2012考研数学（一、二三均适用）模拟6套

  考研数学四模拟试题及答案解析来源：（青年人考研网 /stu/tuofu/）2011 年数 2 模拟考题目及解析2011 年研究生入学考试数学模拟试题数学三模拟试题（一）一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，在每小题給出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）设 ，则当 时，20()sin21cosartnxftdgxx， 0x是 的fxg（A）等价无穷小量 （B）同阶但非等价无穷小量（C）高阶无穷小量 （D）低阶无穷小量    （2）设 具有一阶连续导数， ，则 是 在fx1sinFxfx0fFx处可导的0（A）必要但非充分条件 （B）充分但非必要条件（C）充分且必要条件 （D）既非充分也非必要条件    （3）11224yyxxdede（A） （B）83182e（C） （D）12e    （4）设 收敛，则级数1na1na（A）条件收敛 （B）绝对收敛      （C）发散 （D）敛散性不能确定1  0  0       1  0  0      1  1  0       1 -1  3  (5)设 A= 0  2  5  , B=,C= 0  1  0  ,D= -1  0  4  , 0  0  3       0  0  2      0  0  2       3  4  2   则其中不相似于对角矩阵的为                                            (A) A.          (B) B .           (C)C.          (D) D. (6) 设 A 是 54 矩阵,r( A)=4,则下列命题中错误的为                               (A) AX=0 只有零解.                   (B) AATX=0 有非零解.(C) 对任何 5 维向量 , AX=都有解.    (D) 对任何 4 维向量 ,ATX=都有无穷多解.(7) 已知随机变量 X 在1，1上服从均匀分布，YX 3，则 X 与 Y(A)不相关且相互独立               (B)不相关且相互不独立(C)相关且相互独立                 (D)相关且相互不独立    (8) 设相互独立的两随机变量 X 和 Y，其中 XB(1， )，而 Y 具有概率密度2则 的值为.,0,1他yyf 3P(A)           (B)           (C)         (D) 61 4121    二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分 ，把答案填在题中横线上。（9） 201sin()limxxtd （10）设 ，则20xtFe 32xFd （11）微分方程 的通解为22sectan1dyyxx （12）设方程 确定 ，则zyexy， 2zx (13) 设 1=(1,2,0,1)T,2 =(1,1,a,0)T,是一个齐次方程 AX=0 的基础解系, 1=(1,0,1,0)T,2=(0,1,0,2)T.已知 1+k2也是 AX=0 的解,则 a=       , k=        .(14)设随机变量 X 的密度为 .,0e5);()(xxfX1，X 2，X n是取自 X 的一个简单随机样本则参数 的极大似然估计 _三、解答题：1523 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15） （本题满分 10 分）设 ，求2limxtxcedC（16） （本题满分 10 分）设 ，  在a,b上连续， （a,b）内可导，fx()g'()0gx求证：存在 使得  ,ab()'()fafg（17） （本题满分 10 分）求通过点 的曲线方程，使曲线上任意点处的切线在 轴上的截距等于该点的横2， oy坐标的立方。（18） （本题满分 10 分）设 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，求 。xyzyfgfg， 22zxy（19） （本题满分 10 分）计算 ，其中2max,yDed(,)01,Dxyy(20)（本题满分 11 分） 设 4 阶矩阵 A=(1,2,3,4),已知齐次方程组 AX=0 的通解为 c(1,-2,1,0)T,c 任意.证明: 1,2,3线性相关.           4不能用 1,2,3线性表示. 1,2线性无关.             1,2,4线性无关.(21)（本题满分 11 分） 设 A 是 3 阶实对称矩阵, (a,1,-1)T,(1,0,c)T和(-1,b,1) T都是它的特征向量,特征值依次为 0,1,3.