西师版小学六年级数学下册全套教学设计与教案

西师版小学六年级数学下册 全套教学设计与 教案 第一单元：百分数 （一）教学目标 1 2 3应用意识和解决问题的能力。 4 （二）教科书说明 本单元包括单元主题图，百分数的意义 ，百分数和分数、小数的互化，解决问题及整理与复习等内容，同时在本单元的后面还安排了一个“综合应用”。 百分数是在学生学习了整数、小数，特别是分数等知识的基础上进行教学的。本单元的编排顺序是先教学“百分数的意义”，然后是“百分数和分数、小数的互化”，最后安排“百分数的应用”（即解决问题）。 本单元教科书在编写上具有以下几个特点： 1分数的学习与解决问题紧密联系起来。这样编写的原因主要有四个方面：一是因为百分数本身就 广泛地应用于生产、生活的方方面面（如出勤率、税率、利率等）。二是由于学生有了学习百分数意义、分数和小数互化及解决有关问题的知识和经验，特别是有了分数的相关知识。虽然分数和百分数有一定的区别，但也有很多的联系，这就给学生在解决问题的过程中探究新知提供了可能 ，如教科书第 3 页例 1、例 2，第 7 页的准备题等都利用分数的有关知识作为探究新知的桥梁。三是这样编排有助于沟通知识间的联系，同时也能促进学生自主建构知识。四是有利于对学生应用意识和解决问题能力的培养，如第 3 页例 1，第 11 页例 1，第 12 页例2，第 19 页例 4，第 20 页例 5 等。这些都是极具现实性的内容，而解决问题的策略以及计算方法又需要学生探索，从而能较好地培养学生思维的开放性和解决简单实际问题的能力，使学生在学习这些知识的过程中，形成数学的应用意识。 2 已有的生活经验出发，让他们亲身经历实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。基于这一理念，在本单元教学内容的编写上，突出了利用学生的生活经验来引发学生探究愿望这一特点 。例如，百分数意义的编排，就打破了传统教科书通过“比较”来教学其意义的做法，而是通过生活中常见到的服装吊牌上的信息（见右图）引发学生对百分数意义的探究欲望。再如，“算利息”的编排，也是以学生存钱的事例来激发学生的探究兴趣的。 3 过程中引出学习新知的需要学习需求是激发学生学习兴趣及探究欲望的基础。教科书不是直接呈现新的学习内容，而是先呈现问题，在学生利用已有知识解决问题的过程中设置“障碍”，进而引出新的学习内容。例如，百分数和小数、分数的互化，就利用了解决“空气质量达到二级标准的城市 有多少个”的问题，列出如何计算“ 340 35%”的学习任务，而这是学生现有知识不能解决的，它需要将 35%化成小数或分数后才能算出，这样编写就有利于激发学生学习新知识“百分数和分数、小数的互化”的需求。 （三）教学提示 本单元虽然是传统的教学内容，但教科书在编写上与传统教科书有较大变化。在教学中，应正确理解教科书编写意图，体现新的课程理念，鼓励和引导学生利用已有的知识和生活经验自主探究和构建新知，培养学生的应用意识和实践能力。 1 唯一正确方法是实行再创造，也是学生将要学习的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作。前面已述，学习本单元内容学生已有足够的知识储备和生活经验，教学时教师应注意给他们搭建好自主探究的平台，积极鼓励和引导学生利用已有知识自主探究、发现和构建新知。如教学第 11 页例 1 时，在学生收集整理信息后，教师只需设问：如果是解决“今年比去年增加了百分之几”这一问题你准备怎么解决？这样学生就能根据已掌握的对分数实际问题的解决的方法及分数、百分数、小数互化的知识独立解决问题。 2 学问题意识和解决问题能力的培养本单元“解决问题”和传统的百分数应用题有所不同，一方面不对所要解决问题进行分类，另一方面也没有明确归纳出解决问题的模式（公式）。而是强调从问题所呈现的信息入手，用多种方式分析数量间的关系，用多种方法解决问题。教学时，应注重学 生数学问题意识的培养，重在解题策略的探索和解决问题方法的获得，培养学生解决问题的能力。 3鼓励学生发现、收集生活中百分数的素材，如许多食品袋上每种物质所占的百分率、商场的各种优 惠活动等。这样一方面可以加深学生对百分数的认识，另一方面还能让他们感受数学与生活的联系。另外，教师还可以引导学生将收集到的生活中的百分数素材整理成数学问题，并组织学生交流，使学生更好地体会数学与生活的联系。 （四）各节教科书内容分析和教学建议 百分数的意义（第 1 6 页） 1 教科书分析 本小节教学内容包括单元主题图、 2 个例题、 1 个课堂活动和练习一。单元主题图呈现了一组反映三峡库区自然状况的百分数，一方面学生可以从一个侧面对三峡库区的情况有所了解，更重要的是可以引发学生对日常生活中所见到的百分数进 行回忆，激发学生探究百分数相关知识的兴趣。同时，教师还可以将其作为读、写百分数及用百分数来解决问题的素材。 教科书第 2 页，呈现了到服装店买服装的情景。情景图突出了两大内容：第一，将服装吊牌放大并突出用百分数表示的服装面料成分含量。应该注意的是，吊牌是编者精心选择的：它所呈现的百分数既包含了百分号前是整数的，也包括了百分号前是小数的，还有百分号前恰好是 100 的目的是让学生直观地感受到百分号前面的数可以是整数，也可以是小数；可以小于 100，还可以等于 100，甚至可以大于 100。第二，用问题“羊毛含量 为 36%是什么意思呢？”引出百分数意义的讨论话题。第 2 页中间的两个对话框的编排意图分别为：左边对话框提示教师引导学生从“一个数是另一个数的几分之几”这一已有知识初步感知百分数的含义；由于百分数大小比较对六年级学生而言较简单，因此教科书利用右边的对话框即通过对服装面料成分含量的比较，反映了对百分数大小的认识。在此基础上，教科书对百分数进行了描述性的说明，指出像 36%， 25.6%， 21%， 17.4%， 100%这样的数都是百分数，并介绍了百分号。考虑到学生虽然在日常生活中或多或少地见过百分数，但对怎样读它可能并不规范，因此教科书又以服装吊牌上呈现的百分数为素材，介绍百分数的读法。 第 3 页例 1，改变了传统教科书从比较两个分数的大小入手，将两个分数化成分母是 100的分数后引出百分数意义的做法，直接从解决“求一个数是另一个数的百分之几”切入。教科书在这里有意识地设计了单位“ 1”是 100 人这样一个数量，目的是想借助学生已有的“求一个数是另一个数的几分之几是多少”的知识，引出百分数的意义。为了让学生对百分数有较完整的认识，在例 1 下面，提出了“女生人数是男生人数的百分之几”这一问题。其意图是一方面让学生认识百分号前面的 数大于 100 的百分数；另一方面便于更好地突出百分数“表示一个数是另一个数的百分之几”这一本质属性。在此基础上，教科书归纳了百分数的意义。考虑到“百分数又叫做百分率或百分比”这句话学生在理解上会有一些困难，教科书安排了例 2，让学生更广泛地接触百分率。这样安排一方面是帮助学生进一步理解百分数的意义，更主要的是通过解决“比较两个年级某天出勤率”这一问题，让学生在解决问题的过程中体会百分率（百分比）的实际含义。同时通过“议一议”介绍了几种常见的百分率，进一步拓宽学生对百分率的了解。 本小节的“课堂活动”安排 了 3 个问题。第 1， 3 两个问题，主要以学生之间的交流为主，目的是想通过“说一说”、“议一议”这种形式，加深对百分数意义的理解，考虑到学生叙述百分数的意义可能会有一定困难，教科书给出了两个范例。第 2 个问题是一个游戏活动，通过游戏巩固学生对百分数大小的比较，同时激发学生的学习兴趣。由于百分数的写法比较简单，所以教科书未专门设计例题，而是安排在练习一的第 3 题，让学生通过练习掌握百分数的写法。 2 教学建议 本小节内容可用 2 课时完成教学任务。 教学单元主题图时，可先让学生观察，然后提问：你发现了什么？ 引导学生发现主题图中的每条信息都是用百分数呈现的。学生可能不会读出这些数，这没有关系，可继续启发学生回忆在哪些地方见过这样的数，激发学生对百分数的兴趣。也可以课前布置学生收集含有百分数的相关信息在课堂上进行交流和展示。收集到的这些信息，还可以作为后面的课程资源。 教学第 2 页上的内容时，重点引导学生先观察服装吊牌上各种成分所占的百分数，然后思考“羊毛含量为 36%是什么意思呢”的问题。“ 36%是什么意思”的问题可以组织学生展开讨论。讨论时可按照第 2 页中间对话框的提示，把学生的关注点放在“一个数是另一个数 的几分之几”上，同时还可以有意识地引导学生对百分数大小进行直观的比较。在此基础上，可用列举法描述出百分数的意义。教师还可以利用课前布置学生收集到的百分数的相关信息，并将其作为课程资源进行百分数意义及读法的教学。教学百分数的读法时，可根据本班学生的情况灵活处理，如果绝大部分同学已会读，可让学生练习，在练习中进一步熟练地掌握其读法；如果有相当一部分学生不会读，则教师应示范读法。并通过“读一读”及时进行巩固练习。教学例 1 时，可放手让学生自己解决，教师只需在以下方面稍加点拨、引导：一是学生根据一个数是另一个数的几分 之几是多少得出 40100 后，可能会想到约分，这时教师可告之他们：因为要求男生人数占全年级人数的百分之几？所以可不必约分；二是引导学生将40100 写成 40%。对于第二个问题，教师可鼓励学生小组合作解决。当学生得出女生人数是男生人数的 150%时，教师可引导学生将其和前面的百分数进行比较，让学生明白百分号前面的数不仅可以小于 100，等于 100，还可以大于 100。教学例 2 时，可先就“出勤率”的含义组织学生进行讨论后，教师再作必要的引导，让学生明白“出勤率是指实到人数与应到人数的百分比”，然后就可放手让学生自行计算。 学生计算完后，可将出勤情况表和出勤率进行对照，并鼓励学生大胆质疑，如果学生提不出问题，教师可引导学生提出“两个年级缺勤人数相同，为什么六年级的出勤率要高些？”并组织他们讨论，让学生在讨论中加深对百分数意义的理解。 课堂活动第 1,3 题，可以先在小组内说一说、议一议，然后在全班进行交流，第 2 题可以在课前发动学生准备好写有百分数的卡片，活动时同桌的两个同学为一组，每人持有相同数量的卡片进行游戏，在一定时间内，卡片数量多的取胜。练习一的第 1， 2 题中关于百分数意义的叙述，只要求学生能利用“一个数是另一个数的百 分之几”来进行叙述就可以了。如第 1 题中学生能说出“ 8 1%表示菠菜中胡萝卜素的含量是菠菜总量的 8 1%”就可以了。