2014年国庆自主招生高三理科班型（数学+物理）入学测试答案及课程建议

2014 年国庆自主招生高三理科班型 入学测试 答案及课程建议 试卷说明 本测试与 2014 年自主招生真题难度相当。 本测试用于学生对水平进行提前自我评估。如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案）以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。 （ 2014 年 国庆 集中培训课程使用） QBXT/JY/RXCSDA2014/9-3 2014-9-10 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年国庆自主招生高三理科班型 入学测试 答案 数学部分 一、 选择题（每题 6 分，共 48 分） 1、设 ()是定义在 R 上的奇函数，且当 0时， () = 2，若对任意的 , +2，不等式 ( +) 2()恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A.2,+ B.2,10,2 C.2,+ D.(0,2 【清北解析】 本题用推演法求解，将参数的取值范围问题利用等价转化思想，转化为函数的单调性与最值问题。 设 0， () = ()2 = 2，又 ()为奇函数，故 () = 2( 45 B.18 4 +5 D.18 = 45 【清北解析】 本题用特例法求解。 依题，可取 1 = 1,2 = 2,8 = 8。 18 = 8,45 = 20，所以 18 45。故选 B。 3、若 (2 3)2 = 0 +1 +22 +33 +44 +55，则 1 +22 +33 +44 +55 =（ ） A.-10 B.-5 C.5 D.10 【清北解析】 本题用特殊函数法求解。 (2 3)5 = 10(2 3)4 = 1 +22 +332 +443 +554 ，令 = 1 得，1 +22 +33 +44 +55 = 10。故选 B。 4、设函数 ()的定义域为 -2,4，则 (2)的定义域为（ ） A.-2,4 B.-2,2 C.-2,2 D.4,16 【清北解析】 本题考查函数的基本概念，并不困难，需要考生对基本概念有所掌握。 清北学堂集中培训课程入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 抽象函数求定义域指的是自变量的取值范围，且在同一对应法则 下括号内取值范围相同。 2 2 4 2 2。故选 C。 5、已知定义在 R 上的奇函数 ()满足 ( +2) = ()，则 (6)的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【清北解析】 本题考查函数的周期性问题，此类题除零以外无法得到其它函数值，答案多为零。 ( +2) = () ( +4) = ( +2) () = ( +4) = 4。又对于奇函数，(0) = 0，所以 (6) = (2) = (0) = 0。故选 B。 6、已知函数 = 1 + +3的最大值为 M，最小值为 m，则 的值为（ ） A.1/4 B.1/2 C.2/2 D.3/2 【清北解析】 本题考查函数的极值问题。 确定函数的值域，首先应确定函数的定义域，为 3 1。将原函数平方处理的2 = 4+22 2 +3。令 () = 2 2 +3， 3 1时， ()单调递增，1 1， ()单调递减。所以 ()的最大值和最小值可以确定为 4 和 0。因此， = 22， = 2。故选 C。 7、（ 2013 北约） 复数 A 、 B 、 C 的模都等于 1，且 0A B C ，则复数 AB BC CAA B C的模等于 A.1/2 B.1 C.3 D.不确定 【清北解析】 1AA BB CC ， 则 +C C A B A A B C B B C A A B CABCA B C A B C ，模为 1。 8、（ 2013 北约） 在 66 棋盘上放 3 个完全相同的红色的车和 3 个完全相同的黑色的车，若这 6 个车不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 种 A.720 B.518400 C.20 D.14400 【清北解析】 考虑 6 个棋子均不相同，则不同行且不同列的方法共有 2 2 2 2 2 26 5 4 3 2 1 ，考虑棋子有两种颜色，且相同颜色的棋子完全相同，则放法有 2 2 2 2 2 26 5 4 3 2 1 144003 ! 3 ! 。 清北学堂集中培训课程入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 二、 解答题 9、（ 17 分） 函数 f(x) 对任意 xR 都有 1( ) 1( 2)fx fx ， 若 (1 ) 5 1 ( 7 4 ) ( )nf , f n N 求 的 值。 