高考数学总复习 97用向量方法证明平行与垂直 理 新人教B版.doc

9-7用向量方法证明平行与垂直(理)基础巩固强化1.已知正方体abcda1b1c1d1中，e为侧面bcc1b1的中心若zxy，则xyz的值为()a1b. c2d.答案c解析.xyz12.2(2012银川质检)若直线l1、l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()al1l2 bl1l2cl1与l2相交但不垂直 d以上均不正确答案b解析ab2(6)49(4)60，ab，l1l2.3已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于a，点e、f分别是bc、ad的中点，则的值为()aa2 b.a2c.a2 d.a2答案c解析()()(a2cos60a2cos60)a2.故选c.4已知二面角l的大小为60，点b、c在棱l上，a，d，abl，cdl，ab2，bc1，cd3，则ad的长为()a. b. c2 d2答案c解析由条件知|2，|1，|3，120，|2|2|2|2222419223cos1208，|2.5平面经过三点a(1,0,1)、b(1,1,2)，c(2，1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()a. b(6，2，2)c(4,2,2) d(1,1,4)答案d解析设平面的法向量为n，则n，n，n，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选d.6二面角的棱上有a、b两点，直线ac、bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为()a150 b45 c60 d120答案c解析由条件知，0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，11696cos，(2)2，cos，120，所以二面角的大小为60.7.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e、f分别是棱bc、dd1上的点，如果b1e平面abf，则ce与df的和的值为_答案1解析以d1为原点，直线d1a1、d1c1、d1d为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,1)，b(1,1,1)，b1(1,1,0)，设dft，cek，则d1f1t，f(0,0,1t)，e(k,1,1)，要使b1e平面abf，易知abb1e，故只要b1eaf即可，(1,0，t)，(k1,0,1)，1kt0，kt1，即cedf1.8(2012河南六市联考)如图，在平行四边形abcd中，0,2224，若将其沿bd折成直二面角abdc，则三棱锥abcd的外接球的体积为_答案解析因为abbd，二面角abdc是直二面角，所以ab平面bcd，abbc，addc.故abc，adc均为直角三角形取ac的中点m，则mamcmdmb，故点m即为三棱锥abcd的外接球的球心由222422224，ac2，r1.故所求球的体积为v.9(2012厦门质检)已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为_答案解析|a|3，|b|3，ab22(1)2214，cosa，b，sina，b，s平行四边形|a|b|sina，b.10.(2012天津调研)如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，pb与底面所成的角为45，底面abcd为直角梯形，abcbad90，pabcad1.(1)求证：平面pac平面pcd；(2)在棱pd上是否存在一点e，使ce平面pab？若存在，请确定e点的位置；若不存在，请说明理由解析(1)证明：pa平面abcd，pb与平面abcd所成的角为pba45.ab1，由abcbad90，易得cdac，accd.又pacd，paaca，cd平面pac，又cd平面pcd，平面pac平面pcd.(2)分别以ab、ad、ap为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系p(0,0,1)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，设e(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0(0,2,0)是平面pab的法向量，又(1，y1，z)，ce平面pab.(1，y1，z)(0,2,0)0，y1.将y1代入，得z.e是pd的中点，存在e点使ce平面pab，此时e为pd的中点.能力拓展提升11.直三棱柱abcabc中，acbcaa，acb90，d、e分别为ab、bb的中点求证：cead.证明设a，b，c，根据题意，|a|b|c|，且abbcca0，bc，()()cba.c2b20.，即cead.12在棱长为1的正方体ac1中，o1为b1d1的中点求证：(1)b1d平面acd1；(2)bo1平面acd1.证明建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，则b(1,0,0)，o1(，1)，d1(0,1,1)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，b1(1,0,1)，(1,1，1)，(0,1,1)，(1,1,0)，(，1)(1)0，0，与不共线，平面acd1，b1d平面acd1.