第 4 题，可提示学生将三峡库区的面积看成单位“ 1”，即看成 100%。 3 教学案例 百分数的意义 (教学片断 ) 教学内容：教科书第 1 页。 教学过程： 教师：三峡水库的建设是一个闻名世界的跨世纪的水利建设工程，受到人们的广泛关注。课前老师收集了一些三峡库区自然状况的资料，现在我们一起来看一看。 出示：长江三峡库区自然状况的文字资料。 教师引导观察：从资料中你发现了什么？有什么共 同的地方？你认识上面的这些数吗？学生汇报自己的发现。 教师：你在哪些地方见过这样的数？教师：资料中的很多数据是以百分数的形式呈现的，百分数在人们的生活中处处可见。今天，我们就一起来了解有关百分数的知识。 教师板书，揭示课题：“百分数的意义” 评析：该教学片断通过展示教师收集到的长江三峡库区的自然状况资料，以及对“在哪些地方见过这样的数？”的提问，既拓宽了学生的知识视野，增强了环保意识；又让学生真正感受到生活中充满百分数，从而激发出学生学习百分数的兴趣和欲望。 （本案例由陈喻提供） 百分数和分数、小数的互化（第 7 10 页） 1 教科书分析 本小节的教学内容包括 1 道准备题， 2 道例题， 1 个课堂活动和练习二。 第 7 页例 1 上面的准备题，主要是引出百分数与小数、分数的互化。对于这个现实问题，学生可能会感到既熟悉又陌生，熟悉是因为学生已经学过用分数乘法解决相关问题，所以看似熟悉；陌生是由于所给信息中含有百分数，而百分数又要参与计算。考虑到学生能够用已有知识列出解决所提问题的算式，因此教科书引导学生在“空气质量达到二级标准的城市有多少个”这一问题的解决过程中引出百分数化分数和小数的 学习内容。这样编写的目的是使学生感受到百分数和分数、小数的互化是一种实际需求，进而激发学生学习的积极性和主动性。教科书重点写出一个百分数化分数和小数的过程，即 35%35100=0.35，其目的是希望学生能利用已有知识作为桥梁，来沟通百分数、小数之间的关系，同时给学生探索三者间的互化方法提供素材。 例 1 是在准备题的基础上编写的，主要教学百分数化成分数和小数。百分数化成分数，学生比较好理解，就是将其写成分母是 100 的分数。不过在这里编者有意识设计了两种情况的百分数化分数，一是直接写成分母是 100 的分数； 二是写成分母是 100 的分数后还需将其化成最简分数。百分数化小数要稍复杂一些，按学生原有认识，先要将百分数化成分数，然后再利用分数与除法的关系写成除法算式并计算出结果。教科书完整地呈现了两个百分数化成小数的过程，并在此基础上，鼓励学生将百分号前面的数是小数的百分数化成小数。其目的一方面是让学生经历百分数化小数的过程，更重要的是想借此引发学生观察，使他们由“除以 100”（缩小 100 倍）与“小数点向左移动两位”产生联想，为归纳总结百分数化成小数的方法做好准备。最后，通过“议一议”引导学生归纳总结出百分数化分数、小 数的方法，培养学生的归纳、概括能力。 例 2 是教学小数、分数化成百分数。对于小数化百分数，教科书提供的方法仍是根据小数的意义，将小数写成分母是 100 的分数，再将其化成百分数；分数化成百分数，则是先根据分数和除法的关系将分数写成除法算式，算出结果后再化成百分数。无论是小数化百分数，还是分数化百分数，教科书都将改写过程完整展示出来，这样是为了突出小数及分数化成百分数的规律，同时也便于学生总结出小数、分数化百分数的方法。由于在分数化成百分数的过程中，有时会出现分子除以分母除不尽的情况，为了解决这一难点，教科 书以对话框的形式给予了提示和说明。例 2 下面的“议一议”只提出了议一议的问题，原因一方面是学生已有了总结百分数化成小数、分数的基础；同时也给学生自主总结，归纳出小数、分数化成百分数的方法留下了空间。 教科书在课堂活动中安排了 2 个问题，这两个活动一方面突出了动口、动手的特点；另一方面又能起到巩固本小节知识的作用。如第 2 个问题学生就必须将 55%， 75%化成分数后才能正确地在格子里涂色。 练习二的第 1， 4， 6 题，都是为了沟通分数、小数、百分数之间的关系而设计的，第 7题，一方面巩固了前面学习的常见百分 率的计算；另一方面，在计算过程中又会遇到分数、小数化成百分数的问题，所以它又能巩固百分数与分数、小数互化的方法。 2 教学建议 本小节内容建议 2 课时完成教学任务。 教学第 7 页的准备题时，先出示二人对话图，引导学生根据二人对话提供的信息提出问题。学生可能会提出多个数学问题，这时教师可以引导学生重点解决“空气质量达到二级标准的城市有多少个”的问题，让学生根据已有知识列出算式。学生列出算式后，教师可以采取以下两种方法引入新知学习：一是让学生根据列出来的算式进行计算，让学生在计算过程中受阻的认知冲 突中引出新知；二是可以让学生观察算式直接提出“怎样计算呢”这个问题，进而引出新知。在此基础上，将 35%写成 35100，学生就可以顺利进行计算了。至于 35100化成 0.35，这是学生已有知识，教师只需稍加点拨即可。例 1 的教学可以分为两个层次，首先教学百分数化成分数。教学时，可以先让学生独立进行，然后引导学生交流，交流时重点突出百分数化分数的过程，让学生说出自己的想法。其次，教学百分数化成小数。如学生对于分数与除法的关系很清晰，可放手让学生自行进行，否则教师应适当点拨、引导。接着，教师应引导学生分别观察下面两组 式子。 17%=17100,40%=40100=25； 46%=0 46；128%=1.28， 0.5%=0.005。分别找出其共性，然后，教师可提出“怎样才能较快地将百分数化成分数或小数”的问题，小组交流后归纳总结出方法。值得注意的是，学生只要能用自己的语言概括出百分数化成分数、小数的方法就应鼓励，重在学生对百分数化分数和小数过程、方法的理解与掌握。 例 2 的教学，也可按照例 1 的方法进行。不过要注意两点：一是由于教科书安排了整数是 0 和不是 0 的小数化成百分数的内容，教学时教师要适当地引导学生进行比较；二是要 帮助学生弄清保留小数位数的问题，由于百分号前面的数一般保留一位小数，因此计算近似值时取三位小数后再化成百分数。如例题中将 1375 化成百分数，如不写过程，应写成 137517.3%，而不能用等号。课堂活动第 1 题可 4 人一组分组完成， 4 人适当分工，如一人说分数，一人说小数，一人说百分数，一人做裁判，然后交换角色进行。第 2 题可启发学生先将百分数化成分数，再数方格总数后涂色。评价时，应从涂对格数和涂得美观等方面进行。练习二第 5 题的第 2 小题，先让学生进行分数、小数、百分数的互化，再进行大小比较。 3 教学案例 百分数和 分数、小数的互化 教学内容：教科书第 710 页。 教学目标： 1 2 3生的归纳能力。 教学过程： 一、 创设情景，导入新课 出示第 7 页两个监测人员的对话情景：“我们监测了 340 个城市的空气质量” ，“其中有35%的城市达到了二级标准”。 教师：观察情景图，说说你获得了哪些数学信息。 学生： 教师：根据提供的信息，你能提出哪 些数学问题？ （学生可能会提出：还有百分之几的城市空气质量没有达到二级标准、空气质量达到二级标准的城市有多少个等）教师引导学生思考：要解决“空气质量达到二级标准的城市有多少个”的问题怎样列式？引导学生列出算式 ： 340 35%。教师：说说这样列式的想法。 学生： 教师：该怎样计算 340 35%呢？学生独立思考 340 35%的计算方法，并进行交流汇报。在交流中教师重点引导学生借助已有知识，发现要计算 340 35%，可把 35%写成分数或小数后进行计算，即把 35%改写成 35100 或 0.35。 学生尝试计算，并指名板演计算过程： 340 35%340 35%=340 35100=340 0.35=119（个） =119（个） 教师：我们通过把 35%改写成分数或小数的形式解决了“空气质量达到二级标准的城市有多少个”的问题。如何进行百分数和分数、小数的互化呢？这是我们需要进一步学习的内容。 板书揭示课题：百分数和分数、小数的互化。 二、自主探索，总结方法 出示第 7 页例 1。 1 学 生 自 主 尝 试 把 17% ， 40% 化 成 分 数 学 生 汇 报 改 写 过 程 并 板 演 ：17%=1710040%=40100=25 教师：当把百分数改写成分数后，不是最简分数的应化简成最简分数。 2 教学把 46%， 128%化成小数学生尝试把 46%和 128%化成小数。（学生可能会有下面的一些改写形式） 46%=46100=46 100=0 46， 128%=128100=128 100=1.28。你能将 0 5%化成小数吗？ 同桌交流后汇报。 教师：观察比较上面的改写式子，你发现了什么规律？ 学生： 3 交流归纳百分数化成分数、小数的方法 教师：根据我们刚才把 17%， 40%改写成分数，把 46%， 128%， 0.5%改写成小数的过程，同学们能不能试着说说，怎样把百分数化成分数或小数呢？ 学生讨论交流中，教师逐步引导学生有条理地归纳总结得出百分数化成分数或小数的方法。 教师：请同学们自己看教科书第 8 页两个同学的对话框的内容。教师引导学生总结百分数化分数、小数的方法：把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是 100 的分数，注意不是最简分数的要化简成最简分数；把百分数化成小数，可以直接去掉百分号，同时把百分号前的数的小数点向左移动两位。 三、巩固练习 1 9 页，课堂活动第 2 题教师：说说怎样才能准确地在格子里涂色呢？学生思考后独立完成在书上。 2 10 页第 2 题和第 5 题第 1 小题指名板演，集体订正。 四、课堂总结，结束全课 教师：通过这节课学习，同学们有哪些收获？ 学生： 评析：教学设计充分考虑了学生已有的知识和经验，给学生留下了自主探索的空间，教师仅在新旧知识的连接处进行点拨和提示。 解决问题（第 11 22页） 1 教科书分析 本小节共有 5个例题， 3个课堂活动和 3 个练习。主要是介绍百分数在现 实生活中的应用，引导学生用百分数的相关知识解决生活中的实际问题，是全单元的学习重点。 本小节教科书在编写上有以下特点： 一是所选择的学习材料都具有现实意义，让学生在学习中感受到百分数与现实生活的密切联系； 二是选择的现实问题有一定的挑战性，但学生通过独立思考和合作交流，都能用已有知识去解决； 三是注意解决问题策略的多样化。 教科书给了学生足够的时间和空间，目的是通过解决问题培养学生的思维能力和解决实际问题的能力。 