【清北解析】 由 ()fx= 11( 2)fx 得 1( 2) 1 ( )fx fx， 1( 4)1 ( 2)fx fx= 111 1 ( )fx = 11()fx ， 1 1 ( ) 1( 8 ) 1 111 ( 4) ( ) 1 1 ( )1()fxfx f x f x f xfx ， ( 2) ( 8)f x f x ，故有 ( ) ( 6)f x f x， 这说明 ()fx是 R上的周期函数，且 6 是 ()fx的一个周期。 利用二项式定理可以证明 7 +4能被 6 除余 5， (7 4) (5)nff 而 1( 5 ) (1 4 ) 1 , (1 ) 5 1(1)f f ff ， 35(5)4f 。 清北学堂集中培训课程入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 10、（ 16 分） 设如图，是一人出差从 A 城到 B 城去，沿途可能经过的城市的示意图，通过两城市所需的时间标在两城市的连线上（单位：时）。试求此人从城 A 到城 B 所需时间的最小值。 【清北解析】 记各城市至 B 城所需时间最短的时数为 S(x),x 为城市记号，则 12( ) 12 , ( ) 18,S E S E 11( ) 17 ( ) 29,S D S E 2 1 2( ) m i n 1 0 ( ) , 5 ( ) 2 2 ,S D S E S E 32( ) 9 ( ) 27,S D S E 1 1 2( ) m i n 6 ( ) , 1 3 ( ) 3 5 ,S C S D S D 2 2 3( ) m i n 1 1 ( ) , 7 ( ) 3 3 ,S C S D S D 12( ) m i n 1 4 ( ) , 1 5 ( ) 4 8 .S A S C S C 所以最短路径为 2 2 1A C D E B, ，共需时间 48 小时。 AB2C151C1D3D2D2E1E146131175917121810清北学堂集中培训课程入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 11、（ 19 分） 设 0k ，在直线 y kx 与 y kx 上分别取点 ,AAAx y 与 ,BBB x y ，使0ABxx 且 21OA OB k ，其中 O 是坐标原点记 AB 中点 M 的轨迹为 C 求 C 的方程； 若抛物线 2 2x py （ 0p ）与 C 在两点相切，证明：两个切点分别在两条定直线上，并求在这两切点处的切线方程 【清北解析】 （ 1） M 为 AB 中点 ，设其坐标为 (, )xy ，则 222ABA B A Bxxxy y kx kxy 2 2 2 21 1 1 ( 1 )A B A BO A O B k k x k x k x x 由于 0ABxx ，可得 1ABxx 。 所以 2 2 2 22( 2 ) ( ) ( ) ( ) 4 4A B A B A Bx y x x x x x xk 整理得 C 的方程 为 222 1yx k，可知曲线 C 为双曲线。 （ 2） 联立方程组 22 2212yxkx py 得 22 2 1 0y pyk ， （ 0, 0kp） 由双曲线与抛物线相切得到二次方程的判别式 22440p k ，故 1kp 。 由方程 22 2 1 0p y py 得到两切点坐标为 1( 2, )p。 由此可知当 p 的值发生变化时，两切点的横坐标不变，故可得 两个切点分别在两条定直线 2x 和 2x 上。 抛物线 2 2x py 在两切点的导数值分别为 2p和 2p，可求得两切线方程为 21( 2 )yxpp 和 21( 2 )yxpp 清北学堂集中培训课程入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 物理部分 三、 选择题（每题 6 分，共 42 分） 1、 如图 ，光滑水平面上有质量为 M 的物块 a，左端与一个固定在墙上的弹簧相连，弹簧的劲度系数为 k , 物块 a 上面有质量为 m 的物块 b， ab 之间的最大静摩擦力为 f0。 现用以水平力缓慢向左推动物块 a，使弹簧压缩 若在撤去此力后物块 b 与 a 没有相对运动，弹簧压缩的最大距离为 （ ） A. 0Mfmk B. 0(M m)fmk C. 0Mf(M m)k D. 0mf(M m)k 【清北解析】 a 和 b 没有相对运动，可将二者看做一个整体 设弹簧压缩的最大距离为 L，则二者可获得的最大加速度为 kLmM此时 b 只受到 a 给它的摩擦力 f0，故 b 的加速度等于0fm，而 a 与b 之间没有相对运动，故0f kLm m M 得0(M m)fL mk，选 B 2、如图， 在 xOy 平面内有一列沿 x 轴传播的简谐横波，频率为2.5Hz在 t=0 时， P 点位于平衡位置，且速度方向向下， Q 点位于平衡位置下方的最大位移处 则在 t=0.35s 时， PQ 两质点的（ ） A. 