(2)0，平面acd1.又bo1平面acd1，bo1平面acd1.点评第(2)问还可以通过证明(其中o为ac中点)证明13.如图，平面pac平面abc，abc是以ac为斜边的等腰直角三角形，e、f、o分别为pa，pb，ac的中点，ac16，papc10.(1)设g是oc的中点，证明fg平面boe；(2)证明在abo内存在一点m，使fm平面boe.证明(1)如图，连接op，以点o为坐标原点，分别以ob、oc、op所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系oxyz，由条件知，oaoc8，po6，ob8，则o(0,0,0)，a(0，8,0)，b(8,0,0)，c(0,8,0)，p(0,0,6)，e(0，4,3)，f(4,0,3)，g(0,4,0)因为(8,0,0)，(0，4,3)，所以平面boe的法向量n(0,3,4)，由(4,4，3)，得n0.又直线fg不在平面boe内，所以fg平面boe.(2)设点m的坐标为(x0，y0,0)，则(x04，y0，3)要使fm平面boe，只需n，因此x04，y0，即点m的坐标是(4，0)在平面直角坐标系xoy中，aob的内部区域可表示为不等式组经检验，点m的坐标满足上述不等式组，所以在aob内存在一点m，使fm平面boe.14在正三棱柱abca1b1c1中，h、f分别为ab、cc1的中点，各棱长都是4.(1)求证ch平面fa1b.(2)求证平面abb1a1平面fa1b.(3)设e为bb1上一点，试确定e的位置，使hebc1.解析在正三棱柱中，h为ab中点，chab，过h作hmab交a1b1于m，分别以直线ab、hc、hm为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则b(2,0,0)，c(0，2，0)，f(0,2，2)，a(2,0,0)，a1(2,0,4)，c1(0，2，4)(1)证明：(0,2，0)，(2，2，2)，(2，2，2)，()，与不共线，平面fa1b，hc平面fa1b，hc平面fa1b.(2)证明：平面abb1a1的一个法向量为n1(0,2，0)，设平面fa1b的一个法向量n(x，y，z)，则令x1得n(1,0,1)，nn10，nn1，平面abb1a1平面fa1b.(3)e在bb1上，设e(2,0，t)，(t0)，则(2,0，t)，(2,2，4)，hebc1，44t0，t1，e是bb1上靠近b点的四等分点(或bebb1)15如图，已知矩形abcd，pa平面abcd，m、n、r分别是ab、pc、cd的中点求证：(1)直线ar平面pmc；(2)直线mn直线ab.证明证法1：(1)连接cm，abcd为矩形，r、m分别为ab、cd的中点，ma綊cr，amcr为平行四边形，cmar，又ar平面pmc，ar平面pmc.(2)连接mr、nr，在矩形abcd中，abad，pa平面ac，paab，ab平面pad，mrad，nrpd，平面pda平面nrm，ab平面nrm，则abmn.证法2：(1)以a为原点，ab、ad、ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设aba，adb，apc，则b(a,0,0)，d(0，b,0)，p(0,0，c)，c(a，b,0)，m、n、p分别为ab、pc、cd的中点，m(，0,0)，n(，)，r(，b,0)，(，b,0)，(，0，c)，(，b,0)，设，armc，ar平面pmc，ar平面pmc.(2)(0，)，(a,0,0)，0，mnab.1(2011绍兴月考)已知e、f、g、h分别是空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da的中点，用向量方法求证：(1)e、f、g、h四点共面；(2)bd平面efgh.证明(1)如图，()，由共面向量定理知：e、f、g、h四点共面(2)()，且e、h、b、d四点不共线，ehbd.又eh平面efgh，bd平面efgh，bd平面efgh.2.在长方体abcda1b1c1d1中，aa12ab2bc，e、f、e1分别是棱aa1，bb1，a1b1的中点求证：平面c1e1f平面cef.证明以d为原点，da、dc、dd1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设bc1，则c(0,1,0)，e(1,0,1)，c1(0,1,2)，f(1,1,1)，e1(1，2)设平面c1e1f的法向量n(x，y，z)(1，0)，(1,0,1)，即令x1，则y2，z1，n(1,2,1)设平面efc的法向量为m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，即令a1，则m(1,0,1)mn1(1)20110，平面c1e1f平面cef.3如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点证明：(1)aecd；(2)pd平面abe.证明ab、ad、ap两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设paabbc1，则p(0,0,1)(1)