江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第9章圆锥曲线

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第九章 圆锥曲线 . 2 第 51 课 椭圆 . 2 第 52 课 双曲线 . 7 第 53 课 抛物线 . 8 第 54 课 直线与圆锥曲线（）（位置关系、弦长） . 9 第 55 课 直线与圆锥曲线（）（定值、存在性问题） . 16 第 56 课 综合应用（最值、范围） . 27 - 2 - 第九章 圆锥曲线 第 51课 椭圆 （苏北四市期末） 已知椭圆 )0(12222 点 A ， 1B ， 2B ， F 依次为其左顶点、下顶点、 上顶点和右焦点若直线 2直线 1圆的右准线上， 则 椭圆的离心率为 12（扬州期末 ） 如图， A， B， C 是椭圆 M： 22 1 ( 0 )xy 上的三点，其中点 A 是椭圆的右顶点，椭圆 M 的中心，且满足 （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）若 y 轴被 外接圆所截得弦长为 9，求椭圆方程 （ 1）因为 椭圆 M 的中心，所以 22B C O C O B 又 C ， 2C ，所以 是以角 C 为直角的等腰直角三角形， 3 分 则 ( ,0) ( , )22， ( , )22， 102AB a， 所以 2222( ) ( )1，则 223，所以 222， 63e ； 7 分 （ 2） 的外接圆圆心为 点 ( , )44径为 104 a， 则 的外接圆为 2 2 25( ) ( )4 4 8y a 10 分 令 0x ， 或2，所以 ( ) 92 ，得 6a ， 所以所求的椭圆方程为 22136 12 15 分 （ 南 京 盐 城 模 拟 一 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 ， 椭 圆22: 1 ( 0 )a 的右准线方程为 4x ，右顶点为 A ，x y O l A B F P 第 17 题图 A x y C O B - 3 - 上顶点为 B ，右焦点为 F ，斜率为 2 的直线 l 经过点 A ，且点 F 到直线 l 的距离为 255 （ 1）求椭 圆 C 的标准方程； （ 2）将直线 l 绕点 A 旋转，它与椭圆 C 相交于另一点 P ， 当 B ， F ， P 三点共线时，试确定直线 l 的斜率 解：（ 1）直线 l 的方程为 2( )y x a，即 2 2 0x y a ， 右焦点 F 到直线 l 的距离为 22 2555 ， 1 又椭圆 C 右准线为 4x ，即 2 4，所以 24 将此代入上式解得 2a ， 1c ， 2 3b， 椭圆 C 的方程为 22143； 6 分 （ 2）由（ 1）知 (0, 3)B ， (1,0)F ， 直线 方程为 3 ( 1) ， 8 分 联立方程组 223 ( 1 ) ,1,43 解得8 ,5335 或 0,3（舍），即 8 3 3( , )55P ， 12 分 直线 l 的斜率330 ( )3358 225k 14 分 方法二：由（ 1）知 (0, 3)B ， (1,0)F ， 直线 方程为 3 ( 1) 由题 (2,0)A ，显然直线 直线 l 的方程为 ( 2)y k x，联立方程组 3 ( 1 ) ,( 2 ) ,k x 解得23,33 ,3 代入椭圆方程解得 332k 或 32k 又由题意知 3 03， 得 0k 或 3k ，所以 332k 方法三：由题 (2,0)A ，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ( 2)y k x，联立方程组 22( 2 ),1,43y k 得 2 2 2 24 3 1 6 1 6 1 2 0k x k x k ， 221643k ， 所以 221 6 8 624 3 4 3P ，21243P ky k 当 B ， F ， P 三点共线时，有 ， - 4 - 即 22212 334386 143 ，解得 332k 或 32k 又由题意知 3 03， 得 0k 或 3k ，所以 332k （苏锡常镇一） 在平面直角坐标系 ， 已知椭圆 C： 221( 0)的离心率为 22，且过点6(1, )2 ， 过椭圆的左顶点 A 作直线 轴 ， 点 M 为直线 l 上的 动点 ， 点 B 为 椭圆 右 顶点 ，直线 于 P （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求证： M ； （ 3）试问 M 是否 为定值？