位移大小相等，方向相反 B. 速度大小相等，方向相同 C. 速度大小相等，方向相反 D. 加速度大小相等，方向相反 【清北解析】 由频率解得周期 1 04T / f . s，根据 t=0 时刻 PQ 的波动图像得波沿 x 正方向传播 经过 0.35s 即 7/8 个周期时，波形与8t T/ 时波形相同 由图易知 ，此时 PQ 两点位移大小相等，方向相反 ；相应的加速度也是大小相等，方向相反 ；速度大小相等，方向均向下 故选择 ABD 3、 如图， 用等长绝缘线分别悬挂两个质量 电量都相同的小球 A 和 B，两线上端固定于 O 点， B 球固定在 O 点正下方 当 A 球静止时，两悬线夹角为 能保持夹角 不变的方法是 （ ） A. 同时使两悬线长度减半 B. 同时使 A 球的质量和电量都减半 C. 同时使两球的质量和电量都减半 D. 同时使两悬线长度和两球的电量都减半 a b清北学堂集中培训课程入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 【清北解析】 本题综合考查受力分析及库仑定律 由于 B 球下方为固定端 ， 不能确定受力方向 ， 因此无法判断其库仑力方向 ， 则首先对 A 球进行受力分析 如 图 所示 ， A 球受到 3 个力作用而保持平衡 ， 重力 G= 1mg， 库仑力1 2 1 2222q kq q kq qF r ( l sin )， 而由qF G F可知 ， 绝缘线的拉力 FG ， 则22qF F sin G sin， 因此有 2 12 22 kq m g sin( l sin ) 题中要求夹角 不变 ，则有12 12 22kqq mg( l) ， 选项 A 为 2l l/ ， 等式不成立 ， 因此不正确 ；选项B 为 1 1 1 122q q / ,m m /， 则等式成立 ， 选 B； 选项 C 为1 1 2 2 1 12 2 2 q q / q q / m m / ， ， 等式不成立 ， 因此不正确 ；选项 D 为1 1 2 222q q / q q /， ，2l l/ ， 则等式成立 ， 选 D因此本题答案为 BD 4、 关于物体的内能，下列说法中正确的是 ( ) A. 1g 0 水的内能比 1g 0 冰的内能大 B. 电流通过电阻后电阻发热 ， 它的内能增加是通过 “热传递 ”方式实现的 C. 气体膨胀 ， 它的内能一定减少 D. 橡皮筋被拉伸时 ， 分子间势能增加 【清北解析】 0 的冰变成水吸热，分子平均动能未变，但吸热增加了分子势能 气体膨胀虽对外做功，但温度怎么变化未知，故内能变化未知 橡皮筋被拉伸时克服引力做功，分子势能增加，选 AD 5、如图所示， 当滑动变阻器的滑动触头 P 向右移动时 .三个灯泡亮度的变化情况是 （ ） A. L1 变亮， L2 和 L3 皆变暗 B. L1 变亮， L2 不能确定， L3 变暗 C. L1 变暗， L2 变亮， L3也变亮 D. L1 变亮， L2 变亮， L3变暗 【清北解析】 电路中任一局部发生变化 ， 将引起各处的电流和电压的变化 判断这类问题 ， 可以先从局部的变化推出总电流 路端电压的变化 ， 再根据串 并联电路的特点以及部分电路欧姆定律作出相应的判断 当 P 向右移动时 ， 滑动变阻器的电阻减小 ， 则总电阻减小 ， 总电流增大 ， 内电压增大 ，路端电压减小 ， 所以 L3变亮 ；因为 U3变大 ， 且路端电压变小 ， 所以 L1 变暗 ；总电流变大 ， 又I1 变小的 ， 所以 L2 的电流增大 ， L2 变亮 因此 ， 本题的正确选项应为 C。 6、 边长为 10cm 的正方形木块 (密度为 305. g/cm )浮在有水的杯中 ， 杯的横截面积为 2200cm ，平衡时杯内水深 10cm， g 取 210/ms ， 用力使木块慢慢沉到杯底 ， 外力所做的功的焦耳数是（ ） A.1/4 B.1/8 C.3/16 D.3/10 清北学堂集中培训课程入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 【清北解析】 设木块沉到杯底时水深为 x ， 由 1 0 2 0 0 1 0 1 0 5 2 0 0 1 0 1 0 1 0x ， 解得 125cmx. 施加的外力与位移关系 如图 所示 ， 其中 3 3 62 1 0 1 0 1 0 1 0 2 5F g V / / N N 故 25 2 5 2 5 2 5 1 0 0 1 8 7 5FW ( . / . ) . J 故 答案 为 C。 