数定义不仅仅局限于物价指数，把所有反映经济现象动态变化的相对数都称为指数，于是出现了（ 5）定义。到了现代，指数的应用不仅突破了动态对比的范畴，而且应用于经济现象在不同地区、不同部门和不同国家之间的对比，于是产生了（ 7）定义。 第二，在把握指数概念的内涵方面存在着偏差。 指数的特点是它的平均性和综合性。综合性是指它综合反映了现象总体的数量变化关系。平均形式指它反映了现象总体种各单位变动的平均水平。上述（ 3）定义就没有把握指数概念的全部内涵。 （ 4）定义也只是考虑指数的部分特有属性，它把可以直接相加、直接对比的现象的相对变化排除在指数之外。如总额指数。 (2)和 (9)定义，实际上是（ 4）、（ 5）和（ 7）定义的综和。 三、相对数与指数的联系与区别 联系： 相对是构成指数的基础，两者都具有抽象性和综合性。 区别： 相对数本身并不是指数。 它是一种简单数据与另一简单数据相比较，或是单一统计总体各个数量之间的比较，它虽然具有综合性，但只是具有同质性的现象综合。对于不同性质的现象不能综合比较。 四、指数的性质 1.指数是比较的数字 2.指数是综合的数字 3.指数是表示不同场合变化的数字 4.指数是平均的数字 5.指数是代表的数字 五、指数的作用 1.对物价水平的变动计算，反映物价的变动，可以用于控制物价 2.根据物价指数，研究社会经济所受的影响 3.计算生活费指数，用于调节工资率 4.计算劳动动力雇用指数，用于调节劳动力的变化； 5.根据各种指数，研究长期趋势 6.利用指数进行预测 第二 指数编制方法 一、指数编制的资料问题 1.确实 编制指数的基期和计算期资料必须确实，即准确。无论采取直接调查还是采取间接调查方法取得的资料都要求有明确的来源。例如价格资料，对于不同的付款方式，价格有高有低，以何种价格编制指数要有明确的定义，否则可能产生差异。 2.代表 从实际项目的总体中抽取得样本具有代表性，则样本统计与全面统计的结果无任何差异，要使资料具有代表性，注意两个原则： 第一，样本的每一个项目与所代表的实际项目，在性质上要力求吻合； 第二，样本各项目之间，在性质上要力求存在差异。 第三，如果项目多，则采取抽样取得样本资料，如生活费用指数。如果项目少，则采用实际资料。如外汇指数。 3.充分 充分是指样本项目是否充分，这要以代表性作为相对评价标准。如果能够满足样本代表性的要求，项目虽少，也具有充分条件；如果项目虽多，但满足不了代表性的要求，也不能认为具有代表性。评价样本平均数的可靠性，主要看样本标准差的大小。 4.比较 比较即可比性。指数是由基期和计算期资料相比较的结果。可比就是不但项目定义应当一致而且项目的性质也必须相符。如编制价格指数中，项目失去了的可比性，一般由三种情况：一是商品定义相同，品质发生变化了，价格也发生变化了；二是，商品定义相同，品质发生变化了，价格不变；三是，商品定义相同，使用价值业已发生了变更。 二、基期问题 所谓基期问题，就是如何选择标准时间，用其统计数量作为测定数的问题，就是选择某一时期作为比较的标准，这种标准时期就是基期。如基期价格、基期数量、基期价值，也称为基价、基量和基值，统称为基数。 选择基期有以下三个问题： 1.基期状态问题 作为标准时期的基期必须代表统计事项的常态，也就是作为基期必须是处于正常情况的统计事项。处于特殊的或偶然的现象的时期，不宜作为基期。 2.基期长短问题 基期长短无统一标准，可以是一周、一月、一季或一年或者是月、六月、三年。前者为单一固定基期，后者为扩张期。比如物价指数，为了避免偶然变动或季节变动影响，一般不宜采用过短时期，通常用一年为基期。由于物价往往虽商业循环而波动，最好能以若干年的平均数为基期。 3.基期远近问题 基期与计算期不宜相隔过久，基期愈久，指数的代表性就愈小。通常对久远的基期，须改为最近基期。改换基期的方法： （ 1）固定基期（定基） 就是确定一个基期，作为所有计算期的共同测定时期。 定基指数 =qi/q0 优点：有固定的标准相比较为明显 缺点：前后两个时期不能直接比较 （ 2）递换基期 就是基期随时间变换，各个时期都是以上期为基期，它不存在所谓基期的选择问题，所以又称为逐步制或逐年制。 环比指数 =qi/qi 1 优点：可以明确地表示前后两个时期的变化，补充定基指数的不足； 缺点：不能作全面比较。 