我们可以把本节教科书内容分为三组： 1 第一组内容分析例 1和例 2与传统教科书中较复杂的百分数应用题基本相同。 例 1实际上是求一个数是另一个数的百分之几的应用题的发展，解决问题的方法主要还是根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。考虑到学生理解 “ 增加百分之几 ”的意义会有一定的困难，教科书充分利用对话框加以提示，并将两种算法都完整地呈现出来。这样编写的目的一方面是让学生了解解决此类问题的主要方法，另一方面感受解决问题策略的多样性。 例 2是根据情景图呈现信息，并要求解决 “ 今年有毕业生多少人 ” 的问题，要解决这个问题，学生一方面要考 虑求今年的毕业生人数是去年的百分之几，要用 “ 求一个数的几分之几（百分之几）是多少用乘法计算 ” 这一知识，而前者是难点和关键。为此，教科书利用了线段图帮助学生分析数量关系，一方面从图上学生就比较容易地看出今年毕业生的人数与去年毕业生人数间的关系，同时，提示学生画线段图分析是解决问题的方法之一，然后教科书用对话框呈现了两种不同的解决思路。 例 2后 “ 算一算 ” 的编写意图是想通过条件的变化，即将原来未知的变成已知，同时增加新的信息，提出新的问题，培养学生分析已知条件和问题之间的内在联系，同时促进学生逻辑思维能力 的发展。 第 13页的课堂活动，目的是想通过 “ 变 ” （原价和现价）与 “ 不变 ” （提价 20%，降价 20%）的讨论，让学生明确虽然提价和降价的百分率都是 20%，但由于它们的单位 “1”不相同，所以原价和现价会发生变化的道理，培养学生分析和解决问题的能力。 练习三习题新选素材广泛，尽量呈现真实事件。如第 3题反映了我国农村居民人均现实收入增长情况；第 4题反映了我国鱼类情况；第 6题反映了火车提速问题等，这些都能让学生感受到数学与生活的密切联系。第 15题供学有余力的学生练习。 2 第二组内容分析例 3是一 个利用方程来解决的问题。由于上衣和裤子的价格都未知，因此两个量都需要设未知数来表示。于是设哪个量为 x就成为了解决该问题的关键，根据题中的信息，裤子价格是上衣的 70%，也就是说如果将上衣价格设为 x，裤子的价格就能根据学生已有知识用 70%x表示出来。考虑到学生独立解决这个问题可能会有一定难度，教科书一方面给出了等量关系，同时，将解决问题的整个过程全部呈现出来，目的是让学生明确解决该问题的基本途径：一是选择哪个量设为 x，二是根据数量间的相等关系列出方程，三是解方程。课堂活动让学生根据相关条件提出问题并用式子表示相 应的数量关系，这是一个综合性的练习，其内容包括用字母表示数、分析数量关系、探索解决问题策略等。这一练习可以为后面列方程解决问题做好准备。 练习四除第 2， 3， 4题是配合例 3编写的，其余各题都需要学生根据已有的分数百分数知识来解决，如第 5题，一方面学生要看懂表格，同时，还要选取表中的对应信息来解决问题。 3 第三组内容分析例 4、例 5分别是纳税和利息的计算，这些内容都是百分数在现实生活中的具体应用，具有极强的现实意义。 例 4主要教学如何计算应纳税额及赢利的问题。由于在解决这类问题的过程中要 涉及纳税、税率等相关知识，而这些知识学生又是陌生的。所以，教科书首先说明了纳税的意义，并通过师生对话介绍了税率的含义。接着出示例 4 的情景图，该情景图以多种形式呈现信息，借助对话框告诉学生营业额的税率；同时，以表格形式呈现开支情况。这样编写的目的在于培养学生从不同渠道收集、整理信息的能力，并利用这些信息解决问题。要解决 “ 小餐馆上月赢利多少 ” 的问题，思维较简单，但计算步骤较繁，因此教科书分步骤呈现了解题的全过程。 例 5的教学内容是 “ 算利息 ” ，编写目的是想通过这部分知识的教学，使学生了解一些有关利息的初步 知识，知道本金、利息和利率的含义，会利用利息的计算公式进行一些有关利息的简单计算。考虑到六年级学生的生活经验里已有存款、利息等概念，而对本金、利率可能会生疏一些，教科书采取了先出示一家人到银行存钱的情景图，突出了银行 “ 人民币存款年利率（ %） ” 表格，一方面可以让学生了解到不同的存款种类及其利率，另一方面也便于学生提出 “ 利率是什么意思 ” 等问题，培养学生的问题意识。要计算利息，必须知道利率、本金等概念及其意义，而这些是学生探索不出来的。为此，教科书通过对话框以问答的方式对其进行了介绍，并直接给出了利息的计算公式， 这便于引导学生解决根据情景图提出的问题。 “ 税后利息 ” 也是本例题的一个知识点，由于它不难理解，所以教科书仅用一个对话框加以说明和提示，放手让学生自行去完成。课堂活动呈现的是将 400元钱存 3年，怎样存合算的问题，安排这个课堂活动的目的一方面是让学生在活动过程中进一步感受储蓄种类的不同，同时了解储蓄种类、时间的不同，利率也是不一样的；另一方面学生要通过计算利息来比较不同的存款方式，这对巩固学生计算利息的知识也能起到一定作用。 练习五的第 15题是配合例 4、例 5编写的。考虑到 “ 折扣 ” 是百分数在日常生活中应用 较多的知识之一，并且学生对折扣的理解又较容易，于是教科书通过第 6， 7题对其进行了补充，并用对话框对折扣的意义进行了提示。第 8题是常见的一个现实问题，要求学生综合应用知识通过猜测、计算、比较等加以解决。本题是选学内容。 2教学建议 本小节内容建议用 7课时完成教学任务。 教学第 11页例 1 时，可先将问题变成 “ 今年比去年增加了几分之几？ ” 再出示情景图，并组织学生讨论：要解决 “ 今年比去年增加了几分之几 ” 这个问题，应怎样进行思考？将学生的解决思路引导在 “ 先应算出今年比去年增加的台数，再算增加的台数是去 年的几分之几 ” 上来。如果学生理解起来仍有困难，可鼓励学生画线段图明确 “ 求多几分之几 ” 表示哪两部分的量相比，使学生逐步弄明白解决这个问题的基本策略。在此基础上，将问题变成例题中所提出的问题。可组织学生讨论：你是怎样理解 “ 今年比去年增加了百分之几 ” 这个问题的？交流、评价后引导学生独立解决。如果学生出现了教科书中呈现的两种不同的解决方法，教师可组织他们对其进行比较，找出共同点；如果学生没有出现教科书呈现的第二种解法，教师可作适当的点拨。 教学例 2时，出示情景图后，可先让学生说说收集到的信息，引导学生结合线 段图讨论 “ 今年比去年增加了 15%” 的含义。学生通过分析线段图可能就会有不同的解决问题的方法：一是可以知道今年毕业生人数是去年的 (1+15%)，就此切入问题的解决。还可以先算出增加的人数，即 20015% ，再算今年实际毕业人数。总之，在学生独立解决后组织学生的自评、互评十分重要，教学时应引起重视。 例 2后的 “ 算一算 ” ，可先引导学生与例题进行比较，学生说出异同后再鼓励学生独立思考解决问题，并可提示学生利用线段图进行分析。在此过程中教师巡视了解学生的思考情况，适时给予点拨引导，最后组织交流。第 13 页的课堂 活动，可先出示讨论的问题，引出讨论的话题，原价和现价是否发生了变化？对于这个话题学生可能会有两种不同的结果。这时教师可以分正、反两方组织学生间的辩论会，学生辩论时教师尽量认真倾听学生的不同理由，先不作评价，让学生辩出正确的结论。如果双方的理由都不充足，教师再作适当的点拨，主要引导学生思考 “ 降价 20%是在已提价 20%的基础上进行的 ” 这个关键问题。 练习三的第 15题，由于单位 “1” 在发生变化，所以正确的算式是： 50 （ 1+10%） （ 1+ 15）。教学例 3时教师应考虑到由于上衣和裤子价格都是未知的，学生 可能会感到困难。教学时，可先将此问题提出来组织学生讨论，当学生明确要将其中一个量用 x表示后，再将学生引导到 “ 设哪个量为 x” 、 “ 另一个量如何表示 ” 等问题上。此问题解决后，可以用小组交流的形式，讨论并找出等量关系，在此基础上让学生独立列出方程并进行解答。如果学生在 “ 设哪个量为 x” 的问题上有不同的想法，教师可组织学生讨论，让学生明确将单位 “1” 即上衣的价格设为 x较简便。第 16页的课堂活动，教师课前应准备一定数量的卡片。组织学生活动前，可以先由教师和几位同学按要求进行活动示范，然后再组织全班同学以小组为单位进行活动 。 练习四的第 5题，要解决两个问题，可提示学生根据其课本费、学习用具或课外书籍及其对应的百分比算出妈妈的奖金，如 8%x=40， x=500。存入银行的钱则可用两种方法得出：500-（ 110+25+40）或 500 （ 1-22%-5%-8%）。 在解答第 6题时，要使学生明白动物画片和人物画片数量都是以卡通画片数量为单位“1” 的。 第 10题要提示学生注意单位 “1” 的变化。思考题的答案是水和牛奶同样多。教学例4 前，教师可以告诉学生百分数在生活中有着广泛的应用，比如纳税和算利息等，接着可先说明什 么是纳税及为什么要纳税。如果在教师讲解的过程中学生能提出什么叫 “ 税率 ” 的问题，教师就因势利导地向学生介绍税率的含义，如不能提出此问题教师就直接向学生介绍，在此基础上出示例 4。同时提出 “ 上月赢利多少元 ” 是什么意思并且组织学生在独立思考的基础上进行合作交流。让学生明确要得出赢利多少，必须除去所有开支及应纳税额等。还要注意的是由于解决该问题步骤较多，也可提示学生分步解决。 教学例 5时，可先出示插图，即对话框和人民币存款年利率表，引导学生观察表，并提问发现了什么，有什么问题。学生可能会发现有多种存款种类，还 可能会发现不同种类、不同存期的年利率是不相同的。学生可能会提出 “ 利率是什么意思 ” 以及 “ 如何算利息 ” 等问题（如学生未提出这些问题，教师可作适当引导），针对学生提出的问题，教师作必要的讲解，同时告诉学生计算利息的公式。这时，再让学生解决 400元钱整存整取 3年的利息问题。在学生计算的过程中，应提醒学生按所得利息的 5%缴纳利息税后才是税后利息。 第 20页的课堂活动可以小组为单位，先设计出 400元钱存 3年的方案，再在组内分工算出不同存款方案所得利息，然后进行组间交流，得出较合算的存钱方法。 教学练习五 第 2题时，应提示学生先将收入总额减去不纳税部分后再按 5%缴纳个人所得税。第 4题由于计算步骤较多，可要求学生分别算出购买国债和整存整取的本息，再算收益相差多少。第 7题应提醒学生认真审题，一是通过对话框弄清九五折的含义，二是注意不是求现价是多少元，是要求降价多少元。