求 a,b,c 和 A.(22)设二维连续型随机向量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布D(x ，y)|0yx2y |求 EX：  计算P |Y0.2|X1.5(23)设随机变量 X 服从正态分布 N(0，4)，Y 服从参数 0.5 的指数分布cov(X， Y)1令 ZXaY已知 cov(X，Z)cov(Y，Z)确定 a 的值，并求 X 与 Z 的相关系数数学三模拟试题（二）一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，在每小题給出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）设 ，其中 是有界函数，则 在21cos0xfxg gxfx处：0（A）极限不存在。（B）极限存在，但不连续。（C）连续，但不可导。（D）可导。    （2）设 ，则在 处21limxaffxa（A） 的导数存在，且 。（B） 的导数不存在。f 0ffx（C） 取得极小值。（D） 取得极大值。x    （3）曲线 与 轴所围成的图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积为5sin0yx x（A） （B） （C） （D）6263128263518    （4）设线性无关的函数 都是 的解， 是任123y， ， ypxqyfx12c，意常数，则该微发方程通解是：（A）                        （B）123cy 12123cy（ ）C123+cyD+yc    (5) 已知 A 和 B 都是 n 阶矩阵,使得 E+AB 可逆则(    )成立.A) E+ABAE+AB-1=A.                (B) E+AB-1BE+AB=B.   (C) E+AB-1AE+BAA.                (D)E+AB-1AE+BA=B.    (6) 1,2,3是齐次线性方程组 AX=0 的三个不同的解，给出四个断言:  如果 1,2,3和 AX=0 的一个基础解系等价,则 1,2,3也是 AX=0 的基础解系. 如果 1,2,3是 AX=0 的一个基础解系,则 AX=0 的每个解都可以用 1,2,3线性表示,并且表示方式唯一.如果 AX=0的每个解都可以用 1,2,3线性表示,并且表示方式唯一,则 1,2,3是 AX=0的一个基础解系.如果n-r( A)=3,则 1,2,3是 AX=0的一个基础解系.其中正确的为(A).      (B).         (C).       (D).    (7) 设随机变量 X 的分布函数 F(x)只有两个间断点则(A)X 一定是离散型随机变量          (B)X 一定是连续型随机变量(C)X 一定不是离散型随机变量         (D)X 一定不是连续型随机变量    (8) 设随机变量 X 与 Y 均服从 B(1， )分布，已知 X 与 Y 的相关系数 1，21则 P(X0Y1)的值必为(A)0            (B)           (C)          (D)1421    二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填有题中横线上。（9）2013sincoslm   (1)l(xx（10） 2    xde（12）设 具有二阶连续导数，而 满足方程 ，则fusinxzfey22xzezxy     f（12）微分方程 的通解为yxde    3  3  -2（13) 3 阶实对称矩阵 A 相似于矩阵 0  2   4  ,是实数则 A2+A+E 是正定矩阵的充分必要条件是满足. 0  0  -1(14)设随机变重 ，且协方差 ，则 X 与 Y 的联合1,41YX 81),cov(Y分布为_三、解答题：1523 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15） （本题满分 10 分）确定常数 a,b,c 的值，使 30sinlim(0)(1)xbaxctd（16） （本题满分 10 分）已知 求0()1cos,xtfdx20()fdx（17） （本题满分 10 分）某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用 (万元)及报纸广告费用 （万元）之间的关系有如下经验公式：xy21543810xyy（）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略.（）若提供广告费用为 1.5 万元，求相应的最优广告策略.