7、 刚性细直棒长为 2l，质量不计，其一端 O 用光滑铰链与固定转轴连接，在细棒的中点固定一个质量为 4m 的小球 A，在细棒的另一端固定一个质量为 m 的小球 B将棒置于水平位置由静止开始释放，棒与球组成的系统将在竖直平面内作无摩擦的转动，则该系统在由水平位置转至竖直位置的过程中 （ ） A. 系统的机械能守恒 B. 棒对 AB 两球都不做功 C. A 球通过棒对 B 球做正功 D. B 球通过棒对 A 球做正功 【清北解析】 设棒转过 90时 B 所在平面为零势能面 系统从水平位置转至竖直位置的过程中 ， 由机械能守恒得 2211m 4 m242 22 2BB vvmg l l mg l () 解得 2 6gBvl ， 单独 考虑球 B21g 2 W m2 Blv得 W mgl ， 故选 AC 四、 解答题 8、（ 7 分） 每逢佳节的夜晚 ， 一串串烟火凌空爆发 ， 展现出一幅幅色彩艳丽的图像 燃放烟花时往往先看到一个火球迅速 “膨胀 ”， 而后 “膨胀 ”减缓并慢慢散落下来 为什么爆发的烟花呈现球状呢 ?请对此现象进行分析 【清北解析】 烟花爆发后 ,向四面八方各个方向的速度大小可以认为是相等的 ， 同时由于有重力的作用都有向下的重力加速度 ， 故在已向下加速度为 g 的参考系中看 (短时间内下落距离很小 ，背景又暗 )， 烟火向各个方向匀速运动 ， 所以在短时间内看到一个光球迅速 “膨胀 ”， 一段时间后回到地面参考系中看必然又会慢慢散落下来 清北学堂集中培训课程入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 9、（ 11 分） 在升降机的天花板上固定一摆长为 l 的单摆，当升降机静止时，让摆球从 0 角度处摆下，试分析 (1)当摆球摆到最高点时 ,升降机以加速度 g 下落 ,摆球相对于升降机作何运动 ? (2)当摆球摆动到最低点时 ,升降机以加速度 g 下落 ,摆球相对于升降机作何运动 ? (3)若升降机以加速度 g 加速上升，则摆球相对于升降机作何运动 ? 【清北解析】 (1)摆球静止不动 (2)摆球将作匀速圆周运动，碰到天花板后反弹再做匀速圆周运动，以后重复 (3)等效重力加速度为 2g，故摆球做周期 2 2lT g 的简谐运动 10、（ 20 分） “顿牟缀芥 ”是两千多年前我国古人对摩擦起电现象的观察记录，经摩擦后带电的琥珀能吸起小物体现用下述模型分析探究 如图所示 在某处固定一个电荷量为 Q 的点电荷，在其正下方 h 处有一个原子在点电荷产生的电场（场强为 E ）作用下，原子的负电荷中心与正电荷中心会分开很小的距离 l ，形成电偶极子描述电偶极子特征的物理量称为电偶极矩 p ， p ql ，这里 q 为原子核的电荷实验显示， pE ， 为原子的极化系数，反映其极化的难易程度被极化的原子与点电荷之间产生作用力 F 在一定条件下，原子会被点电荷 “缀 ”上去 （ 1） F 是吸引力还是排斥力？简要说明理由； （ 2） 若固定点电荷的电荷量增加一倍，力 F 如何变化，即求 2FQFQ的值； （ 3） 若原子与点电荷间的距离减小一半，力 F 如何变化，即求 2hFFh的值 。 【清北解析】 此题为信息给予题，提供了 电偶极矩的定义式。使用小量近似处理方法推导点电荷对电偶极子的电场力是此题的关键。 （ 1） F 为吸引力 理由：当原子极化时，与 Q 异性的电荷移向 Q ，而与 Q 同性的电荷被排斥而远离 Q 这样异性电荷之间的吸引力大于同性电荷的排斥力，总的效果是吸引 设电荷 Q 带正电电荷 Q 与分离开距离 l 的一对异性电荷间的总作用力为 2222kQ q kQ qFllhh 22224hlkQqlh3322kQql kQphh 清北学堂集中培训课程入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 这里014k ，而 p ql 为原子极化形成的电偶极矩，式中负号表示吸引力 实验显示， pE ，而电荷 Q 在离它 h 处的原子所在地产生的电场大小为； 2kQE h 于是，电荷 Q 与极化原子之间的作用力为 : 2252 kQF h 它正比于固定电荷的平方，反比于距离的五次方，因此不管电荷 Q 的符号，均产生吸引力；电荷增加一倍，力变为 4 倍；距离缩短一半，则力变为 32 倍 （ 2） 2 4FQFQ （ 3） 52 2 32hFFh 11、（ 20 分） 固定在竖直平面内的一个半圆形光滑轨道 ， 半圆轨道半径为 R， 轨道两端在同一水平高度上 ， 其中一段有一小定滑轮 (其大小可忽略 )， 两小物体质量分别为 1m 和 2m ， 用轻细绳跨过滑轮连接在一起 ， 如 图 所示 ， 若要求小物体 1m 从光滑半圆轨道上端沿轨道由静止开始下滑 ， 问 ： (1) 1m 满足什么条件可以使它下滑到轨道最低点 C? (2) 1m 下滑到 C 点时速度为多大 ? 【清北解析】 小物体 1m 沿轨道下滑时 ， 2m 将竖直向上运动 ， 由于 1m 做圆周运动 ， 2m 做直线运动 ， 因此