材料力学第05章(弯曲内力)-06 (2)

51 弯曲的概念和实例 52 受弯杆件的简化 53 剪力和弯矩 54 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 55 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 56 平面曲杆的内力图 第五章 弯曲内力 一、弯曲的概念 受力特点 ： 杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。 梁：以 弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。 51 弯曲的概念和实例 变形特点 ：轴线变成了曲线。 F 工程实例 工程实例 纵向对称面 轴线 C 二、平面 弯曲的概念 梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线 。 F1 F2 非对称弯曲 若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。 下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。 C 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化 52 受弯杆件的简化 取梁的轴线来代替梁 F a l A B F a l A B (1)固定铰支座 2个约束， 1个自由度。 (2)可动铰支座 1个约束， 2个自由度。 2. 支座简化 (3)固定端 Fx Fy M 3个约束， 0个自由度。 固定铰 可动铰 固定铰 可动铰 固定端 3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 (2)外伸梁 (3)悬臂梁 F A B q F F A B F 4. 载荷的简化 M q F A B 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全 部支反力。 F A B q F A B F F A B q A B F 已知： F， a， l。 解 ： (1)求支座反力 53 剪力和弯矩 0 , 0 Axx FFlFaFM BA , 0lFbFMAyB , 0求：距 A 端 x处截面上内力。 F A B FAy FAx FB F a l A B b x FB F A FAy C （ 2）求内力 截面法 剪力 FS 弯矩 M FS M M FS AyFF S 取左段： A B F FB x m m FAy , 0yFxFM Ay , 0CMlFb0 MxF AyxlFb 0 S FF Ay内力的正负规定 （ 1） 剪力 FS: 左上右下为正 ；反之为负。 + 左上右下为正 FS FS + FS FS FS FS （ 2） 弯矩 M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。 M M (+) 左顺右逆为正 可以装水为正 M M M M (+) M M () （ 2） 弯矩 M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。 M M (+) 左顺右逆为正 可以装水为正 M M M M (+) M M () M M 求 D截面上的内力。 , 0 yF解： , 0 BMFA 截面法求 D截面 内力： , 023 2 qaaF A qaF A 32 , 02 qaFF BA, 34 qaF B MD 例 2 取左段： FS FA a a q A q B D a C a a FB , 0 OM F y , 0, 0S FqaF A, 0 OM F y , 02212 qaaFMA qaFF A Sqaqa 32, 0212 2 MqaaF A221232 qaaqa 剪力 =截面左侧所有外力在 y轴上投影代数之和，向上为正。 弯矩 =截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。 qa31265 qaMD FS FA a a q (P117) 例 3 求 1-1、 2-2截面上的内力。 A e221 MqaaFM qaFF S qaqa 22 221 qaqaaqa FS M q F=qa Me=2qa2 解： 1-1截面 qa2221 qaB a q a 2 2 1 C 1 F=qa Me=2qa2 e232 MaqaaFM qaFF S qaqaqa 222 2232 qaqaaqa 223 qa2-2截面 FS M q F=qa Me=2qa2 A B a q a 2 2 1 C 1 F=qa Me=2qa2 54 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 求 x截面上的内力。 解： qxF S22xqM FS= FS(x) 剪力方程 ) ( x M M 弯矩方程 FS x ql 22qlM 0M0x， lx， l x M x 22ql ,0S F, S qlF A B F a C l b 例 5.4（ P77） 建立梁的内力方程并画出内力图。 FA FB x1 x2 解 :(1)求支座反力 FlbF A FlaF B (2)写出内力方程 AFxF )( 1S11 )( xFxM AFFxF A )( 2S)()( 22 xlFxM B AC段： CB段： 1FxlbFFlb Fl lb )( 2xlFla Fla FlbFlbxF )( 1SFS x M x + FlbFla(3)根据方程画内力图 FlaxF )( 2S A B F a C l b FA FB x1 x2 M x FS x + FlbFla)( 1xM1Fxlb)( 2xM )(2xlFla lFab+ 0MlF a bM , 01 x, 1 ax 0MlF a bM , 2 ax , 2 lx A B F a C l b FA FB x1 x2 FlbxF )( 1S(3)根据方程画内力图 FlaxF )( 2S (4)内力图特征 在集中力作用的地方，剪力图有突变，外力 F向下， 剪力 图向下变，变化值 =F 值；弯矩图有折角。 + FlbFla+ lFabA B F a C l b FA FB x1 x2 例 6 建立梁的内力方程并画出内力图。 