第 8题是选学内容本题可先分别算出两种促销方式所需金额，再作比较：甲店： 607085%=3570 （元）乙店： 6070=4200 （元）420010018=756 （元） 4200-756=3444（元） 3 教学案例 解决问题 教学内容： 教科书第 11 页例 1、第 12页例 2及相关练习。 教学目标： 1 掌握求一个数比另一个数增加（或减少）百分之几的问题的解决方法，能综合运用所学百分数的知识解决相关实际问题。 2 能结合具体的问题情景多角度地分析问题，在分析问题的过程中体验解决问题策略的多样化，提高学生解决问题的能力。 3 在解决问题中感受百分数与现实生活的联系，体会百分数的应用价值。 教学重、难点： 求一个数比另一个数增加（或减少）百分之几的数学问题的解题思路和方法。 教具、学具准备： 多媒体课件。 教学过程： 一、创设情景，激趣 引新 教师：随着经济的发展，这几年农村变化很大，你们知道这方面的信息吗？ 学生讲述自己知道的相关信息后，教师展示一些新农村的图片。 教师：尤其是这两年，农村变化可大了，你们看，这是小营村的张华同学给老师的信。 课件出示一封信，上面写着：我们村今年有彩电 360台，去年只有 300台 教师：看到这个信息，你们能提出什么数学问题？学生自主提出、解决数学问题。 教师：张华同学也提出了一个问题，想请同学们帮他解决，我们一起来尝试帮帮他好吗？ 课件出示数学问题： 今年比去年增加了百分之几？ 教师谈话揭示课题：解决问题。 二、合作探究，解决问题 教师：这个问题和你们刚才提出的数学问题有什么不同之处？你是怎么理解 “ 今年比去年增加了百分之几 ” 这个问题的？大家讨论一下吧！ 教师：想一想， “ 今年比去年增加了百分之几 ” 是哪两个量在比较？谁是单位 “1” ？ 学生分组讨论后，再进行交流。 交流后，教师问：根据上面的分析，谁能说说这题的解题思路？ 学生试做，汇报结果。 教师：想一想，这个问题还有其他解法吗？ 师生共同小结： 解决这类题目的关键是什么？引导学生结合具体情景，进一步探究解决问题的方法。 教学例 2。 教师：生活中这样的问题还有很多很多，你们看，（课件出示两位老师的谈话场景）去年我校的毕业生是 200 人，今年比去年增加了 15，今年毕业生有多少人？ 教师：你们能用不同的方法解决这个问题吗？ 鼓励学生画线段图分析，再试一试。 如果明年的毕业生人数比今年减少 10%，学校明年毕业生有多少人？ 学生独立思考解决问题，教师巡视了解学生思考的情况，并结合学生的探索适时给予点拨、引导。 教师：哪些同学解决了这一问题？谁来把他们的解决办法说给同学们听一听？ 学生交流的过程中，教师利用评价引导学生用不同方法解决问题。 三、课堂活动 教师：同学们真聪明！能用不同的方法解决问题，而且还能清晰地叙述自己的解题思路！老师遇到了一个问题，想和你们一起讨论一下。 （课件出示书上课堂活动问题） 教师组织学生讨论、分析，重点说出原因。分析后，教师再组织学生计算验证。 四、课堂小结 教师：通过这节课的学习，你有哪些收获？还有什么问题？ 评析：教师用不同的 方法引导学生完成例 1和例 2的学习。例 1 是在教师的启发下将学生所提出的问题引导到需要解决的问题上来，同时抓住了解决该问题的关键；例 2教师充分考虑到学生的已有知识和经验，给学生足够的探索空间。在教学中教师充分利用评价的激励作用，鼓励学生大胆探索。 （本案例由王芳提供） 算利息（教学片断） 教学内容： 教科书第 20 页例 5及课堂活动。 教学目标： 1 了解储蓄的意义，学习存款的方法。 2 在交流与计算过程中，知道有关利息的初步知识，知道本金、利息和利率的含义，会利用利息的计算公式解决相关的数学问题。 3 体会百分数在日常生活中的应用，培养数学应用意识和解决问题的能力。 教具、学具准备： 实物投影仪。 教学过程： 一、 交流讨论，揭示课题 教师：同学们，昨天老师布置了一个调查活动：以小组为单位，收集有关储蓄的资料，了解储蓄的意义，调查当前储蓄的种类及相关的利率。哪个小组来汇报一下自己的成果呀？ 请一个小组同学把收集整理好的资料在实物投影仪上进行展示，其他小组进行补充。 （在展示和补充的过程中，重点提示理解本金、利率、利息的概念。）引出课题：今天我们就一起来讨论如何算利息的问 题。（板书课题：算利息） 二、 联系生活，解决问题 1 创设情景 今年过年时，我女儿得了 800元压岁钱，她和我商量要把这笔钱存起来，我们选择了整存整取的方式，存三年。 投影出示人民币存款年利率表。 教师：谁能告诉我，到期时，我取回的钱包括哪几部分？ 学生思考后回答：两部分，一部分是存入的 800元本金，另一部分是银行付的利息。 2 探索思考 教师：银行应该付给我多少利息？你们能帮我算一算吗？ 教师：我们要计算的利息与哪些因素有关？请你们在老师提供的信息中选取有效 信息。 学生独立思考，选取信息，交流。 教师：怎样计算利息？ （利息 =本金 利率 时间）学生计算利息。算后，老师出示银行存单，引导学生发现所算结果与银行计算的利息不同。查找原因，引出国家规定目前存款利息要按 5%的税率缴纳利息税。 学生计算税后利息，总结出具有现实意义的现行利息计算方法。 三、 拓展应用，学会合理存款 情景展示：这 800元钱除了这种存法，还有其他存款方法。你知道还可以怎样存 ？ （学生回答后，老师把其余存款方式罗列出来，如（ 1）一年一年地存，（ 2）先存两年，再存一年，（ 3）购买国债 ） 教师：不同的存法，各有什么好处？哪种最合算？ 学生先猜测讨论，再计算验证。 师生共同小结：根据实际情况，选择合算的存款方式。 评析：将实践活动、课堂活动结合起来是本案例的一个特点。教师在教学活动的设计上关注了学生的已有经验，但又没有忽略教师主导作用的发挥，体现在学生不能探索的知识教师就大胆地进行讲解等方面。 （本案例由王芳提供） 整理与复习（第 23 27 页） 1 教科书分析 本节教科书内容分两部分安排，一部分是对本单元知识的整理，另一部分是供复习用的习题。 对所学知识进行整理与复习，既是小学数学教学的重要内容，又是学习数学必不可少的过程。教科书以 “ 议一 议 ” 、 “ 算一算 ” 的形式来呈现所要整理的内容。首先设计了一个学生讨论的情景图，利用学生间的对话，呈现了本单元的主要学习内容，引导学生对本单元所学知识进行回忆和梳理。这样编排的目的是想通过这种形式，给学生提供复习回忆、再现知识、相互补充的机会。其次，通过 “ 算一算 ” ，帮助学生回忆运用百分数解决实际问题的方法与策略，提高学生分析问题、解决问题的能力。 为了帮助学生更好地理解并掌握本单元的知识，教科书在练习六安排了形式多样并能全面反映单元知识的练习。如第 1题是百分数的读法，第 2题是百分数与分数、小数的互化，第 5， 6题主要是一些常见的百分率，第 12， 14， 15题是有关折扣的实际问题，第 7， 8， 9，10， 11， 13， 16题都是用百分数解决生活中的实际问题。这些练习题的取材都具有一定的现实性，题材广泛。这些练习，不仅可以帮助学生巩固本单元的知识，还可以拓宽学生的视野，扩大学生的知识面，培养学生解决实际问题的能力。 2教学建议 本节内容建议 2课时完成教学任务。 整理本单元知识时，可以先让学生回忆一下本单元学习了哪些知识，然后引导学生以“ 百分数的意义 ” 和 “ 百分数在实际生活中有哪些应用 ” 这两个问题为主线进 行知识的梳理。学生在回忆 “ 百分数的应用 ” 时，最好让学生能联系生活实际，举例说明。 教学第 23 页 “ 算一算 ” 时，学生审题后，可以启发学生应用分析法或画线段图的方法来理解题意，同时可要求学生就对话框内的提示进行思考和讨论。练习六第 4题的（ 3）题是一道开放题，学生可以根据校园平面图提供的信息提出许多数学问题，教师要注意对学生所提问题进行梳理，组织学生展开评价，并选择其中的典型问题加以解决。练习六第 12题是根据商品的原价和现价，算其折扣。可能学生一时难以理解，可引导学生明白求折扣实际上就是求现价是原价的百分之 几。 第 14 题需要提醒学生注意的是：要解决的问题是比原价少付多少元？所以应先算出打折后的价钱，才能算出少付的钱。第 16 题可启发学生先将第二季度的用电量看成 “1” ，算出第三季度的用电量为 1 （ 1+5%） =1.05，再将第三季度的用电量看成 “1” ，算出第四季 度 的 用 电 量 为 1.05 （ 1-5% ） =399400 ， 最 后 得 出 所 要 解 决 的 问 题39940010.9975=99.75% 。 综合应用：有奖购书活动中的数学问 题（第 28页） 1 教科书分析 教科书在百分数的后面安排了 “ 有奖购书活动中的数学问题 ” 的综合应用。和以往的综合应用不同的是教科书不再以连环画的形式呈现，也没有以活动程序和活动方式的形式指导活动过程，而是以有奖购书活动所涉及的奖券派送、奖品设立等为研究内容，引发出一系列的问题，要求学生解决。这样设计的意图一方面是考虑到学生的年龄特点，另一方面考虑到能使所要解决的问题更加集中和深入，突出数学知识的综合应用。这一综合应用利用 “ 有奖购书活动 ” 公告呈现其内容，并引发学生从中提出问题，通过对话框提示出一些问题， 最后将问题完整地提出。这样的设计使得活动思路清晰，有利于操作。 2 教学建议 本综合应用建议用 1课时完成教学任务。组织该活动时，可先出示放大的 “ 有奖购书活动 ” 公告，要求学生认真阅读公告内容，并提取有用信息，然后，可以小组为单位提出相关数学问题，并组织问题交流，如学生有困难可以提示学生从对话框得到启发，最后师生共同梳理各组提出的问题，再以小组为单位合作解决。 第二单元：圆柱和圆锥 （一）教学目标 1 2 表面积。 3 式，会计算圆柱和圆锥的体积。 4活中的应用价值。 （二）教科书说明 圆柱和圆锥是学生在小学阶段最后认识的两个几何图形。本单元教科书除主题图外，主要安排了圆柱、圆锥两个小节和数学文化“古老的几何”等几部分内容。第一节是圆柱的学习，其内容包括圆柱的特征和各部分的名称，圆柱的表面积及其计算，圆柱的体积及其计算等。第二节是圆锥的学习，由圆 锥的认识、圆锥体积的计算以及解决相应的实际问题等内容构成。结合圆柱、圆锥的学习安排数学文化“古老的几何”，有助于学生对几何有更多的了解。本单元的内容一方面是数学课程标准要求小学生在本学段必须学习并掌握的知识，另一方面又是学生在小学阶段所认识的最后两种立体图形。切实掌握本单元内容，不仅可以帮助学生全面了解圆柱、圆锥的图形特征，发展空间观念，建立小学阶段几何图形知识体系，而且也为中学进一步学习空间与图形打基础，作准备。 