自动控制原理（第2版） 第7章非线性控制系统(2)

自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院 七章 非线性系统控制 of 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 线性控制系统概述 见非线性及其对系统运动的影响 述函数法 平面法 本章中的应用 本章重点内容 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 平面的基本概念 相平面： 相轨迹： )1(5)( 时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹 。 ,由系统某变量及其导数 (如 ) 构成的用以描述系统状态的平面。 例 1 单位反馈系统 2 2 3 n)(1)( 相平面、相轨迹和相轨迹图 相轨迹图： 相平面 + 相轨迹簇 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 相平面法 轨迹的性质 00 &( , ) 00d x f x xd x x &对于线性定常系统， 原点是唯一的平衡点 (3)相轨迹的运动方向 上半平面 : 向右移动 0x0x下半平面 : 向左移动 顺时针运动 (4)相轨迹通过横轴的方向 ( , ) 00f x &(2)相轨迹的奇点 (平衡点 ) 0),( 设非线性系统方程为： 相轨迹上斜率不确定的点 (1)相轨迹的斜率 ( , )d x d x d t f x xd x d x d t x& & & ( , )d x d x d x d xx x f x xd t d x d t d x & & & & &相轨迹以 90 穿越 x 轴 ( , )d x f x xd x x&大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 绘制相 相迹 的方法有解析法和图解法两种。解析法只适用于系统微分方程比较简单的场合；对于一般非线性系统的相轨迹，宜采用图解法。 (一 )用解析法求相轨迹 用解析法绘制相迹的方法通常有两种：一种是对微分方程直接进行积分。显然，这种方法只适用于该式能用一般函数的场合。另一种方法是分别解出 后消去参变量 t，求得 二、相轨迹的绘制 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 2 设系统方程为 ， 试绘制系统的相轨迹。 02 xx n 解 n 2n 222221 22222 2 122222 椭圆方程 轨迹的绘制 解析法 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 解 例 3 系统方程 ,用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。 0 系统方程 0),( ),( ),( ),()( )( 1倾斜线方程 等倾斜线 相轨迹斜率为常数的曲线 )1( 轨迹的绘制 等倾斜线法 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 相平面法 （ 5） 116080 11 11a r c t a n 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 相轨迹求时间解 增量法 &2 &2 ( )&相轨迹 相轨迹 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 极点分布 (3) 二阶系统的相轨迹 奇点 相迹图 （演示） 中心点 稳定的 焦点 稳定的 节点 鞍 点 不稳定 的焦点 不稳定 的节点 极点分布 奇点 相迹图 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 4 设系统方程为 求系统的平衡点 判定平衡点附近 相轨迹的性质。 0)2 0 解 令 0)1(2 1021线化 0)1()1(121方程 s = 0 . 2 5 j 0 . 9 70 . 7 8s=- 1 . 2 8鞍点 线性系统的相平面分析 (1) 非本质非线性系统的相平面分析 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 5 设系统方程为 ，求系统的平衡点 并判定平衡点附近 相轨迹的性质。 0s i n 0 解 令 当 s i n)2s i n (s i n 00010122方程 11 x kx e ex s i ns i n)12( 中心点 鞍点 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 1 系统方程为 ，分析系统的自由响应。 0 解 012,1方程 稳定焦点 鞍点 0极点 开关线 (2) 本质非线性系统的相平面分析 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 2 系统方程为 ，分析系统的自由响应。 0s i g n 解 01112,12,1方程 中心点 1极点 中心点 开关线 划分不同线性区域的边界线 平衡线 （ 奇线 ） 不同区域的相轨迹相互影响而产生 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 解 21)()(22)()( 线性部分 4)I(20 e)2 22 4 )I(20 e)2 I )(22 系统如右，已知 ,确定开关线方程 ,奇点位置和 类型 ,绘制相轨迹 图。 )(14)( 0)0( , )&(3) 非线性控制系统的相平面分析 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 中心点 中心点 0s 0 e 0e I 21 s区域 运动方程 奇点 特征方程 极点 奇点性质 s 01 2e 02 2 s 01 02 I I I 23奇 点 类 型 相轨迹 )以 为中心的圆 22 为中心的圆 23 ( e 水平线 响应 )(tc 4大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 开关线方程 )()( 线性部分 非线性部分 1)I(01 I I )(01 1例 4 系统如右， ， ，分别讨论系统运动。 )(1)( )I(01 I I )(01 e在 I 区： 2 2e e C I& 抛物线方程 同理在 ： 2 2e e C 时，开关线为 ： 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 开关线 0 ( I ) 相轨迹图 0 ( 系统方程 00e2 2e e C I&2 2e e Ce周期运动 收敛到平衡点 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 非线性部分 0,1 0,1 例 5 系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。 )( 整理 21)()(线性部分 解 11 0, 0, 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 相平面法 （ 16） ( I ) 1c c & & & & 11c等倾斜线 ( I I ) 1c c & & & & 1 1cI )(11 (11- 2120112103212322 1 21 0 21 221013223 2101 3 2 2331 31312323等倾斜线 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 各类极限环 极限环 对应二阶非线性系统的周期运动 稳定的极限环 不稳定的极限环 半稳定的极限环 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 非线性部分 )I(1 ) 例 6 系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。 )( 整理 2 1)()(线性部分 解 )II(1 )I(c ) )连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 7 系统方程为 ，绘制相轨迹图； 分析系统的自由响应运动。 0s i n s i n 解 令 xx s i 值 角 11 45121 2145190041 14441144大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 值 角 11 45121 2145190041 14441144s i n 0&系统方程 1s i &等倾斜线 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 课程小结 线性现象的普遍性 型非线性特性 线性系统