（18） （本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中24DIxyd02 Dxyy， ，（19） （本题满分 10 分）求幂级数 的收敛域，并求其和函数。112nnx(20)（本题满分 11 分）设 A=(1,2,3)是 53 实矩阵 ,实向量 1,2构成 ATX=0 的基础解系,证明(1,2,3,1,2)是可逆矩阵 .     1  0  2 -1 -4A=  1  2 -2 -1  0  ,求 AX=0 的单位正交基础解系.-1  1  1  1  1  (21) 设 A 是 3 阶矩阵, 1,2,3都是 3 维非零列向量,满足 A1=21, A2=22-1, A3=3,（1）证明 1,2,3线性无关 .(2) 记 P=(1,2,3),构造矩阵 B,使得 AP=PB.(3) 证明 A 不相似于对角矩阵.(4) 求 A 的特征向量.(22)（本题满分 11 分）将三个球随机地往四个盒子内投设随机变量 X 表示只有一个球的盒子数目求 X 的概率分布；求 X 与 2X 的协方差(23)（本题满分 11 分）假设总体 X 的分布密度为 .0,0,2)(lne1);( xxuxf X1，X 2，X n是从总体 X 中取出的一个简单随机样本求参数 的最大似然估计量 ；    验证 是 的无偏估计量数学一模拟试题（一）答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C C A D A D A二、填空题：（9）1                                      （10） 1682e（11） （12）2131cos2in0xycex31ze（13）a=-3,b=-1                             （14） 2三、解答题（15）证：令 21()arctncos24xfxr则 上连续， （ ）内可导，用拉氏定理存在 使()f在 1, 1,x'()1xfx而222()4'()14(1)xf 222 01()xA所以   ()0fx1（16） （）   0()(2)(xFtfd0)(2)(xtufud令(uF所以 是偶函数()x（）由于被积函数连续所以 可导，又()x00()()2()xxftdtf所以 0'()()2xFftdff()x0()tfxt单调不增， 时 时， ， 单调不()fx,0f()fx()F减（17）解：设所求的曲线方程为 ，其上任意点的坐标为 ，则该点处切yx,xy线方程为 YyX令 0XYyx 得 根据题意有 解之得32 312yx(18)解：作曲面 ，下侧，令 围成空间区域为 ，根据高斯公21:0xySz1和 S式 1323232sIxdyxdzydx222 416sin005zv于是 12 3266i55sIydxdr 12940 （19）解：收敛半径 ，收敛域 ，令1lim2nnR= 2x，则 ，112nSxx1nnxs12nsx 0l02xdtxstlnl2ln1xx， ， ，而 ，于是1lnx， 02s11 0l 222nnxx ， ， （20）解:  条件说明 n=5, n-r(A)=3, r(1,2 ,3,4 ,5)=2.并且1-22 +33,  +45 =0,-21+42        +5 =0,31-62 +23+34+35 =0.思路:从这 3 个等式求出用其中两个向量表示出另外 3 个向量的表示式,这两个向量就是极大无关组.1 -2  3  0  4       1 -2  3  0  4        1 -2  0  0 -1/2-2  4  0  0  1    0  0  6  0  9      0  0  1  0  3/2   ,3 -6  2  3  3       0  0 -1  3  0        0  0  0  1  1/21-22  -1/25=0,3+(3/2)5    =0,4+(1/2)5 =0.得到  1=22 +1/25,3=-(3/2)5,4=-(1/2)5 .2 ,5是极大无关组.（21） 解:  (1)  A=AT=2于是T=TA=(AT)T=2T得到 T=0.(2) T的秩为 1(因为 和 都不是零向量),因此 T的特征值为 0,0,  T,即全为 0.(3) 0 是 T的 n 重特征值,但是 n-r(T-0E)=n-r(T)=n-1,因此 T不相似于对角矩阵.(22)解: (1)我们应先求关于 X 的边缘密度 fX(x)为此先写出(X，Y)的联合密度(x，y )，如图区域 D 的面积 SDl，因此有 .,0,)(1),(他Dyxyxf.,0,21d,),()(20他xyxff xX即     .,0,212,)(他xxfX .1d)2(d)(1210 xxxfEXX(2)条件密度 5.,5.01)(,)|(.