本单元教科书在内容的编写上具有以下特点： 1 数学课程标准强调“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的”。基于此，本单元教科书在内容的选择与编排上都注意联系学生的生活实际，引导学生在熟悉的物体中去抽象出几何图形。首先，教科书在主题图中借“神舟五号”的成功发射呈现了大 量有关圆柱、圆锥的现实场景，为学生在后面的学习中抽象出圆柱、圆锥等几何图形提供了丰富的学习资源。其次，引导学生从钱币、易拉罐、日光灯管、铅锤、谷堆等物体中分别抽象出圆柱和圆锥，使学生从中体会到圆柱、圆锥等几何图形在日常生活中随处可见，它们与生活密不可分。再次，在练习题中让 学生应用圆柱的相关知识计算圆形管道输送完一车混凝土所需要的时间，既有现实意义，又富挑战性，同时通过问题的解决也促进了学生对圆柱体积、容积等相关知识的深入理解。 2 一系列活动中逐步深入理解所学内容，这是本单元教科书在内容编写上的一大特点。如通过观察将易拉罐的商标纸沿高剪开再展开后的形状，让学生明确圆柱的侧面展开是长方形，从而推导出其侧面积的计算方法；借助圆面积的推导方法，通过把圆柱进行分割和拼合的活动，让学生直观了解拼成的近似长方体 与圆柱的关系，从而得出圆柱体积计算公式；引导学生经历把等底等高的圆柱和圆锥分别没入同一个水槽中的实验探索过程，去得出并理解计算圆锥体积的方法；组织开展等底等高的圆柱形和圆锥形容器装沙子的课堂活动，让学生再一次发现它们之间的内在联系，从而加深学生对圆锥体积计算为何要乘 13 的理解。在圆柱和圆锥的学习过程中，观察、讨论、思考、测量伴随其间，做一做、说一说、分一分、拼一拼、算一算、填一填等活动也在学习内容中占了相当大的比例，突出了实践性，体现了让学生在活动中学习数学的教学理念。 3 单元中的很多内容教科书都未直接给学生提供完整的答案，注意给学生的思考与探索留下足够的空间。反映出教科书注重学生思维能力的培养，突出探索性的编写特点。如“圆柱上下两个圆相等”这一结论，教科书就没有直接给出，而是用第 30 页讨论图中的提问引导学生通过观察、操作比较去寻找答案；又如“圆锥体积是和它等底等高的圆柱体积的 13”这个重要结论，教科书也是通过安排学生在水槽中做实验的活动来发现并获得，然后再通过装沙子的课堂活动来加以深化的；再如圆柱的体积计算只是提出了解决的基本思路，通过圆面积的计算方法的迁移去解决，推导过程 中学生的思维和探索空间相对较大，对提高学生的思维水平大有裨益。 4以必要的引导，很多地方都采用了小组讨论、小组合作等学习方式。如在认识圆柱的特征时，教科书就用 小组集体讨论的情景图替代了直接文字叙述的单一呈现方式，以同学在观察中提出问题，共同探究的方式来提示学生如何认识并掌握圆柱的特征；圆锥体积的计算方法，教科书引导学生用实验的方法得出，将实验过程用情景、对话、观察记录等方式加以呈现，既符合学生认知规律，同时也体现了对学生学习方 法的引导；另外，圆柱侧面积、表面积的认识及测算，圆柱体积、容积的推导、计算等，教科书都通过小组合作交流或实验的方式进行探索。 教科书还紧扣学习内容，适时地安排“古老的几何”这一数学文化的学习。用图文并茂的方式向学生讲述古今中外有关几何学的数学小故事，这一安排不仅让学生初步了解中外古代数学家在几何发展方面所作出的贡献，更重要的是知道几何学是随社会生产、生活应用日益广泛而发展起来的，它是现代文明不可缺少的重要组成部分。综上所述，凸显学生的小组合作学习，引导学生在小组合作学习中动口、动手、动脑去发现并解决 问题，是课改积极倡导的学生学习数学的方式，是本单元教科书编写上的显著特点。 （三）教学提示 本单元的教学，应注意发挥教具或媒体直观的优势，用观察、比较、思考、交流等实践活动来帮助学生解决学习中的困难。在调动学生多种感官参与学习的同时，竭力营造民主和谐的学习氛围，让学生充分经历探索发现的过程，进一步发展空间观念。 根据本单元教科书内容的特点和学生的认知规律，在教学中可重点从以下几方面对学生的学习进行指导。 1教学中要高度重视学生的观察和操作活动，让学生在活动中认识图形并把握其特征，发现图形间的联系和求侧面积、表面积及体积的基本方法。如让学生通过剪易拉罐商标纸的操作活动去发现圆柱的侧面与展开后的长方形的关系；把圆柱分拼成近似长方体后，发现它与长方体之间的联系；把等底等高的实心圆柱、圆锥分别放入同一个水槽中，从测水位的上升情况来发现圆柱和圆锥的关系；用等底等高的圆柱形和圆锥形容器做装沙子的实验进一步验证它们的关系等。 实践活动是帮助学生认识几何图形乃至客观事物不可或缺的重要手段，教学中要注意三点： （ 1）创 设恰当情景，激发起学生操作的心理需要。如在推导圆锥体积公式之前，教师可以进行这样的引导：同学们，我们在推导圆柱的体积公式时，是用分割拼合的方法把它转化成了近似长方体后，再根据两者间的联系得到的。那么，圆锥的体积是不是和圆柱体积的算法完全相同呢？怎样求圆锥的体积呢？你能用实验的方法来说明吗？教师简洁的话语，既让学生懂得教师的期待，又让学生明确学习的目的，以此来燃起学生强烈的操作欲望。 （ 2）关注学生在操作活动过程中的情感体验。教学中不仅要燃起学生强烈的操作欲望，带着明确的目的参与实践活动，而且还应特别 关注学生在各个实践活动过程中的感受和体验。如在计算圆柱形杯子的容积的课堂活动中，让学生通过测量相关数据和计算，感受到物体的容积的具体含义，体会体积和容积的区别，从而加深对物体体积和容积的理解。 （ 3）重视操作后的提炼。小学生因受其知识经验、认识水平、表达能力等诸多方面的影响和限制，对实践活动中所反映出的种种数学现象或规律不一定能理解和解释。因此，教师要给予必要的帮助和引导，有意识地引领学生对操作活动中所发现的规律进行提炼和总结，以提高学生对知识的理解水平。如学生把等底等高的圆柱、圆锥分别放入同一水槽 做实验后，就应引导他们对所看到的现象进行提炼和总结，让学生会从等量代换的角度去得出水上升部分的体积分别就是圆柱、圆锥的体积，而和圆锥等积的水上升的高度只有和圆柱等积的水上升高度的 13，所以圆锥体积只有和它等底等高圆柱体积的 13。 2容所呈现的虽然是两个各具特征的几何图形，但是圆柱和圆锥在体积的计算方法上却有着本质的联系，我们对此应予以高度的重视，教学中通过突出两者的联系来加深对图形特征及求积方法的理解外，还要全面掌握长方体、正 方体、圆柱、圆锥之间的本质联系，通过联系提高学生对圆柱、圆锥的掌握水平。基于此，教学中要有意识突出以下联系： （ 1）突出圆柱和长方体之间的联系。圆柱的体积公式推导是本单元的重要内容，根据教科书的安排，教学中可充分利用转化的方法，把圆柱转化成一个近似的长方体，这样既让学生获得了圆柱体积计算的方法，又密切了圆柱与长方体之间的本质联系，还能更好地掌握求各种几何体的体积的基本方法 “底面积乘高”。 （ 2）突出圆柱、圆锥之间的联系。如前所述，用“底面积乘高”是求各种几何体体积的基本方法。圆柱的体积计 算公式又是圆锥体积计算公式推导的直接基础，在教学中可以通过抓住两者间的联系，利用圆柱体积计算公式推导出圆锥体积计算公式。 3体积的计算方法，正确地进行面积和体 积计算是本单元教学的主要任务。 根据学生的认知特点和教科书的提示，教学中要高度重视学生学习方式的引导，特别倡导学生的自主探索与合作交流。一方面要放手让学生通过观察和操作等活动去亲历自主探索图形特征，发现其中规律的过程。如让学生在求油桶表面积的活动中，探索得出求做油 桶需要多少铁皮就是求油桶的表面积的结论等。在观察圆柱模型的活动中，探索发现任何圆柱（直圆柱）的上下两个底面都是两个大小完全相等的圆的规律。另一方面，要加强学生间的合作与交流，通过合作交流，相互启发和借鉴，更好地促进知识的理解和技能的形成。 本单元许多地方都强调学生的合作探究学习，在教学中要理解教科书编写意图，积极地创设情景，激发学生参与其中的兴趣，让学生的操作、讨论、交流收到实效。首先要依据学习内容和教科书要求创设能激起学生合作学习需要的情景，吸引学生主动采用合作交流的学习方式来完成学习任务。比如计 算圆柱的体积时，让学生在小组学习中做一做、议一议，共同去探索并交流求体积的办法。其次是学生的合作学习一定要与自主探索相结合，通过合作促进学生更好地进行自主探索。如在测量一个圆柱形物体的有关长度，再算出它的表面积的活动中，既要重视同学们讨论交流测量方法和计算方法的合作学习，又要重视学生的自主探索。通过圆柱形物体表面积的计算去合理地解决现实生活中不尽相同的有特殊需要（圆柱有底的，无底的，只有一个底的表面积）的问题。再次，要保证学生合作学习交流的时间和空间，否则，这些多样化的学习方式无法实现。 数学文化 “古老的几何”的教学，主要让学生了解几何的由来以及在社会发展中的重要作用，把对古代中外数学家的崇敬之情变为学习数学的动力，增强学好数学的自信心。 （四）各节教科书内容分析和教学建议 圆柱（第 29 37 页） 1 教科书分析 在认识圆柱、圆锥特征以及学习圆柱、圆锥的有关内容之前，教科书先设计了一幅主题图，呈现的是同学们观看“神舟 5 号”图片展，受其鼓舞自己动手制作“神舟 5 号”模型的情景。这既是儿童生活的真实写照，又为后面学习圆柱、圆锥提供实物依据。显而易见，主题图的内容一方面为圆柱、圆锥两节教科书内容 的编写提供了现实的课程资源；另一方面也为学生在圆柱、圆锥的学习中，如何从生活中去发现常见的物体的特征并从中抽象出相应的几何图形提示了学习线索。教科书是按实物引入 抽象图形 认识特征 求表面积和体积的顺序编写的。遵循学生的认知规律，教科书先选取了生活中常见的一组圆柱形物体如易拉罐、硬币、日光灯管等，引导学生通过观察从这些大小不同、形状各异的圆柱形实物中抽象出圆柱，并介绍圆柱各部分的名称，清楚直观，易懂易记。其次是从操作中去发现圆柱上下两个底面是大小完全相等的两个圆，圆柱的侧面展开是一个长方形等特点，帮助 学生理解侧面积与表面积的异同。同时，还安排了利用转化的思想让学生自主探索圆柱体积怎样计算的内容。这样编写一方面展现了圆柱体积计算公式推导的思维过程，另一方面也对学生的学习方法进行了有效的指导。教科书在本节内容的安排中，十分突出新旧知识间的联系，始终注意利用转化的思想把新知变成旧知，再根据旧知来学习新知。如展开圆柱的侧面（转化）得到长方形（旧知），再抓住圆柱侧面与长方形的联系解决侧面积（新知）的问题。