3.锁比 锁比就是各期环比的连乘积或当期环比与上期锁比相乘积。 将旧的定基指数环为新的定基指数，即用将更换的定基指数去除旧定基指数 11201 .nnqqqqqq310301qqqqqq 三、综合指数编制 指数编制有不加权指数（简单指数）和加权指数两种。 （一） 简单指数 1.简单总和法 就是基期各项目总和与计算期各项目总和相比较，作为计算期的综合指数。 存在问题： a.各个项目的计量单位、使用价值不同，简单相加毫无意义； b.虽然变成相同单位，仍不合理。因为虽按相同单位表面上虽无加权，而实则以商品的贵重价格为权数，即非不加权，又不是均等加权指数，二是所谓隐伏加权，即个别高价商品能够支配指数的高低，完全掩盖了一些低价商品对指数的影响。 00 PPP ii 00 QQQ ii 2.简单算术平均法 就是将各项目的计算期数值与基期数值对比的平均数。个体指数之和的算术平均数。 简单算术平均数法所计算的指数，从表面上看并无加权，但实际上都隐含有加权。各种商品的权数就是等于各种商品按照基期价格对比的比例。这种权数常常不能与各种商品的重要性相一致，实际上也是一种不合理的加权。 0001PPNP i 0001QQNQ i 3.简单几何平均法 就是若干项目价格比的连乘积的几何平均数。 4.简单调和平均法 就是每年各项价格比的倒数的算术平均数的倒数。 NNNNiPPPPPPPPP )(.01)(0)(101010 10)(1)(010100).(PPNPPPPPPNPNNi 5.中位数法 就是将每年的价格比按照大小顺序排列，然后取位于中间位置的价格比即为中位数指数 6.众数法 就是以每年的价格比中出现次数最多的价格比为指数的方法。 众数法作为一种理论上的方法是可行，但现实中却很少使用，原因是在项目很少的情况下，不易产生众数。 2)1(010 )( NiPPP 以上各种方法都是没有加权计算的，而实际上却都是隐含着不合理的加权，也就是说，它只是形式上的不加权。 （二）加权指数编制 总和加权指数，即计算期与基期用各指数化因素乘以相应的同度量因素的总和之比，即加权综合指数。 1.以基期数量为权数（拉氏指数） 拉氏指数的优点就是以基期的数量指标或基期的质量指标为同度量因素。消除了数量指标或质量指标的变动影响，分子与分母权数相同，可以进行相互比较。 000qpqpI ip 0001pqpqI q 在静态经济条件下，即物价上涨，实际数量减少，则L指数偏高于两期价值之比，即 当物价上涨，计算期权数高估（即基期数量高于计算期数量）的多，低估的少，则所计算的指数，表现为较高于两期价值对比的物价水平。反之，当物价下跌时，权数低估的多，高估的少，则所计算的指数，表现为较低于两期价值对比的物价水平。 00000qpqpqpqp iii 00000qpqpqpqp iii 在动态经济条件下，即物价上涨，则交易量、生产两和消费量往往随着人口的增加而增加，在这种情况下，当物价上涨，实际数量也增加，则 L指数偏低于两期价值之比。即 反之，当物价下跌，实际数量减少时，将表现偏高于两期价值对比的物价水平。 00000qpqpqpqp iii 00000qpqpqpqp iii 2.以计算期数量为权数（派氏指数） 派氏指数的优点，就是以计算期的数量指标或质量指标为权数，虽然不能消除数量变化对物价指数的影响，但却具有现实的经济意义。 因为，生产不可能停留在基期的水平上，居民的消费水平、消费结构也不可能保持不变，因此，因计算期的数量为权数计算的物价指数具有现实的经济意义。 1011qpqpI p 1011pqpqI q 在静态经济条件下， 当物价上涨，实际数量减少，以计算期数量加权，基期权数低估，则所计算的 P指数，表现为较高于两期价值对比的物价水平。反之，当物价下跌时，实际数量增加权数高估，则所计算的 P指数，表现为较低于两期价值对比的物价水平。 在动态经济条件下，当物价上涨，实际数量也增加，基期权数高估时，则 P指数偏低于两期价值之比。 反之，当物价下跌，实际数量减少 ,基期权数低估时，则 P指数表现偏高于两期价值对比的物价水平。 3.平均法加权指数的基本公式 利用平均法计算加权指数，其权数就是相应的价值指标。根据 p与 q的时期不同，权数有以下四种形式。 