2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年湖南省长沙市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1已知集合 A=x| 3 x 3， B=x|x（ x 4） 0，则 A B=（ ） A（ 0， 4） B（ 3， 4） C（ 0， 3） D（ 3， 4） 2已知复数 z= ，则 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 =（ =（ 2， 1），若 ，则 ） A 2 B 2 C D 4下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x1” B “x=1”是 “5x 6=0”的必要不充分条件 C命题 “xR 使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命题 “若 x=y，则 逆否命题为真命题 5双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为（ ） A B C 1 D 6设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为（ ） A 11 B 10 C 9 D 某程序框图如图所示，该程序运行输出的 k 值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 第 2 页（共 20 页） 8已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x+1） =f（ x），当 0 x 时， f（ x） =4x，则 f（ ） =（ ） A B C 1 D 9已知函数 y=y=2 下列结论正确的是（ ） A两个函数的图象均关于点（ ， 0）成中心对称 B 的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 2 倍，再向右平移 个单位即得 的图象 C两个函数在区间（ ， ）上都是单调递增函数 D两个函数的最小正周期相同 10如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为 2 的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ） A B C D 2 11已知函数 f（ x） =x+ ， g（ x） =2x+a，若 ， 3， 2， 3，使得 f（ g（ 则实数 a 的取值范围是（ ） A a1 B a1 C a0 D a0 12如图所示，直线 y=m 与抛物线 x 交与 点 A，与圆（ x 2） 2+6 的实线部分交于点 B， F 为抛物线的焦点，则 周长的取值范围是（ ） A（ 6， 8） B（ 4， 6） C（ 8， 12） D（ 8， 10） 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为 a， b，那么直线 bx+ 的斜率 k 的概率是 14已知正项等比数列 ， a2a556， ，则数列 公比为 第 3 页（共 20 页） 15在半径为 10球面上有 A、 B、 C 三点，如果 ， 0，则球心 O 到平面 距离为 16在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别 a、 b、 c，且满足 b2+a2= 0，a= ，则边 b 的取值范围是 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 17等差数列 ， ， 6 （ 1）求数列 通项公式 （ 2）设 ， Tn=b1+b2+ 18某学校高三年级有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成 5 组： 100， 110），110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140， 150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ 1）从样本中分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人，求两人恰好为一男一女的概率； （ 2）若规定分数不小于 130 分的学生为 “数学尖子生 ”，请你根据已知条件完成 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为 “数学尖子生与性别有关 ”？ P（ K2 ： 19如图， 圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，矩形 在的平面垂直于圆 O 所在的平面， ， （ 1）证明：平面 平面 （ 2）当三棱锥 C 体积最大时，求点 C 到平面 距离 第 4 页（共 20 页） 20已知点 A（ 0， 2），椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ， F 是椭圆的焦点，直线 斜率为 ， O 为坐标原点 （ ）求 E 的方程； （ ）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P， Q 两点，当 面积最大时，求 l 的方程 21已知关于 x 的函数 f（ x） = （ 1）当 a=0 时， 求函数 y=f（ x）的单调区间； 若方程 f（ x） =k 有两个不同的根，求实数 k 的取值范围； （ 2）若 f（ x） 恒成立，求实数 a 的取值 选修 4何证明选讲 22如图， 平分线与 外接圆分别相交于 D 和 E，延长 过 D，E， C 三点的圆于点 F （ 1）求证： F； （ 2）若 ， ，求 F 的值 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 线 =2 ），以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 （ 1）求曲线 （ 2）求曲线 到直线 距离的最大值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2| |x+1| （ 1）解不等式 f（ x） 1 （ 2）当 x 0 时，函数 g（ x） = （ a 0）的最小值总大于函数 