又如把圆柱（新知）转化为近似长方体（旧知），再根据长方体的求体积方法（旧知）、圆柱与近似长方体之间的联系来解决 圆柱体积公式的推导问题。这样编排，不仅让学生经历了整个知识学习的过程，理解并掌握了计算圆柱侧面积、表面积及体积、容积的基本方法，更重要的是学生在学习活动中感受到转化的数学思想方法。教科书在课堂活动中把测量圆柱的有关长度与计算表面积、体积结合起来。一方面有利于增强练习的活动性，促进学生的手脑并用；另一方面，让学生在测量和计算的活动中更好地理解计算与测量数据间的关系，学会根据计算的需要正确选择测量的方法，进一步加深学生对所学知识的理解和把握。 2 教学建议 本节内容建议用 4 课时完成教学任务。 教 学主题图时，可用多媒体或挂图出示主题图中两部分内容：一是“神舟 5 号”图片展的现场，二是同学们在动手制作“神舟 5 号”模型的活动。引导学生对这两部分内容仔细观察，自主发现图中“神舟 5 号”图片、展厅立柱、热水器上的水桶等物体上所反映的圆柱、圆锥等几何现象，并从学生的动手制作活动中去抽象出圆柱和圆锥。从实物中去发现并认出圆柱、圆锥对六年级学生来说并不太困难，教学时，教师可放手让学生去观察“神舟 5 号”的图片，从图片上物体的轮廓中抽象出圆柱和圆锥，再从同学们的操作中初步区分圆柱与圆锥的外形特点，建立其图形的表象，了解圆 柱和圆锥的特征。圆柱的教学重点应是圆柱特征的认识和侧面积、体积计算公式的探索。首先应通过圆柱特征的认识建立圆柱的概念，教学时一要引导学生充分借助对生活中常见的圆柱形物体的观察，逐一抽象出圆柱的几何特征；二要认识圆柱各部分名称，建立高的概念；三要通过动手操作去发现圆柱的上下底面都是圆，而且是两个大小完全相等的圆。圆柱特征的认识是后面继续学习侧面积、体积、容积的基础，这一认识过程对每位学生来说都十分必要，因此教学时要高度重视，做好上述几个方面的指导和引领工作，组织学生经历操作，观察探索的全过程，从而建立起圆柱的 正确概念。其次是自主探索圆柱的侧面积公式。 教学例 1、例 2 时，可分以下几个步骤进行：一是让学生看着实物先猜想圆柱的侧面展开是什么形状；二是沿高（或其他方法）剪下并展开圆柱的侧面加以认识；三是探索圆柱的侧面展开图与长方形之间的联系，从而探索推导出圆柱侧面积公式。当学生用不同的方法把圆柱的侧面展开后，教师要引导学生把观察的着力点放在这个圆柱侧面展开图与长方形的联系上，指导学生在观察、讨论的基础上，由长方形的面积公式推导出圆柱侧面积公式。 教学例 3 时，可以组织学生用小组合作的方式进行圆柱体积计算方 法的探索，让学生在充分动手分、拼圆柱学具的基础上，再进行演示和交流。也可先引导学生讨论圆面积计算公式的推导方法对圆柱是否适用，能不能设法把圆柱转变为长方体，怎样计算圆柱的体积，是讨论的重点，然后再由学生独立地计算出圆柱的体积。本节内容中有两个课堂活动，教学时要注意突出其活动性。可让学生独立活动或小组活动自主进行测量和计算，若学生有一定困难，教师可参与其中，指导学生逐步完成课堂活动。 第 32 页的课堂活动是求圆柱的表面积，但对应测量圆柱哪个部分的长度并未作具体的规定，给学生选择的自由度较大，只要学生测量 的方法和数据是正确的，都应予以认可。 第 35 页的课堂活动是测量并算出杯子的容积。教学时可在学生交流的过程中追问学生是怎样测量杯子的相关数据的，为什么要从杯子的里面去测量数据，了解学生对容积这一概念的理解和掌握的程度。对学生的发现，教师都应及时给予充分的肯定，使学生在活动的过程中获得成功的体验，从而增强学好数学的自信心。 练习七主要围绕圆柱侧面积、表面积公式的应用展开训练。第 2 题学生完成后，可引导学生进行比较，找出圆柱侧面积与表面积的区别与联系，在此基础上给予适当的总结。 第 3， 4 题是 所学知识在生活中的应用，通风管不可能有底，因此只能计算圆柱的侧面积，而蓄水池抹水泥部分则是侧面积加上一个底面积。这些被成年人看来是简单的问题，对缺乏生活经验的小学生来讲，理解和区分清楚是有一定困难的。教学时，可采取演示、实物观察或实地了解等方法帮助学生获得感性认识，以尽量减少因生活经验不足的原因造成判断失误。也可以采取让学生们在做题前先议一议的方法来促进学生的交流和互帮互助，在交流的过程中使学生受到启发。 教学第 6 题时，可指导学生认真看图，借助直观图解决问题。要特别注意的是：一要让学生自主去发现这个 模型的表面积是圆柱侧面积的一半加两个底面积的一半还要加上剖面这个长方形面积；二要提醒学生认真观察，不能多算或少算某一个部分的面积；三要训练学生会用语言表述自己的思考过程。练习八主要是圆柱体积、容积知识的综合应用。当第 1 题填完表后，可让学生说说侧面积和体积的区别，自己是怎样求出这些圆柱的侧面积和体积的。 练习第 3 题、第 4 题都是求容积，由于给的条件不同，在计算时就有所不同，且第 4 题还多一个体积单位与质量单位的转化问题。在这些细小的方面教师都要注意引导学生去认识和区别，培养学生严谨的科学态度和细致认真的良 好习惯。 第 5 题是逆向思考的题目，可组织学生议一议准备怎样解答，让学生明白求水的深度实际就是求圆柱的高，根据圆柱体积公式可推出高等于体积（容积）除以底面积。 第 6 题要让学生理解“混凝土在管道内的流速为每分 35 m”这个条件，如果学生有一定困难，教师可采取画图、演示等直观方法来解决他们理解上的困难。 第 8 题是一道综合题，教师要指导学生弄清楚：（ 1）这根钢管的底面形状是什么？（ 2）圆环形的面积怎样求？（ 3）求这根钢管的体积，可以采用哪些方法？也可以引导学生对本题的解题方法展开讨论，各抒己 见，在交流的过程中提高解决问题的能力。思考题可以让学生思考当拿走一个盒子后，减少的表面积是哪些部分？ 314 cm2 实际是圆柱形盒子的哪个部分？求体积要用底面积乘高，怎样才能找到高？ 3 教学案例 圆柱的侧面积教学内容：教科书第 30 31 页。 教学目标： 1 2计算圆柱的侧面积。 3 4 作的过程，体验学习的乐趣，培养学生的探索精神和创新意识。 教学重点：经历观察实验发现、验证的学习过程，初步掌握并会应用圆柱的侧面积公式。 教具、学具准备：多媒体课件、圆柱模型、空易拉罐、剪刀等。 教学过程： 一、创设情景，认识圆柱 1 教师：同学们，“神舟 5 号”成功发射，标志我国航天技术走在世界前列。我们学校也为此举办了图片展（用展示台把主题图上半幅投影在屏幕上），让我们一起来参观当时的图片展。同学们，请仔细观察，从这幅画面上，你看到了哪些立体图形？ 学生：图中有长方体、圆柱，还有圆锥。 教师：能 指出画面上哪些物体是圆柱吗？（请学生指认）其实在生活中，圆柱早就和我们是朋友了（课件展示教科书第 30 页圆柱实物图），图中的物品我们一定非常熟悉，它们都是什么形状的呢？ 学生：图一是易拉罐，它是圆柱形的。 学生：这是一枚硬币，它是一个很薄的圆柱。 学生：最后一幅图是日光灯管，它是一个又细又长的圆柱。 2 教师：对！尽管图中物品的粗细、长短各不相同，但它们都是圆柱（课件：红色的线在各物品的轮廓上闪烁，再同时将闪烁的部分平移到各物品的下边，将原实物抽象成几何图形）。下面让我们一起对这些圆柱作进一步研 究好吗？（板书：圆柱） 教师：请同学们拿出自己准备的圆柱模型，四人一组仔细观察（可以看、摸、比、量），去发现圆柱的特点好吗？ 学生自主进行分组的观察活动。教师巡视各小组，并适时加入其中的议论。 教师：同学们，谁能把自己的发现告诉大家？ 学生 1：我用手摸了圆柱的这部分（指侧面），它是一个曲面。 学生 2：我从书上知道圆柱两底面之间的距离是它的高。 学生 3：圆柱的两个底面都是圆形。 学生 4：我们小组量了这个圆柱的底面直径，发现两个底面直径一样长，说明这两个底面是一样大的。 教师：同学们的发现还真不少，并且还会用量 直径、周长的方法知道圆柱上下两个圆面一样大，真会动脑筋。老师有一个问题：这个圆柱可以画几条高呢？学生：可以画 1 条高，可以画无数条高 3. 指出图中的圆柱（教科书第 32 页练习七第 1 题）。 教师：（指着圆柱教具）既然这上下两个底面之间的距离是相等的，那么在这两个底面之间就一定能画出无数条高。老师想让同学们猜一猜：这张彩色纸（指教具侧面）也就是圆柱的侧面展开后，会是什么形状？（同时板书：侧面积） 学生讨论并交流自己的想法。 二、探索圆柱侧面积的计算方法 1 验证猜想，初步感知圆柱侧面与长方形的关系 （ 1）操 作（可两人一组，也可四人一组）。自己设法把圆柱学具上的商标纸弄下来。 （ 2）展开这张纸，看看是什么形状。 （ 3）讨论： a 你是怎样展开这张纸的？ b 这张长方形纸的长与圆柱的哪部分有关系？有什么关系？ c 这张长方形纸的宽与圆柱的哪部分有关系？有什么关系？ 学生讨论之后，教师了解还有没有学生不是沿圆柱的高剪下侧面这张纸的。 2 再次感知，推导公式 （ 1）推导圆柱侧面积公式。 教师：刚才同学们都经历了猜想和验证的学习过程，知道了圆柱的侧面展开是一个长方形，那怎样得到圆柱侧面积公式呢？ 学生：我们小组是沿高把 这张商标纸剪开的（指易拉罐的侧面），展开纸得到一个长方形。这个长方形的长和易拉罐的底面周长相等，宽和易拉罐的高相等。因为长方形面积是长 宽，所以圆柱侧面积是底面周长 高。 学生：我们也是沿高剪的，但得到的是一个正方形。它的一条边长与圆柱的底面周长相等 ,另一条边长与圆柱的高相等。因为正方形面积是边长 边长，所以圆柱侧面积公式是周长 高。 教师板书：长方形面积长 宽正方形面积边长 边长 圆柱侧面积底面周长 高圆柱侧面积底面周长 高 教师：同学们，当圆柱的底面周长和高的长度不同时，我们 沿高把侧面展开，可以得到长方形；当圆柱的底面周长和高的长度相同时 ,我们沿高把侧面展开就可以得到正方形。通过操作和观察，我们借助长方形、正方形面积公式以及圆柱侧面和长方形、正方形的关系推导出了圆柱侧面积公式，真为大家高兴。（ 2）应用公式。 如果知道的是圆柱的底面半径和高，会求圆柱的侧面积吗？知道直径和高呢？ 3 教学例 1 （ 1）读懂例题，说说题中的条件和问题。 （ 2）解决这道题可以直接用侧面积公式吗？ （ 3）学生独立算出这个圆柱的侧面积。 三、巩固应用 1 练习七第 2题 （ 1）说说表中 3个圆柱的已知条件各是什 么。 （ 2）想一想，可以怎样求得这 3个圆柱的侧面积？ （ 3）独立求出圆柱的侧面积。 （ 4）集体订正，并请学生讲述解决问题的思考过程。 2 量一量，算出侧面积 （ 1）自己量出圆柱学具的底面直径和高，并记在作业本上。 （ 2）算出圆柱学具的侧面积。 