权数问题 对于质量指标指数 Ip 对于数量指标指数 Iq 权数 ： p0q0 权数 ： q0p0 权数 ： p0q1 权数 ： q0p1 权数 ： p1q0 权数 ： q1p0 权数 ： p1q1 权数 ： q1p1 将各个项目的个体指数与相应的权数乘积就是加权平均指数的编制方法。由于平均数的计算方法有算术平均法、调和平均法、几何平均法、中位数法和众数法，所以平均指数法也有不同。 111101010101101001000001qpqpppAqpqpppAqpqpppAqpqpppApppp111101010101101001000001qpqpqqAqpqpqqAqpqpqqAqpqpqqAqqqq （ 2）几何平均法 11111111010101011010101000000000)(,)()(,)()(,)()(,)(1 011 011 011 011 011 011 011 01qpqpni iiqqpqpni iipqpqpni iiqqpqpni iipqpqpni iiqqpqpnipqpqpni iiqqpqpni iipqqGppGqqGppGqqGppGqqGppG （ 3）调和平均法 111011111011011001011001101010101010001000001000H,HH,HH,HH,Hqpqqqpqpppqpqpqqqpqpppqpqpqqqpqpppqpqpqqqpqpppqpiiqiipiiqiipiiqiipiiqiip （ 4）中位数法 将各项商品价格彼岸大小顺序加以排列，以总权数的中间一项价比作为权数，以 (pq+1)/2 代表总权数的中间一项。 2/)1(012/)1(012/)1(012/)1(0101111000)()()()(qppqppqppqppppMeppMeppMeppMe （ 5）众数加权法 就是以权数最多的价比作为权数。 )(01)(01)(01)(0111011000)(0)(0)(0)(0qpMpqpMpqpMpqpMpppMppMppMppM 四、加权指数的偏误测验与交叉 （一）加权指数偏误的产生 由于计算方法不同，指数往往产生偏误，其偏误有两种，一是型偏误，二是权偏误。 所谓型偏误，是指由于计算方法不同所产生的偏误。如算术平均法为上型偏误，调和法为下型偏误； 所谓权偏误，是指由于权数选择不同所产生的偏误。如加权几何平均法产生权偏误。 1.对平均法所采用的四种价值权数分别进行说明 （ 1）以基期价值（ p0q0）为权数，将产生下权偏误，以计算期价值（ p1q1）为权数，将产生上权偏误。 假设，商品 A价格上涨，即价格个体指数 100%。 商品 B价格下跌，即价格个体指数 100%。 如果这两种商品的基期销售量（ q)不变 ,即（ q1=q0)。那么， A商品基期的权数必然小于计算期的权数，即（ p0q0 p1q1)。可见，依据基期价值加权，是对高价比给予较低的权数，对低价比给予较高的权数。因此，依据基期价值加权，将低估高价格的作用，高估低价的作用， 即 这就是所谓的下权偏误。 下权偏误的特征：当物价水平上涨时，将表现为少涨 ,即涨价商品的权数低，使商品价格指数上扬幅度受抑制；反之，当物价下跌时，将表现为少跌。 同理，以计算期价值为权数，相反，将产生上权偏误，表现为涨的更涨。跌的更跌。 0011000001qpqpqpqppp0011000001qpqpqpqppp （ 2） 以基期价值（ p0q0）为权数，将产生下权偏误，以计算期价格计算的基期假定价值（ p1q0）为权数，将产生上权偏误。 （ 3）以基期价格计算的计算期假定价值（ p0q1）为权数，将产生下权偏误，以计算期价值（ p1q1）为权数，将产生上权偏误。 （ 4）以基期价值（ p0q1）为权数，将产生下权偏误，以计算期价值（ p1q0）为权数，将产生上权偏误。 2.对综合法两种数量 q0和 q1进行分析说明 L氏与 P氏，当物价上涨，数量减少时，其价格比都高于两个时期价值之比；但价格下跌，数量增加时，其价格比都低于两个时期的价值之比；当物价上涨，数量增加时，其价格比都低于两个时期价值之比；但价格下跌，数量减少时，其价格比都高于两个时期的价值之比； 当物价与数量变化方向相反时， L氏为上权偏误， P氏为下权偏误。 