若是定值， 请求出该定值；若不是定值，请说明理由 解：（ 1）椭圆 C： 221( 0)的离心率为 22， 222， 则 222， 又 椭圆 C 过点 6(1, )2，221312 2 分 2 4a ， 2 2b ， 则椭圆 C 的方程 22142 4 分 （ 2）设直线 斜率为 k， 则直线 方程为 ( 2)y k x，设11( , )P x y， 将 ( 2)y k x代入椭圆 C 的方程 22142中并化简得： 2 2 2 2( 2 1 ) 4 8 4 0k x k x k ， 6 分 解之得 21 24221kx k ，2 2x ， 11 24( 2 ) 21ky k x k ，从而 2224 2 4( , )2 1 2 1 分 令 2x ，得 4 ， ( 2, 4 ) ， ( 2 , 4 )O M k 9 分 又 2224 2 4( 2 , )2 1 2 1 22284( , )1 2 1， 11 分 22221 6 1 6 02 1 2 1 O M ， M 13 分 （ 3） 2224 2 4( , ) ( 2 , 4 )2 1 2 1 O M k = 2 2 2228 4 1 6 8 4 42 1 2 1k k - 5 - M 为定值 4 16 分 已知椭圆 22:142=的上顶点为 A ，直线 :l y kx m=+交椭圆于 P ， Q 两点，设直线 斜率分别为1k，2k. （ 1）若 0m= 时，求12值； （ 2）若121 ，证明直线 :l y kx m=+过定点 . x y P Q l A O - 6 - （南通调研二） 如图，在平面直角坐标系 ，椭圆 2222 1 ( 0 )yx 的左顶点为 A ，右焦点为 ( 0). 00( )P x y， 为椭圆上一点，且 F . （ 1）若 3a ， 5b ，求0 （ 2）若0 0x ，求 椭圆的离心率； （ 3）求证：以 F 为圆心， 半径的圆与椭圆的 右准线 2切 . 解：（ 1）因为 3a ， 5b ，所以 2 2 2 4c a b ，即 2c ， 由 F 得 ，00 132 ，即 220 0 0 6y x x , 3 分 又 2200195， 所以 2004 9 9 0 ，解得0 34x 或0 3x (舍去 ) 5 分 （ 2）当0 0x 时 , 220 由 F 得，001 ，即 2b ，故 22a c ， 8 分 所以 2 10 ，解得 512e （负值已舍） 10 分 x y O P A F （ 第 18 题 ） - 7 - （ 3）依题意，椭圆右焦点到直线 2距离为 2a ， 且 22001， 由 F 得，00 1a x c ,即 220 0 0()y x c a x c a , 由 得， 200 2( ) 0a b a cx a ， 解得 220 2a a a c 或 0 (舍去 ). 13 分 所以 2 200P F x c y 2 20 0 0()x c x c a x c a 0 222a a a c c 2a ， 所以以 F 为圆心， 半径的圆与右准线 2切 . 16 分 （注：第（ 2）小问中，得到 椭圆右焦点到直线 2距离为 2a ，得 1 分；直接使用焦半 径公式扣 1 分） 第 52课 双曲线 已知双曲线 2241ax y的离心率为 3 ，则实数 a 的值为 8 已知双曲线 1(a 0， b 0)的渐近线方程为 y 3x，则该双曲线的 离心率为 2 双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率 e 答案 ： 53； 提示 ： 双曲线 唯一 的重要性质：焦点到渐近线的距离等于 b ；则有： 2 2 2()22a c a cb a c 22 53 2 5 0 ( 3 5 ) ( ) 0 3cc a c a c a c a e a 平时强调的重点内容啊！ 双曲线 22 12的离心率为 3 已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 13，则该双曲线的离心率为 . 103 （南京盐城模拟一） 若双曲线 2 2 2 ( 0 )x y a a 的右焦点与抛物线 2 4的焦点重合，则 a . 