f（ x），试求实数a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年湖南省长沙市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1已知集合 A=x| 3 x 3， B=x|x（ x 4） 0，则 A B=（ ） A（ 0， 4） B（ 3， 4） C（ 0， 3） D（ 3， 4） 【考点】 并集及其运算 【分析】 利用并集的性质求解 【解答】 解： 集合 A=x| 3 x 3， B=x|x（ x 4） 0=x|0 x 4， A B=x| 3 x 4=（ 3， 4） 故选： B 2已知复数 z= ，则 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 化简已知复数，可得其共轭复数 ，由复数的几何意义可得 【解答】 解：化简可得 z= = = = 2+i， = 2 i， 对应的点为（ 2， 1），在第三象限， 故选： C 3已知 =（ =（ 2， 1），若 ， 则 ） A 2 B 2 C D 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 由向量垂直的性质得 = 2，从而 此能求出= 【解答】 解： =（ =（ 2， 1）， ， = 2， = 故选 ： C 第 6 页（共 20 页） 4下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x1” B “x=1”是 “5x 6=0”的必要不充分条件 C命题 “xR 使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命题 “若 x=y，则 逆否命题为真命题 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 写出命题的否定判断 A；求解方程后结合充分必要条件的判断方法判断 B；写出特称命题的否定判断 C；由互为逆否命题的两个命题共真假判断 D 【解答】 解： 命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x1”，故 A 错误； 由 5x 6=0，解得 x= 1 或 x=6， “x=1”是 “5x 6=0”的既不充分也不必要条件，故 B 错误； 命题 “xR 使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+10”，故 C 错误； 命题 “若 x=y，则 真命题， 其逆否命题为真命题，故 D 正确 故选： D 5双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为（ ） A B C 1 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由 a2=m， ，利用 可得右焦点 F 取渐近线 y= x利用点到直线的距离公式即可得出 【解答】 解： a2=m， ， = 可得右焦点 F 取渐近线 y= x，即 x y=0 右焦点 F 到渐近线的距离 d= =1 故选： C 6设变量 x， y 满足约束条 件 ，则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为（ ） A 11 B 10 C 9 D 考点】 二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 首先做出可行域，将目标函数转化为 ，求 z 的最大值，只需求直线 l： 在 y 轴上截距最大即可 【解答】 解：做出可行域如图所示： 第 7 页（共 20 页） 将目标函数转化为 ， 欲求 z 的最大值， 只需求直线 l： 在 y 轴上的截距的最大值即可 作出直线 ，将直线 行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点 A 时在 时 z 最大 由 可求得 A（ 3， 1）， 将 A 点坐标代入 z=2x+3y+1 解得 z 的最大值为 23+31+1=10 故选 B 7某程序框图 如图所示，该程序运行输出的 k 值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 循环结构 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算 S， k 值并输出 k，模拟程序的运行过程，即可得到答案 第 8 页（共 20 页） 【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S k 是否继续循环 循环前 100 0/ 第一圈 100 201 是 第二圈 100 20 212 是 第六圈 100 20 21 22 23 24 25 0 6 是 则输出的结果为 7 故选 C 8已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x+1） =f（ x），当 0 x 时， f（ x） =4x，则 f（ ） =（ ） A B C 1 D 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数的奇函数得 f（ ） = f（ ），再根据 f（ x+1） =f（ x），把） = f（ ）= f（ +1） = f（ ），进而求解 【解答】 解：因为函数的奇函数， 所以 f（ ） = f（ ） 又 f（ +1） =f（ ） = = ， 所以 f（ ） = 故选 A 9已知函数 y=y=2 下列结论正确的是（ ） A两个函数的图象均关于点（ ， 0）成中心对称 B 的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 2 倍，再向右平移 个单位即得 的图象 C两个函数在区间（ ， ）上都是单调递增函数 D两个函数的最小正周期相同 【考点】 两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性 【分析】 函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数； 函数解析式利用二倍角的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，然后分别对各项判断即可 【解答】 解： y=x+ ）， y=2 第 9 页（共 