x1 x2 解： (1)求支座反力 lMFAelMFBe(2)写出内力方程 AS FxF )( 111 )( xFxM ABS FxF )( 2)()( 22 xlFxM B AC段： CB段： 1e xlMlM e)( 2e xllM A B Me a C l b lM eFA FB lMxF e1S )( )( 2S xFlMex M x lMe+ FS (3)根据方程画内力图 x1 x2 A B Me a C l b FA FB M x )( 1xM1e xlM)( 2xM )( 2e xllM eMla+ eMlbx lMe+ FS 0MeMlaM , 01 x, 1 ax 0Me MlbM , 2 ax , 2 lx x1 x2 A B Me a C l b FA FB lMxF e1S )( )( 2S xFlMe(3)根据方程画内力图 (4)内力图特征 在集中力偶作用的地方，剪力图无突变；弯矩图有突变，Me逆时针转， 弯矩图向负方向变，变化值 =Me值。 eMlaeMlbM图 lMe+ FS图 + x1 x2 A B Me a C l b FA FB A B q a 例 5.3 （ P76） 建立梁的内力方程并画出内力图。 FA FB 解： (1)求支座反力 AF BF(2)写出内力方程 qxFxF A )(SxFxM A)(qxqa 222121 qxq a x 221 qx2qax x 2qaFS )(S xFqxqa 2+ 2qa（ 3）根据方程画内力图 2SqaF , 0x2 SqaF , ax FA FB A B a x q M x x 2qaFS + 2qa82qa)( xM22121 qxq a x + 2a0M0M, 0x, ax 8 2qaM , 2ax )(S xFqxqa 2（ 3）根据方程画内力图 2SqaF , 0x2 SqaF , ax FA FB A B a x q M x (4)内力图特征 在均布力作用的梁段上，剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线，均布力向下作用，抛物线开口向负方向。 抛物线的极值在剪力为零的截面上。 M图 2qaFS图 + 2qa82qa+ 2aA B a x q B 2a a A q C 2qaF 例 8 建立梁的内力方程并画出内力图。 x1 x2 解： (1)写出内力方程 FxF )( 1S11 )( FxxM 222 )(2121 axqqax )()( 22S axqFxF 2222 )(21)( axqFxxM )(2 2axqqa 121 qax2qax 23qaFS 2qa(2)根据方程画内力图 2)( 1SqaxF )(2)( 22S axqqaxF + , 2 ax , 32 ax M x B 2a a A q C 2qaF x1 x2 2SqaF 23 SqaF M x x 23qaFS 2qa + 11 21)( qaxxM 222 )(2121 axqqax )( 2xM22qa22qa0, 01 Mx2 , 21qaMax 2 , 22qaMax 2 , 322qaMax 二次抛物线的升降，开口方向，极值点 B 2a a A q C 2qaF x1 x2 x x 23qaFS 2qa + 222 )(2121 axqqax )( 2xM22d)(dxxM )( 2 2 axqqa )( 2S xF极值点： 0)( 2S xF令0 )( 2 2 axqqa即 ： 得： ax 230 23a20 85 qaM 85 2qa+ B 2a a A q C 2qaF x1 x2 M 22qa22qa一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系 取一微段 dx， 进行平衡分析。 , 0 yF)(dd)( S xFxxq q(x) q(x) M(x)+d M(x) FS(x)+dFS (x) FS(x) M(x) dx A xqxxFdd S剪力的导数等于该点处荷载集度的大小。 55 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 dx x )(S xF xxq d)( )(d)( SS xFxF 0, 0 AM)(d )(d S xFx xM 弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。 )(d )(d 22xqx xM 弯矩与荷载集度的关系。 忽略高阶微量 22d)(dxxM )(xqq(x) M(x)+d M(x) FS(x)+dFS (x) FS(x) M(x) dx A xxFd)(d SxxF )d(S 2) ( d(21 xxq )( xM )(d)( xMxM 0xxF )d(S 0)(d xM)(d )(d S xFx xM )(d )(d 22xqx xM xqxxFdd S 1、若 q=0，则 FS=常数， M是斜直线； 2、若 q=常数，则 FS是斜直线 ，M为二次抛物线； 3、 M的极值发生在 FS=0的截面上。 二、剪力、弯矩与外力间的关系 外力 无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶 q=0 q0 q0 FS FS0 x 斜直线 增函数 x FS x FS 降函数 x FS C FS1 FS2 FS1FS2=F 向下突变 x FS C 无变化 斜直线 x M 增函数 x M 降函数 曲线 x M 有折角 向下突变 mMM 12 M x M2 M1 C F x M )(d )(d S xFx xM 4、将微分关系转为积分关系 baab xxqFF )d(SSxxFxM d)()(d S ba xxFxMbMaM)d()(d S baab xxFMM )d(S的面积区间上 SFab)(d)(d SxqxxFxxqxF d)()(d S ba xxqxFFF )d()(dSbSa S的面积区间上 qab的面积区间上 SFabMM ab 的面积区间上 qabFF ab SS简易作图法 : 利用内力和外力的关系及 特殊点 的内力值来作 图的方法。 例 4 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。 解 : 特殊点 :端点、分区点（外力变化点）和驻点等。 a a qa q A C B FS x 223 qaqa2 qa x M 根据 及 FS图和 M图的特征作