答案： 22 - 8 - （苏北三市调研三）已知双曲线 C 的离心率为 2，它的一个焦点是抛物线 2 8的焦点，则双曲线 C 的标准方程为 . 22 13（扬州期末） 已知双曲线 C ： 22 1 ( 0xy ， 0)b 的一条渐近线与直线 l： 3 0 垂直，且 l 的距离为 2，则 C 的标准方程为 . 2214 12（淮安宿迁摸底） 在平面直角坐标系 ，若 双曲线的渐近线方程是 2 ， 且经过点 ( 2,2) ，则该双曲线的方程是 22 14(泰州二模 )已知双曲线 2214的渐近线方程为 22，则 m 2 （南京三模） 在平面直角坐标系 ， 过双曲线 C： 1 的右焦点 F 作 x 轴 的垂线 l， 则 l 与双曲线 C 的 两条渐近线 所 围成的三角形的面积是 4 3 （苏锡常镇二模）已知双曲线 22 1 ( , 0 )xy 的离心率等于 2，它的焦点到渐近线的距离等于 1，则该双曲线的方程为 3 （金海南三校联考）在平面直角坐标系 ，若双曲线 C： 22 1 ( 0 , 0 )xy 的离心率为 10 ，则双曲线 C 的渐近线方程为 3 x （镇江期末） 若双曲线 22 1 ( 0xy ， 0)b 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的渐近线方程是 第 53课 抛物线 （南通调研一） 在平面直角坐标系 ，以直线 2 为渐近线，且经过抛物线 2 4焦点的双曲线的方程是 1 （苏州期末） 以抛物线 2 4的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为 2 的双曲线标准方程为 . 22 13 （南京盐城二模） 在平面直角坐标系 ，已知抛物线 C： 2 4的焦点为 F，定点 )0,22(A ，若射线 抛物线 C 相交于点 M，与抛物线 C 的准线相交于点 N，则 。 13 （南通调研三） 在平面直角坐标系 ，点 F 为 抛物线 y 的焦点 ，则 F 到双曲线 22 19的渐近线的距离为 - 9 - 【 答案 】 105（盐城三模） 若抛物线 2 8的焦点 F 与双曲线 2213的一个焦点重合，则 n 的值为 南师附中四校联考） 以双曲线 112422 中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为 . 2 第 54课 直线与圆锥曲线（） （位置关系、弦长） 给定椭圆 C： 1(a b 0)， 称圆 椭圆 C 的“伴随圆”已知椭圆 C 的离心率为 32 ，且经过 点 (0， 1) （ 1）求 实数 a， b 的值 ； （ 2）若过点 P(0， m)(m 0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，且 l 被椭圆 C 的伴随圆 截得的弦长为 2 2，求实数 m 的值 解： （ 1）记椭圆 C 的半焦距为 c 由题意，得 b 1， 32 ， 解得 a 2， b 1 4 分 （ 2）由（ 1）知，椭圆 C 的方程为 1，圆 方程为 5 显然直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y m，即 y m 0 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 故 方程组y m，1 （ *） 有且只有一组解 由（ *）得 (1 4k2)844 0 从而 (8 4(1 4 44) 0 化简，得 1 4 10 分 因为直线 l 被圆 5 所截得的弦长为 2 2， 所以圆心到直线 l 的距离 d 5 2 3 即 |m|1 3 14 分 由，解得 2， 9 因为 m 0，所以 m 3 16 分 - 10 - （南通调研一） 如图，在平面直角坐标系 ，1F，22 1 ( 0 )xy 的左、右焦点，顶点 B 的坐标为 0,b ，且12边长为 2 的等 边三角形 （ 1） 求椭圆的方程； （ 2） 过右焦点2l 与椭圆 相 交于 A ， C 两点，记22面积 分别为1S，2S 若122求直线 l 的 斜率 O x y B A C 2 - 11 - （南师附中四校联考） 在平面直角坐标系 ， 椭圆 C ： )0(12222 焦点 F（ 1,0），点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内，直线 圆 O： 222 相切于点 M. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求 取值范围； （ 3）若 点 Q 的纵坐标 t 的值 . （ 1）121 2 分 c=1， a=2， 3b ，椭圆方程为 13422 4 分 （ 2）设 ),(00 )20(134 02020 O P M Q F x y - 12 - 20202020 2134333 ， 6 分 212 x 8 分 1)2(41)4(41 2000 200 x， | |取值范围是（ 0,1） . 10 分 （ 3）法一： 当 x 轴时， P )23,3(， Q ),3( t 或 ),3( t ， 由 0得 32t 12 分 当 垂直于 x 轴时，设 ),(00 程为 )(00 ，即 000 圆 O 相切， 31|200 33)( 2200 002 3 220202 13 分 又 ),( 00 tk ，所以由 000000 )( 14 分 200200202)()(0020220200202)(3(22020220220220=33)433)(1()1()33(22022022202， 32t 16 分 法二：设 ),(00 直线 ， ),(00 ， M 2020002220202020 )()(3 12 分 )(33)( 220202020220220202020202022020 )(3)( 22022020 ，332020202 14 分 - 13 - 1342020 433 2020 ， 1241320202 32t 16 分 （前黄姜堰四校联考） 已知曲线1C： 22144，曲线2C： 222 1 ( 0 1 )44 C 的左顶点恰为曲线1 (1) 求 的值 ； (2) 若 曲线2 的坐标为 2(1, )2，过点 P 作直线交曲线1 直线 曲线1C 于 , 若 P 为 点， 求 直线 方程； 求四边形 面积 . 解： （ 1） 由 4 4 4 可得 12. 3 分 （ 2） (方法一 )由（ 1）可得曲线 221 :142. 由条件可知 斜率必存在，可设 线方程为 ： 2( 1 )2y k x ,1 1 2 2( , ) , ( , )A x y C x y. 联立方程222( 1 )2142y k ， 可得 2 2 2( 2 1 ) ( 2 2 4 ) 2 2 2 3 0k x k k x k k （ *） 6 分 12 2( 4 2 2 )21k 2(1, )2P 是 中点， 122 . 2( 4 2 2 ) =221 ,解得 22k . 第 17 题） - 14 - 线方程为 ： 2 2 0 . 8 分 (方法二 ) 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y C x y,由 中点为 2(1, )2P,可得1 2 1 22 , 2x x y y . 由221122142142 ， 两式相减可得1 2 1 21 2 1 212y y y yx x x x ， 6 分 2122 , 22 线方程为 ： 2 2 0 . 8 分 斜率为 22， 直线 方程为 ： 22 联立方程2222142 ， 可得 21或 21. ( 2 , 1 ) , ( 2 , 1 ). 11 分 、 分别 到直线 距离为 122 2 2 2 2 2,33 由（ *）可得 2 20， 0x或 2x ( 2 0 ) , ( 0 2 )， ， , | | 6 13 分 四边形 面积121 1 4 2| | ( ) = 6 = 422 3S A C d d 15 分 （金海南三校联考） 在平面直角坐标系 ，设椭圆 C： 22 1 ( 0 )xy 的左焦点为 F，左准线为 l， P 为椭圆上任意一点，直线 足为 Q，直线 l 交于点 A. (1)若 b=1，且 bc，直线 l 的方程为 x= 52 求椭圆 C 的方程； 是否存在点 P，使得 110若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； (2)设直线 O： y2=于 M、 N 两点，求证：直线 与圆 O 相切 . - 15 - 解： （ 1） （ i） 由题意， b 1， 52，又 所以 25c 2 0， 解得 c 2，或 c 12(舍去 ) 故 5 所求椭圆的方程为 1 3 分 （ P(m， n)，则 1，即 1 当 