20 页） A、 中的函数令 x+ =kZ），解得： x=（ kZ），故（ ， 0）为函数对称中心； 中的函数令 2x=kZ），解得： x= （ kZ），故（ ， 0）不是函数对称中心，本选项错误； B、 向右平移 个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 倍，即得 ，本选项错误； C、 令 +2kx+ +2kZ），解得： +2kx +2函数在区间（ ， ）上是单调递增函数； 令 +2x +2kZ），解得： +kx +函数在区间（ ，）上是单调递增函数，本选项正确； D、 =1， T=2； =2， T=，本选项错误， 故选 C 10如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为 2 的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ） A B C D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2 的正方体 的三棱锥中 E 是 点，由此能求出该四面体的体积 【解答】 解：由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2 的正方体 1 其中 E 是 点， 积 ，三棱锥 高 h=， 该四面体的体积： V= = 第 10 页（共 20 页） 故选： A 11已知函数 f（ x） =x+ ， g（ x） =2x+a，若 ， 3， 2， 3，使得 f（ g（ 则实数 a 的取值范围是（ ） A a1 B a1 C a0 D a0 【考点】 全称命题 【分析】 由 ， 3，都 2， 3，使得 f（ g（ 可得 f（ x）在 ， 3的最小值不小于 g（ x）在 2， 3的最小值，构造关于 a 的不等式，可得结论 【解答】 解：当 ， 3时，由 f（ x） =x+ 得， f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： x 2，令 f（ x） 0，解得： x 2， f（ x）在 ， 2单调递减，在（ 2， 3递增， f（ 2） =4 是函数的最小值， 当 2， 3时， g（ x） =2x+a 为增函数， g（ 2） =a+4 是函数的最小值， 又 ， 3，都 2， 3，使得 f（ g（ 可得 f（ x）在 ， 3的最小值不小于 g（ x）在 2， 3的最小值， 即 4a+4，解得： a0， 故选： C 12如图所示，直线 y=m 与抛物线 x 交与点 A，与圆（ x 2） 2+6 的实线部分交于点 B， F 为抛物线的焦点，则 周长的取值范围是（ ） A（ 6， 8） B（ 4， 6） C（ 8， 12） D（ 8， 10） 【考点】 抛物线的简单性质 第 11 页（共 20 页） 【分析】 由抛物线定义可得 |，由已知条件推导出 周长 =6+此能求出三角形 周长的取值范围 【解答】 解：抛物线的准线 l： x= 2，焦点 F（ 2， 0）， 由抛物线定义可得 |， 周长 =|+（ +4=6+ 由抛物线 x 及圆（ x 2） 2+6， 得交点的横坐标为 2， 2， 6） 6+ 8， 12） 三角形 周长的取值范围是（ 8， 12） 故选： C 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为 a， b，那么直线 bx+ 的斜率 k 的概率是 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件总数，再求出满足直线 bx+ 的斜率 k 的基本事件个数，由此能求出直线 bx+ 的斜率 k 的概率 【解答】 解：抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为 a， b， 基本事件总数 n=66=36， 直线 bx+ 的斜率 k= ， 满足直线 bx+ 的斜率 k 的基本事件有： （ 3， 1），（ 4， 1），（ 5， 1），（ 5， 2），（ 6， 1），（ 6， 2），共 6 个， 直线 bx+ 的斜率 k 的概率 p= = 故答案为： 14已知正项等比数列 ， a2a556， ，则数列 公比为 【考点】 等比数列的性质 【分析】 由题意和等比数列的性质可得 56，解得 通项公式可得公比 【解答】 解： 正项等比数列 ， a2a556， 第 12 页（共 20 页） a2a556，解得 ， 又 ， 数列 公比 q= = 故答案为： 15在半径为 10球面上有 A、 B、 C 三点，如果 ， 0，则球心 O 到平面 距离为 6 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 设 A、 B、 C 三点所在圆的半径为 r，圆心为 O，从而可解得 r=8；从而求答案 【解答】 解：设 A、 B、 C 三点所在圆的半径为 r，圆心为 O， 则 0， 20； 则在等腰三角形 ， =8； 即 r=8； 故球心 O 到平面 距离为 =6（ 故答 案为： 6 16在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别 a、 b、 c，且满足 b2+a2= 0，a= ，则边 b 的取值范围是 （ ， 1） 【考点】 余弦定理；平面向量数量积的运算 【分析】 利用已知代入到余弦定理中求得 值，进而求得 A，利用平面向量的运算可得 B 的范围， 利用正弦定理即可得解 b 的取值范围 【解答】 解：在 ， b2+a2=余弦定理可得 = = ， A 是三角形内角， A=60， =| | | B） 0， B 是钝角 90 B 120，可得： ， 1） 又 a= ， 由正弦定理可得 b= = ， 1） 故答案为：（ ， 1） 第 13 页（共 20 页） 三、解答 题（共 5小题，满分 60分） 17等差数列 ， ， 6 （ 1）求数列 通项公式 （ 2）设 ， Tn=b1+b2+ 【考点】 等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式 【分析】 设等差数列 公差为 d，则有 ，解之可得 ， d=2，进而可得通项公式；（ 2）把（ 1）的结果代入可得 通项，由列项相消法可得答案 【解答】 解：（ 1）设等差 数列 公差为 d，则有 解得： ， d=2， an=a1+d（ n 1） =6+2（ n 1） =2n+4 （ 2） = = Tn=b1+b2+ + + = = 18某学 校高三年级有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成 5 组： 100， 110），110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140， 150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ 1）从样本中分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人，求两人恰好为一男一女的概率； （ 2）若规定分数不小于 130 分的学生为 “数学尖子生 ”，请你根据已知条件完成 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为 “数学尖子生与性别有关 ”？ P（ K2 ： 【考点】 独立性检验；频率分布直方图 第 14 页（共 20 页） 【分析】 （ 1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值； （ 2）由频率分布直方图计算对应的数 据，填写列联表，计算 ，对照数表即可得出概率结论 【解答】 解：（ 1）由已知得，抽取的 100 名学生中，男生 60 名，女生 40 名， 分数小于等于 110 分的学生中， 男生人有 60（人），记为 女生有 40（人），记为 从中随机抽取 2 名学生，所有的可能结果共有 10 种，它们是： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 其中，两名学生恰 好为一男一女的可能结果共有 6 种，它们是： （ （ （ （ （ （ 故所求的概率为 P= = （ 2）由频率分布直方图可知， 在抽取的 100 名学生中，男生 605（人），女生 405（人）； 据此可得 22 列联表如下： 数学尖子生 非数学尖子生 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 30 70 100 所以得 = 因为 所以没有 90%的把握认为 “数学尖子生与性别有关 ” 19如图， 圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，矩形 在的平面垂直于圆 O 所在的平面， ， （ 1）证明：平面 平面 （ 2）当三棱锥 C 体积最大时，求点 C 到平面 距离 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算 【分析】 （ 1） 出 平面 后证明平面 平面 （ 2）通过 E 出棱锥的体积的最大值，求解底面面积，设点 C 到平面 h，利用体积公式求出距离即可， 第 15 页（共 20 页） 【解答】 （ 1） 直径， ， 又四边形 矩形， C=C， 平面 平面 又 面 平面 平面 （ 2）解：由（ 1）知 E = = = ， ， 当且仅当 C=2 时等号成立 ， 当 C=2 三棱锥 C 积最大为： ， 此时， ， ， 设点 C 到平面 距离为 h，则 h= 20已知点 A（ 0， 2），椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ， F 是椭圆的焦点，直线 斜率为 ， O 为坐标原点 （ ）求 E 的方程； （ ）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P， Q 两点，当 面积 最大时，求 l 的方程 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 【分析】 （ ）通过离心率得到 a、 c 关系，通过 A 求出 a，即可求 E 的方程； （ ）设直线 l： y=2，设 P（ Q（ y=2 代入 ，利用 0，求出 k 的范围，利用弦长公式求出 |然后求出 面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程 【解答】 解：（ ） 设 F（ c， 0），由条件知 ，得 又 ， 所以 a=2 ， b2=，故 E 的方程 （ ）依题意当 l x 轴不合题意，故设直线 l： y=2，设 P（ Q（ 第 16 页（共 20 页） 将 y=2 代入 ，得（ 1+4162=0， 当 =16（ 43） 0，即 时， 从而 又点 O 到直线 距离 ，所以 面积 = ， 设 ，则 t 0， ， 当且 仅当 t=2， k= 等号成立，且满足 0， 所以当 面积最大时， l 的方程为： y= x 2 或 y= x 2 21已知关于 x 的函数 f（ x） = （ 1）当 a=0 时， 求函数 y=f（ x）的单调区间； 若方程 f（ x） =k 有两个不同的根，求实数 k 的取值范围； （ 2）若 f（ x） 恒成立，求实数 a 的取值 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题 【分析】 （ 1） 先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间， 根函数单调性和最值分类讨论即可求出 k 的范围； （ 2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可求出 a 的值 【解答】 解：（ 1） 当 a=0 时， f（ x） = ，其定义域为（ 0， 1） （ 1， +） f（ x） = ， 当 f（ x） 0 时，解得 x e，函数单调递增， 当 f（ x） 0 时，解得 0 x 1 或 1 x e，函数单调递减， f（ x）在（ 0， 1），（ 1， e）单调递减，在（ e， +）上单调递增， 当 x 1 时，由 知， f（ x） f（ e） = =e， 方程 f（ x） =k 有两个不同的根， k e， 当 0 x 1 时，函数 f（ x）在（ 0， 1）单调递减，此时方程 f（ x） =k 不可能有两个不同的根， 综上所述 k 的取值范围为（ e， +）； 第 17 页（共 20 页） （ 2） f（ x） 恒成立， f（ x） = 恒成立， 当 0 x 1 时， ax 令 =t，则 0 t 1， a2 g（ t） =2 g（ t） =2t 2 2 令 h（ t） =2t 2 2 h（ t） =2（ 1 ） 0， h（ t）在（ 0， 1）上单调递减， h（ t） h（ 1） =0， g（ t） 0，在（ 0， 1）上恒成立， g（ t）在（ 0， 1）上单调递增