四、全课小结，质疑（略） 评析：本课引导学生观察实际生活中常见的圆柱形物体，从中抽象出圆柱的几何特征，然后在学生建立圆柱表象的基础上，放手让学生自己去猜想、验证、推导，并掌握圆柱侧面积计算公式。其特点是以自主探索为主，充分发挥学生学习的主动性。通过教师的组织和激励，学生在经历观察、发现、质疑、分析、探索的过程中，既获得了学习方法，又增强了分析解决问题的能力，同时还体验到自主学习的乐趣。 圆锥（第 38 43 页） 1 教科书分析 本小节教科书内容主要是认识圆锥的特征、探索圆锥体积公式、应用圆锥体积公式解决生活中的实际问题等。 与圆柱一节的编写相同，教科书仍然是按实物引入、抽象图形、认识特征、探索求积公式、解决实际问题的顺序编写的。首先，教科书选取了生活中常见的尖顶帽、铅锤、谷堆 3个实物图为例，引导学生认真观察并从几个大小各异的实物中抽象出它们的几何图形 圆锥。面对圆锥这一几何图形，特别要强调的是它的高，这是圆锥与圆柱的重要区别。教科书用教师的语言介绍圆锥的高，其目的就在于引起学生的注意，从高的特点来认识圆锥，建立圆锥的表象。怎样计算圆锥的体积呢？教科书改变了过去用等底等高的圆柱、圆锥容器装沙（水）的办法，而采用如下图所示的实验方法推导圆锥的体积计算公式：首先提出圆锥体积也等于底面积乘高的猜想，接着进行实验：把等底等高的实心圆柱和实心圆锥分别没入同一个水槽的水中，再分别记录下实心圆柱和实心圆锥没入水中后水位上升的厘米数。最后根据实验发现水槽中水上升部分的体 积与圆柱、圆锥体积的关系，让学生发现圆锥没入水中后，水位上升的高度只有圆柱没入水中时水位上升高度的 13。通过这一探索活动，引导学生由圆柱体积推导出圆锥体积公式 V 13Sh。 例 1、例 2是根据不同的条件去求圆锥体积的实际问题。例 1是知道铅锤的底面半径和高，求铅锤的体积。例 2是知道煤堆底面周长和高，求煤堆体积的问题。两道例题都未直接告诉圆锥的底面积，分别要通过半径或周长去求得，这有利于学生灵活运用圆锥体积公式进行计算。不仅如此，例 2还在求出煤堆体积之基础上，增加了 “ 用载重量为 5 吨的车一次运完这堆煤，需要多少辆车 ” 的问题，既增强了问题的现实性，又有利于学生综合运用所学知识解决实际问题。本节教科书还安排了一个用等底等高的圆柱、圆锥形容器做装沙实验的课堂活动，本活动要求学生在已得出圆锥体积计算公式的基础上，从把沙子装满圆锥后再倒入与它等底等高的圆柱形容器过程中，清楚地看到的确要倒 3次才能把圆柱形容器装满。这一结果一方面从另一个角度再次验证了前面对圆锥体积公式的猜想，另一方面通过实验进一步加深学生对圆锥体积公式的理解。同时，还有利于培养学生的合作精神和实践能力。 练习九的习题主要是围绕应用圆锥体积计算公式而设计的 。第 1题是采用判断正误的方式让学生巩固有关圆锥的一些基础知识。第 2， 3题均是运用求体积计算公式的训练，不同之处在于 2题是求圆锥的体积， 3题是求圆锥的容积。第 4题（ 2）小题是关于由圆锥的底（或高）的变化引起它的体积变化的问题，既有利于学生加深对圆锥特征和体积的计算方法的理解，又有利于培养学生思维的灵活性。第 5至 10 题是综合应用圆柱、圆锥体积计算公式方面的练习。第 6题是等积变形后，知道圆锥的体积和底面积，求高是多少，是公式的逆用；第7 题是运用圆柱体积公式求木材体积后再计算其质量；第 8题是有关圆柱、圆锥组合图形求体积的问题；第 9题将圆柱、圆锥体积计算和分数问题综合在一起，主要是培养学生综合运用数学知识解决问题的意识和能力。第 10题是圆锥体积计算在实际生活中的灵活应用，问题既有现实性，又有一定的思考性。 2 教学建议 本节内容可用 3课时完成教学任务。 本节教学的重点是圆锥特征的认识和体积计算公式的探索。教学时可采用与认识圆柱相同的方法，即引导学生借助对生活中常见圆锥形物体 尖顶帽、铅锤、谷堆等的观察，逐一抽象出圆锥的几何特征，在此基础上对照第 38页中圆锥的几何图形，认识各部分名称，建立高的概念，同时 还要把圆锥的高和圆柱的高进行比较，从中发现它们的异同。当学生初步建立起圆锥的概念后，教师要引导学生通过找生活中的圆锥形物体和指出几何图形中的圆锥等方式强化学生对圆锥的认识，建立圆锥的概念。探索圆锥体积计算公式时，要特别重视学生的实验操作，教师要加强对学生实验的指导。引导学生就实心的圆柱、圆锥是否等底等高；水槽中水的高度原来是多少厘米；实心圆锥、圆柱分别完全没入水中后，水位各上升了多少厘米等问题展开讨论。在讨论的基础上根据水槽中的水两次不同的上升高度，去发现等底等高的圆锥和圆柱之间的关系，从而由圆柱的体积公式 概括出圆锥的体积公式。这一过程中，要注意运用等积变形的思想引导学生明确两个问题：一是水槽中上升部分的水的体积就是完全没入水中的实心圆锥（或圆柱）的体积；二是由于是同一个水槽中的水，所以底面的大小是相同的，而体积是由底面积乘高求得。教学例 1时，可先让学生自己说一说铅锤是什么形状，怎样计算它的体积，然后独立地运用圆锥体积公式计算出铅锤的体积。 教学例 2时，首先让学生看图以增强实感，了解这样的煤堆是一个近似圆锥形，知道运用圆锥的求积公式可以求到它的体积。已知底面周长求底面积是学生已有的知识，教师只需提示学 生注意一下题中的条件即可。其次是解决 “ 这堆煤用载重 5吨的车来一次运完，需几辆车 ” 的问题，它涉及量的包含，教学时要注意指导学生理清解决问题的思路，会进行正确地分析，提高综合应用知识解决实际问题的能力。本节教科书中的课堂活动非常强调自主操作，让学生在自主操作的过程中去进一步认识圆锥体积与等底等高圆柱体积之间的关系，进而理解并掌握圆锥的体积公式。这个课堂活动可以让学生自主进行，用等底等高的圆锥、圆柱容器装沙子（或水）的时候，注意让每个学生都在实验中观察到把圆锥容器装满的沙子（或水），倒入和它等底等高的圆柱形容器中 ，不多不少正好倒 3次就把圆柱形容器装满。然后再组织学生在小组内进行讨论和交流，尽可能让每个学生都说说自己从实验中发现了什么。最后再推出各组代表在全班交流自己小组做实验后得到的结果，即圆柱体积用 “ 底面积乘高 ” 来计算，而与它等底等高的圆锥体积只有它的体积的 13（倒 3次才装满，倒 1次就只有 13），所以圆锥的体积是同它等底等高圆柱体积的 13。教师要认真倾听学生的讨论和交流，关注他们在实验进行中的发现，对表述有条理的学生都应予以充分的肯定，使其从中获得成功的体验，以增强其学好数学的自信心。 关于练习九中一些习 题的教学建议。本练习主要围绕圆锥体积公式的应用安排训练。第 1题（ 3）小题可启发学生想一想，怎样说才对。若学生说出削去部分的体积是圆柱体积的23 时，教师可以让学生说明为什么，从中让学生们明确把一个圆柱削成最大的圆锥，这个最大的圆锥一定与该圆柱等底等高。因为削成的圆锥体积是这个圆柱体积的 13，那么削去部分的体积则一定是圆柱体积的 23了。第 2题可让学生计算完 3个图形的体积后，比较一下 3个图在计算中的区别，得出同样是算底面（圆）积，由于给的条件（一个是半径，另两个是直径）不同，所以在算法上就有区别。第 4题中第（ 2） 小题第 1空可应用积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也扩大（或缩小）几倍加以认识。第 2空则要引导学生去认真辨析底面积扩大 2倍与底面半径扩大 2倍是完全不同的两个概念，最好能让学生通过具体的计算加以区别。第 6题教学时抓住重点，铸成的圆锥形零件的体积圆柱形钢件的体积，建议学生找到相等关系后，最好用方程去解决问题。第 8 题是求圆锥、圆柱的体积和，有一定的综合性。在独立解答之前，教师可以安排学生交流一下这题准备怎样解，听听学生对题意的理解，再根据学情进行指导。关键要让学生明白圆锥、圆柱的高是不 相同的，但它们的底却是相同的。第 9题重点明白 “ 圆锥的容积只有圆柱的 27” 的含义。教学第10 题时，先让学生明白麦麸堆是一个 14的圆锥，然后运用圆锥体积计算公式进行计算。必要时可让学生课外做在墙角堆沙的实验，让他们在操作中探索问题解决的办法。由于本题是星号题，并不要求全体同学都理解和掌握，教学时注意把握好这个度。 3 教学案例 圆锥的体积（教学片断） 教学内容： 教科书第 39 至 40页例题 1。 教学过程： 一、分组实验 教师：每组都备有相同的实验材料，即实心圆锥和圆柱各一个，一个装有水的玻璃缸，请同学们 6人一组，分 好工，按要求进行实验。 实验开始。黑板（或屏幕）上出示要求： （ 1）圆柱和圆锥有没有相等的地方？ （ 2）实验前先量出并记下玻璃缸中水位的高度是多少厘米。 （ 3）分别把实心圆锥和圆柱投入水中，再记下它们各自没入水中后水位的高度。 （ 4）议一议，发现了什么？ 二、汇报交流 教师：按照要求我们分小组进行了实验和议论，现在请各组代表上台进行汇报交流。 学生：我们组的圆锥和圆柱有两个地方是相等的（边说边比较），它们的底面相等，高也相等。 学生：玻璃缸中的水位原来是 15 cm，当把这个实心圆锥没入水中后，水位上升了 1 cm；再换成把这个实心圆柱没入水中后，水位上升了 3 cm。 学生：我们发现圆柱没入水中后水位上升的高度刚好是圆锥没入水中时水位上升高度的 3倍。 学生：我们实验得到的结果和他们是一样的。 教师：既然大家得到相同的结果，就说明这个圆锥和圆柱之间有联系，到底是什么联系，谁能说清楚？ 三、推导圆锥体积计算公式 学生：我们做实验用的圆柱和圆锥的底面和高都分别相等，把它们分别没入水中，圆柱体积要大些，水位上升肯定要高一些。 教师：当圆锥或圆柱没入水中后，水为什么要上升？说明水上升部分的体积和谁有关？两次水位上升的高度之 间有没有规律？有什么规律？ 学生：我知道，乌鸦喝水的故事就告诉我们物体占了水的空间，水就会升高，这说明水上升部分的体积和没入的圆锥或圆柱有关。 学生：没入圆锥时，水上升部分就是圆锥的体积。 学生：没入圆柱时，水上升部分就是圆柱的体积。 学生：我明白了，这个圆柱的体积是这个圆锥体积的 3倍，因为没入圆柱时水的上升高度正好是没入圆锥时水上升高度的 3倍。 学生：那圆锥的体积只有这个圆柱体积的 13了。 教师：是不是任何一个圆锥和圆柱之间都有这种规律？ 学生：不是，只有当圆锥和圆柱的底面相等、高也相等时才有这种规律。 教师：圆柱的体积公式我们已知道了，通过实验和刚才的讨论，圆锥的体积公式能推导出了吗？ 学生：圆柱的体积公式是底面积 高，通过实验我们知道和圆柱等底等高的圆锥体积只有圆柱体积的 13，那么，圆锥的体积公式是 13 底面积 高。 