| yxfyyfXXY他他 .4d2.|5.1|.0 .0|2.0PY评注:1从联合密度求边缘密度时，要注意积分限的正确选取，本题对 y 积分时，对于x 的不同区间， y 的积分限不同，因此 fX(x)取非零值的表达式可能并不唯一它是一个分段函数下面计算 fX(x)的做法是错误的! .,0,2,.d)()(他xyxffX或 ., ,0,)()(2 他ffxX在解有关二维连续型随机变量的题目时，正确选择积分区间的方法是先画出联合密度f(x，y)取非零值区域 D 的平面图形2条件密度 fY|X(y|x)是在另一个随机变量 X 取定值 工时，关于 Y 的密度，本题中在xX1.5 为已知时，Y 的取值区间不再是0，1，而应该是0，0.5，这里由于 0y2x之故因此下面的结论是错误的! .,0,12)5.|(| 他yyfXY3对于 fX(x)0 的 x 值，Y 的条件密度 fX|Y(y|x)不存在，而不是零(23)解:  DX4，DY4cov(X， Z)cov (X，XaY )DXacov(X ，Y )4a，cov(Y，Z)cov(Y，XaY )：cov(X，Y)aDY 14a依题意，cov(X，Z)cov (Y，Z)，即4a14a a1DZD(X Y)DX2cov(X，Y)DY4246， cov(X， Z)4a3X 与 Z 的相关系数是   4623),cov(DZXZ评注:本题主要考查常见随机变量分布中参数的概率意义以及二维随机向量数字特征(主要是两个随机变量协方差)的性质下面公式cov(aXby ， cXdY )ac DX(adbc)cov(X，Y)十 bdDY是很有用的，D(XY )，cov(aXbY ，Z)等一些计算都是用的上述重要公式在特定系数下的情况数学一模拟试题（二）答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D C C C A D C二、填空题：（9）                                        （10）32 3（11） （12）22ln1x xeec0（13）a=2,b=1,c=-1                            （14） )1(2三、解答题：（15）解：可导必连续，所以 000()()()lim()lilim'(0)xxxggaff00''()lilixxff2()'g（用洛必达法则）0'()'1lim"(0)x g（16）解： ，sinxxfftdtfa，cocosxfxftffftda 即sinffx infxf因此 121cosincosf（17）证： ; 22'()zxfxy22'()zyfxy222222"()'()()xxyzxfyfx 22 232()'()()()f fyxx同理22 2223"'()zfyfy代入 得20,xy22'"()0fxfx因此 成立'()"fuf（18）解： 11()ln()l2()ln2()2xfxxx=   （-10lll()nn1 1）x-2（19）解：令  30()1sin(2sin)coIaxaxd则 ，42')410I得驻点  (舍去 )  由于 0，'(8（由于唯一驻点）取最小值，()1Ia在 处故所求曲线是  sinyx(0)(20)解:  (1) 设 1,2,3的特征值为 a,b,c,由于它们两两不同, 1,2,3线性无关, =1+2+3, A =a1+b2+c3, A2 = a21+b22+c23, A3 = a31+b32+c33,则                                  1 a   a2,A,A2 对 1,2,3的表示矩阵为   1 b  b2    ,其行列式为范德蒙行列式, 并且因为1 c  c2a,b,c 两两不同,值不为 0,因此 ,A,A2 无关.,A,A2,A3可以用 1,2,3线性表示,因此线性相关.(2) =1+2+3, A =1-2+23, A2 =1+2+43, A3 = 1-2+83,                            1  1  1                     1B=(,A,A2)=(1,2,3)  1 -1  1  , =A3=(1,2,3)  -1  ,1  2  4                     8   则 BX=具体写出就是1  1  1               1(1,2,3)  1 -1  1  X=(1,2,3) -1  ,1 2  4                8   由于 1,2,3线性无关,  它和1  1  1      11 -1  2   X= -1  ,1  1  4      8   同解.解此方程组得唯一解(-2,1,2) T.(21) 解:1  2 2二次型的矩阵 A=  2  a 4