当物价与数量变化方向相同时， L氏为下权偏误， P氏为上权偏误。 （二）加权指数的偏误测定方法 1.时间互换测验 时间互换法 统计学家欧文 .费暄，提出时间互换法。 时间互换法就是计算期与基期的指数与基期对计算期的指数乘积为 1，即 如果乘积不等于 1，则可以认为该种指数存在偏误。 布鲁斯特 .马捷特检验 E0为上型偏误， E0为下型 E=0没有偏误 100iiPPPP11001 PPE 2.因子互换检验 所谓因子互换就是价格指数的因子 p和q互换，转换为数量指数。 （ 1）单一项目，即一种商品情况下，原来价格指数 P01与转换成数量指数的 Q01相乘，应等于价值指数。 （ 2）多项目，多种商品情况下，原来价格指数 P01与转换成数量指数的 Q01相乘，应等于价值指数。 01010011010101qqppqpqpQPV L氏 P氏 在静态经济条件下，物价上涨，销量减少， L上权偏误， P下权偏误。 在动态经济条件下，物价上涨，销量增加， L下权偏误， P上权偏误。 L与 P偏误的方法相反，其绝对值几乎完全相等。 000100010011010101pqpqqpqpqpqpQPV 101110110011010101pqpqqpqpqpqpQPVp0 p1 q0 q1 p0q0 p1q1 p1q0 P0q1 A 商品 1.0 1.2 100 200 100 240 120 200 B 商品 1.5 1.2 200 250 300 300 240 375 合计 400 540 360 575 3.循环测验 循环测验是指环比指数的连乘积等于锁比指数。 在通常情况下，一般都是采用前两种方法进行测验。 时间互换测验 即存在下型偏误氏042.01065.19.01065.19.010011011010000101PPEqpqpPqpqpPL即存在上型偏误氏042.01111.1939.01111.1939.010011010010101101PPEqpqpPqpqpPP 因子互换测验 即存在下权偏误氏042.0135.1296.1135.144.19.00101012001101000110000101VQPEqpqpVpqpqQqpqpPL即存在上权偏误氏042.0135.141.1135.15.1939.00101012001101101110101101VQPEqpqpVpqpqQqpqpPP 1.以基期权数指数和计算期权数指数的几何平均数指数 上式就是费暄认为 理想公式 ，这个公式符合时间和因子互换测验，但不符和循环测验。现测验如下： 时间互换测验： （三）加权指数的改造公式 1011000101 qpqpqpqpPLP 0100111010 qpqpqpqpPLP 因子互换测验 101001110101100011001qpqpqpqpqpqpqpqpPP 1011000101 pqpqpqpqPLQ00110011001110110001101100010101qpqpqpqpqpqppqpqpqpqqpqpqpqpQP 2.以基期权数指数和计算期权数指数的算术平均数指数 （德比史公式） 该公式不符合三个测验的任何一个，但 L与 P的偏误是方向相反，大小几乎相等，所以采用算术平均法也可以减少偏误。 )(21)(211011000101qpqpqpqpPLP 3.编制两个指数，各以固定时期数量为权数，取其平均数为指数 权数不限于基期或计算期，而是选择两个固定年份的数量价权，即用 a年数量 qa与 b年份数量 qb，作为常数加权，得以下公式： 该公式符合时间互换和循环测验，不符合因子互换测验。现测验如下： bbaaqpqpqpqpPLP010101)(21010101 bbaaqpqpqpqpP 时间互换测验： 循环测验： 1101001011001bbaabbaaqpqpqpqpqpqpqpqpPP1202012120101201201bbaabbaabbaaqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpPPP 4.以基期与计算期实际数量的平均数为权数 这是一个折衷指数，又称为马歇尔 埃奇沃斯公式。 该公式符合时间互换测验，不符合因子互换和循环测验。 )()(2210010110010101 qqpqqpqqp