教师板书：圆锥的体积 13 底面积 高 教师：你能用字母把上面的公式表示出来吗？ 评析 :本教学片断的设计有两个特点： 重视学生的操作活动。全体学生都参与用等底等高的实心圆柱、圆锥做没入同一缸水中的实验，利于学生发现其中的联系； 发挥学生的主动性，让学生在自主探索、合作交流中推导 出圆锥体积公式，培养学生的探索精神和概括能力。 整理与复习（第 44 47页） 1 教科书分析 本节教科书包括整理与复习、练习十及数学文化 “ 古老的几何 ” 等内容。 根据教学内容的特点和学生的认知水平，教科书采用以习题为主的形式来引导学生对本单元知识进行整理。首先用说一说的形式，对知识进行整理，重点复习圆柱、圆锥的有关概念。教科书以圆柱、圆锥各有什么特点为切入点，唤起学生的记忆，引导学生头脑里重现圆柱、圆锥的表象，复习和区别这两种立体图形的特点，加深对其特征的认识。其次通过算一算的过程，有针对性 地复习圆柱表面积和圆柱、圆锥体积的计算。第（ 1）题求圆柱的表面积和体积。已知条件是底面周长和高，这一条件对于求表面积是直接的，但求体积却是间接的。第（ 2）题是求圆锥的体积，已知条件既有底面直径和高，又有底面半径和高。如何合理地利用已知条件计算圆柱圆锥的表面积或体积是要引导学生解决的主要问题。 练习十安排了 10 道题，其中包括 1道思考题。整个练习围绕圆柱、圆锥的表面积、体积、容积的计算来进行。通过练习巩固所学知识，其重点是提高学生综合运用这些知识分析解决问题的能力。练习十第 3题将容积、百分数、平均数等基 础知识融为一体，综合性较强；第 5题可通过问题的解决让学生了解有关卫生与健康的基本常识；第 6题贴近学生生活，特别是男孩子对陀螺非常感兴趣，计算它的体积实际上是对求圆柱、圆锥体积方法的综合应用；第 7题是对圆柱侧面积的巩固和应用，为便于学生理解，还配上了情景图；第 8题是运用等积变形思想方法解决实际问题，同时也是圆锥体积公式的逆运用；第 9题让学生懂得水在水管中流动时，怎样去计算其体积，体现圆柱、长方体体积计算在生活中的应用。思考题解决怎样巧用公式求圆柱体积的问题。这里运用了知识的迁移：把 “ 两个完全相同的梯形可拼成一 个平行四边形 ” 的知识迁移到把 “ 两个都有这样斜面的相同的柱子拼成一个直圆柱 ”上，使学生获得解决这类问题的基本策略。 2教学建议 本节教学内容可用 2课时完成教学任务。 在整理与复习教学时，一要注意引导学生通过独立回忆和小组交流相结合的形式对本单元所学知识进行梳理。二要引导学生从总体上了解本单元认识的圆柱、圆锥各自的特点，以及如何计算圆柱表面积和圆柱、圆锥体积（容积）等内容。 教科书第 44 页的 “ 说一说 ” 仅提供了一个整理知识的线索，结合学生的实际，教师既可以让学生独立回忆，也可以采取让学生 分组的形式进行知识整理。先让学生想一想、议一议本单元学习的主要内容有哪些，自己是如何获得这些知识的，让学生在整理的过程中，理清知识要点和知识间的联系，这样既体现了对知识的整理，又体现了对学习方法的运用，还可以鼓励学生展示不同的整理方法，在全班进行交流，对其整理的结果进行自评和互评，达到共同提高的目的。 教科书第 44 页的 “ 算一算 ” 可由学生独立算出结果，在此基础上让学生交流自己的算法以及为什么要这样算的想法。重点是两个方面：一是同样在算底面积，为什么用的方法却不同？二是求圆锥的体积时，为什么要乘 13。教 师应参与并引导这种交流，让学生在交流中加深对知识的理解。 关于练习十中部分习题的教学建议。 教学第 2题时，教师可有意识地引导学生将求表面积和体积的两种算法进行对照，让学生认识到两者从概念、算法到结果都是完全不相同的。 第 3题有一定综合性，要让学生弄清楚壶中 40%的水是指的 900 mL 的 40%，教学时可让学生在理解题意的基础上独立完成再进行交流，然后师生再共同提炼出本题所涉及的容积、百分数、平均数等几个方面的知识，以此突出数学知识的综合应用。 第 5题可让学生独立解答，有关单位换 算的问题可引导学生进行交流、订正。完成本题后，教师可以就本题的内容和学生共同学习了解卫生健康方面的常识，既知道人每天的正常饮水量，又知道这 1 L 水大约是多少，同时还可以逐步培养学生养成正常饮水的卫生习惯。第 6 题是圆柱、圆锥体积计算方法的灵活应用。教学时可充分利用图画中的陀螺图或实物让学生直观感知其形状特点，知道陀螺是由圆柱和圆锥两部分组成后，就可以让学生独立完成习题。 第 7题是为复习圆柱侧面积而安排的一个生活中的现实问题。教学时，教师可以充分利用情景图，引导学生想象并讨论压路机的前轮滚动一周压出的路 面是什么形状，这个形状与压路机的前轮有什么关系。让学生在边看图、边讨论的过程中基本明确：压路机的前轮是个圆柱，滚动一周压出的路面是一个长方形，这个长方形实质上就等同于压路机前轮的侧面积。 教学第 8题时，可先鼓励学生选择自己认为比较好的方法去解答，再让学生介绍自己的解题方法，尽可能地为学生交流自己的算法提供足够的时间和空间。 教学第 9题时，着重要帮助学生理解每分钟流出的水的体积就是直径 24 cm，长 100 m的圆柱形水管内所装水的体积。本题是星号题，可根据学生的实际进行选择性教学。思考题要计算 的柱子是用情景图的形式出现的。这个柱子和本单元所认识的圆柱的不同之处在于它有一个底面是斜面，不能直接用公式求其体积。 教学时要注意：一是让学生自主探索解决问题的办法，以此突出其思考性；二是组织学生参与讨论和交流，引导学生运用转化的数学思想方法把两个都有这样斜面的相同的柱子拼成一个直圆柱，再利用圆柱体积计算公式计算出其体积 ；三是本题仅供学有余力的学生选用，不作统一要求。 第三单元：正比例和反比例 （一）教学目标 1掌握比例的意义和基本性质，会运用比例的基本性质解比例。 2正确理解正比例和反比例的 意义，能正确判断成正比例的量和成反比例的量。 3初步认识正比例图像，能在有坐标系的方格纸上画出正比例图像。 4能运用正、反比例知识解决生活中的简单实际问题，培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。 5经历探索比例的意义和基本性质、正比例和反比例意义及其应用的学习过程，了解正、反比例知识的形成过程，体会正、反比例知识与生活的联系。 6在学习中体会具有正比例关系和反比例关系的两种量之间的联系，进行辩证唯物主义观点的启蒙教育。 （二）教科书说明 本单元教科书包括比例的意义和基本性质、正比例和反 比例的意义及其应用，这是本册教科书的重点内容之一。 全单元教科书除主题图外，安排了比例、正比例、反比例、整理和复习四个小节。第一节根据主题图所引出的内容，集中介绍比例的意义和比例的基本性质，并运用基本性质解比例；第二节主要介绍正比例，其内容包括正比例的意义、成正比例量的判断、正比例图像和应用正比例知识解决问题等；第三节主要介绍反比例，内容包括反比例的意义、成反比例量的判断、应用反比例知识解决生活中的问题等；第四节是对全单元知识的系统整理和复习。 本单元教科书在其内容的编写上具有以下主要特点： 1创设活动情景引出新知识比例对小学生来说是一种全新的知识，为了让学生更好地理解比例的意义，教科书根据比例在现实生活中的背景，创设了如下情景图。 图中 3 组同学在同一时刻测量旗杆、竹竿、米尺影子长度，根据比例利用旗杆影子的长度计算旗杆的高度。这一情景图不仅为后面探索比例的意义和基本性质提供了素材，更重要的是表明了研究比例的现实意义，使学生感受到比例的重要价值。同时，活动过程还体现了转化的数学思想，让学生在学习中感受到我们虽然不能直接测量竖立的旗杆的高度，但是我们可以利用比例知识通过测量其影子的长度而 算出旗杆的高度，这实际上也是让学生获得一种解决问题的策略。情景图为学生学习什么是比例和理解为什么要学习比例创设了很好的条件，有利于激发学生学习比例的兴趣和心理需要。 2联系生活实际揭示正、反比例的意义正比例和反比例的意义是判断两种相关联的量是成正比例的量还是成反比例的量，运用正、反比例关系解决问题的依据和基础，是全单元学习的重点。 为了让学生更好地理解正、反比例的意义，教科书充分利用生活中的素材引出正比例和反比例的概念。在正比例内容的编写中教科书利用小区缴水费的事例，通过揭示用水的吨数和水费金额 之间的对应关系，让学生从中发现水费随用水量的变化而变化，并且水费和用水量的比的比值始终是相等的规律，直观地引出正比例的意义。随后教科书又安排了以缴水费的事例为依据总结正比例概念的讨论，学生在讨论中总结三方面的内容：用水量和水费、时间和路程分别是两种相关联的量；一种量扩大或缩小若干倍，另一种量也随着扩大或缩小相同的倍数；水费和用水量中相对应的两个数的比的比值总是一定的。这三条从根本上概括出了正比例概念的本质属性，教科书把学生对这种本质属性的理解同生活经验密切联系起来，这在一定程度上可以降低学生理解的难度 ，让学生更好地理解什么样的两种量是成正比例的量。对于反比例的意义，教科书利用 60 名游客分组游览的事例呈现其内容，并且采用与正比例基本相同的方式进行编排，同样让学生联系生活实际理解反比例的意义。由此不难看出，联系生活实际充分利用生活经验呈现新的知识内容，这是本单元教科书编写的一大特点。教科书的这一编写特点，充分体现了新课标关于“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义”的基本理念。 3强调学生的探究发现根据六年级学生的年龄特点和认识水平，本单元教科书在其内容的编写上十分重视学生的探究发现，给学生的自主探究 留下了很大的空间。 一些重要的结论教科书都没有将结果写出来，而是让学生通过自主探索和合作交流等方式去概括出来。在比例一小节，对于比例的意义教科书先让学生观察有关竹竿长和影子长的表格，通过问题“观察上表，你发现了什么”的提示让学生自己去探究得出比例的意义，比例的基本性质也主要是由学生自己的探究发现而得出的。正比例一节，教科书给学生也留下了自主探索的空间。首先是正比例的意义，教科书让学生根据两个具体事例通过讨论交流，从三个方面得出概念的内涵。其次，正比例图像教科书不仅让学生在方格纸上作图，同时还通过问题 “观察上图，你发现了什么？”向学生提出探究任务，让学生根据其图像去探究正比例中两个相关联的量的变化趋势。反比例内容，教科书更是主要由学生自己去探索发现，什么是反比例、反比例中两种量之间的变化规律、寻找生活中成反比例的量等问题教科书基本上都留给了学生，让他们主动地去获得。就连整理与复习中的大量内容教科书也