m 2，或 n 0 时， 均 不符合题意； 当 m 2， n 0 时，直线 斜率为 2， 直线 方程为 y 2 (x 2) 故直线 方程为 y m 2n x， Q 点的纵坐标 2n(m 2)(m 2)2 5 分 所以 | |(m 2)2 m 2) | |(m 2)2 1 m 2) | |420m 2510(m 2) | 令 110， 得 421m 27 0 ， 或 419m 23 0 7 分 由 421m 27 0，解得 m 3， m 94，又 5 m 5，所以 方程 无解 由于 192 4 4 23 0，所以 方程 无解， 故 不存在 点 P 使 110 10 分 （ 3）设 M( A( t)，则 (c， ( t) 因为 所以 0， 即 (c)( 0， 由题意 0， 所以 t y O F l P Q M N - 16 - 所以 A( 12 分 因为 ( y0， ( 所以 (y0 x0 x0 因为 M(圆 O 上 ，所以 0 15 分 即 所以直线 圆 O 相切 同理可证直线 圆 O 相切 16 分 第 55课 直线与圆锥曲线（） （定值、存在性问题） （前黄姜堰四校联考） 已知椭圆 2 2:12，点1 2 5, , ,M M B 的 6 等分点，分别过这五点作斜率为 k ( 0)k 的一组平行线，交椭圆 C 于1 2 10, , ,P P P，则 10 条直线1 2 1 0, , ,A P A P A . 132如图，在平面直角坐标系 ，离心率为 22的椭圆 :C 22 1 ( 0 )xy 的左顶点为 A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于 P ， Q 两点，直线 y 轴交于 M ， N 两 点若直线 率为 22时， 23 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）试问以 直径的圆是否经过定点（与直线 斜率无关）？请证明你的结论 N M Q A O P x y - 17 - 1） 设002( , )2P x x 直线 率为 22 时， 23， 22002( ) 32， 20 2x ，22211 3 分 22 22c a ， 2 4a ， 2 2b 椭圆 C 的标准方程为 22142 6 分 （ 2） 以 直径的圆过定点 ( 2, 0)F 设00( , )P x y，则00( , )Q x y，且 2200142，即 220024 ( 2,0)A ， 直线 程为00( 2 )2 ， 002(0, )2yM x 直线 2 )2 ， 002(0, )2yN x 9 分 以 直径的圆为000022( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) 022x y ， 即 2220 0 0220044 044x y yx y 12 分 220042 ， 22 002 20xx y ， 令 0y ， 2220 ，解得 2x ， 以 直径的圆过定点 ( 2, 0)F 16 分 （苏州期末） 如图，已知椭圆 22:11 2 4，点 B 是其下顶点，过点 B 的直线交椭圆 C 于另一点 A（ x 轴下方），且线段 中点 E 在直线 上 （ 1）求直线 方程； （ 2）若点 P 为椭圆 C 上异于 A， B 的动点，且直线 别交直线 于点 M， N，证明： B O A x y E - 18 - 解：（ 1）设点 E（ m， m），由 B（ 0， 2）得 A（ 2m， 2m+2） 代入椭圆方程得 224 ( 2 2 ) 11 2 4，即 2 2( 1) 13m m ， 解得 32m或 0m （舍） 3 分 所以 A（ 3 ， 1 ），故直线 方程为 3 6 0 6 分 （ 2）设 00( , )P x y ，则 2200112 4，即 22 00 4 3 设 ( , )x y ，由 A， P， M 三点共线，即 00( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 3 )y y x ， 又点 M 在直线 上，解得 M 点的横坐标 00003 2 ， 9 分 设 ( , )x y ，由 B， P， N 三点 共线，即 00( 2 ) ( 2 )y y x ， 点 N 在直线 上，解得 N 点的横坐标 0002 2 12 分 所以 N= 2 | 0 | 2 | 0 | = 2 | | | |=2 00003|2 0002|2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 02222 00000 0 0 0 02 6 2 6 32 | | 2 | | 2 | | 6( ) 4 233x x y x x y x x x x y x y 16 分 （淮安宿迁摸底）如图， 在平面直角坐标系 ， 已知椭圆 C : 22124 12,设00( , )R x 上的任一点，从原点 O 向圆 R ： 22008x x y y 作两条切线，分别交椭圆于点 P ， Q . （ 1） 若直线 相垂直，求圆 R 的方程； （ 2） 若直线 斜率存在，并记为1k，2k，求证：122 1 0； （ 3） 试问 22Q 是否为定 值 ？若是，求出该值；若不是，说明理由 O y P Q R - 19 - （ 1） 由圆 R 的方程知， 圆 R 的半 径的半径 22r ， 因为 直线 相垂直，且和圆 R 相切， 所以 24O R r，即 220016， 1 分 又点 R 在椭圆 C 上，所以 2200124 12， 2 分 联立 ，解得 002 2 ,2 2 3 分 所以所求圆 R 的方程为 222 2 2 2 8 4 分 （ 2） 因为直线 1y k x， 2y k x，与圆 R 相切， 所以1 0 021|221k x ,化简得 2 2 20 1 0 0 1 0( 8 ) 2 8 0x k x y k y 6 分 同理 2 2 20 2 0 0 2 0( 8 ) 2 8 0x k x y k y ， 7 分 所以12, 2 20 0 0 0( 8 ) 2 8 0x k x y k y 的两个不相等的实数根， 222 012 208442 2 8yb b a c b b a c a a x 8 分 因为点00( , )R x 上，所以 2200124 12，即 2200112 2， 所以 2012 20141282x ，即 122 1 0 10 分 （ 3） 22Q 是定 值 ，定值为 36， 11 分 理由如下： 法一： 22Q 是定 值 ，定值为 36， 11 分 当直线 ,Q 不落在坐标轴上时 ,设1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x y, (第 19 题 ) x - 20 - 联立 122,1,24 12y k 解得21 2122 11 2124 ,1224 12 分 所以 222111 212 4 (1 )12， 同理，得 2222222 4 (1 )12，由12 12， 所以 2 2 2 2 2 21 1 2 2O P O Q x y x y 13 分 22122 4 ( 1 ) 2 4 ( 1 )1 2 1 2 2211221112 4 ( 1 ( ) )2 4 ( 1 ) 2112 1 2 ( )2 212136 721236 15 分 (直线 ,Q 落在坐标轴上时 ,显然有 2236O P O Q， 综上： 2236O P O Q 16 分 法二： (i)当直线 ,Q 不落在坐标轴上时 ,设1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x y, 因为122 1 0， 所以12122 10 ,即 2 2 2 21 2 1 214y y x x ， 因为1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x 上，所以221122124 12124 12 ， 即22112211221122 ， 所以 2 2 2 21 2 1 21 1 1( 1 2 ) ( 1 2 )2 2 4x x x x ， 整理得 221224，所以 2 2 2 21 2 1 2111 2 1 2 1 222y y x x ， 所以 2236O P O Q 14 分 (直线 ,Q 落在坐标轴上时 ,显然有 2236O P O Q， 综上： 2236O P O Q 16 分 （南京盐城二模） 如图，在平面直角坐标系 ，椭圆 E： 1(a b 0) 的离心率为22 ，直y C M - 21 - 线 l： y 12x 与椭圆 E 相交于 A， B 两点， 2 5 C， D 是椭圆 E 上异于 A， B 的任意两点，且直线 D 相交于点 M，直线 交于点 N （ 1）求 a， b 的值； （ 2）求