2016年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2016 年北京市房山区高考数学二模试卷（文科） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1若集合 A=x| 2x1， B=x|x 0，则 A B=（ ） A（ ， 0） B（ ， 1C 2， 0） D（ 1， +） 2下列函数中，既是奇函数又在区间（ 0， +）上单调递增的是（ ） A y=y=y=y=2x 3在 ， “A= ”是 “”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4若 x， y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为（ ） A 0B 1C 2D 5执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2，则输出的 n 值为（ ） A 3B 4C 5D 6 6已知 接圆的圆心为 O，且 ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 7直线 y= 被圆（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 截得的弦长为 ，则 k=（ ） A B C D 第 2 页（共 15 页） 8为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价其电价标准如表： 用户 类别 分档电量 （千瓦时 /户 月） 电价标准 （元 /千瓦时） 试行阶梯电 价的用户 一档 1 240（含） 档 241 400（含） 档 400 以上 京市某户居民 2016 年 1 月的平均电费为 /千瓦时），则该用户 1 月份的用电量为（ ） A 350 千瓦时 B 300 千瓦时 C 250 千瓦时 D 200 千瓦时 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9若（ a 2i） i=b i，其中 a， bR， i 使虚数单位，则 a2+ 10为了调查野生动物保护区内某种野生动物的数量， 调查人员某天捕到这种动物 120 只，做好标记后放回，经过一星期后，又捕到这种动物 100 只，其中做过标记的有 8 只，按概率方法估算，该保护区内有 只这种动物 11 则 f（ f（ 1）等于 12某几何体的正（主）视图和俯视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为 13抛物线 y 的焦点 F 的坐标为 ，过 F 的直线与抛物线交于 A， B 两点，若线段 中 点 M 的纵坐标为 4，则线段 长度为 14观察下面的数表 该表中第 6 行最后一个数是 ；设 2016 是该表的 m 行第 n 个数，则m+n= 三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知函数 f（ x） = （ ）求 的值和 f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在 0， 上 的取值范围 第 3 页（共 15 页） 16已知数列 前 n 项和 （ ）求 通项公式； （ ）求 a2+a5+1 的值 17随着 2022 年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营其中一班有 3 名男生和 1 名女生参加，二班有 1 名男生和 2 名女生参加活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出 2 名进行展示 （ ）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选 1 名，求选出的 2 名 学生性别相同的概率； （ ）若要从参加冬令营的这 7 名学生中任选 2 名，求选出的 2 名学生来自不同班级且性别不同的概率 18如图，等腰直角三角形 正方形 在的平面互相垂直， ，平面 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）求点 C 到平面 距离 19已知函数 f（ x） =x+ （ ）求函数 f（ x）的单调 区间； （ ）若直线 y=曲线 y=f（ x）没有公共点，求实数 k 的取值范围 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0），点 A（ 4， 0）， B（ 0， 2）和点 P（ m， n）（ m0）都在椭圆 C 上， 直线 x 轴交于点 M （ ）求椭圆 C 的标准方程和离心率； （ ）求点 P 的坐标； （ ）若以 M 为圆心， r 为半径的圆在椭圆 C 的内部，求 r 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2016年北京市房山区高考数学二模试 卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1若集合 A=x| 2x1， B=x|x 0，则 A B=（ ） A（ ， 0） B（ ， 1C 2， 0） D（ 1， +） 【考点】 并集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的并集即可 【解答】 解：集合 A=x| 2x1= 2， 1， B=x|x 0=（ ， 0），则 A B=（ ，1， 故选： B 2下列函数中，既是奇函数又在区间（ 0， +）上单调递增的是（ ） A y=y=y=y=2x 【考点】 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 【分析】 根据奇函数、增函数的定义，奇函数图象的对称性，正弦函数的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： A y=在（ 0， +）上单调递增， 该选项正确； B对数函数 y=图象不关于原点对称，不是奇函数， 该选项错误； C正弦函数 y=（ 0， +）上没有单调性， 该选项错误； D指数函数 y=2是奇函数， 该选项错误 故选 A 3在 ， “A= ”是 “”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案 【解答】 解：在 ，若 A= ，则 ，是充分条件， 在 ，若 ，则 A= 或 A= ，不是必要条件， 故选： A 4若 x， y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为（ ） 第 5 页（共 15 页） A 0B 1C 2D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 A 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最大 由 ，得 ， 即 A（ ， ）， 此时 z 的最大值为 z= +2 = ， 故选： D 5执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2，则输出的 n 值为（ ） 第 6 页（共 15 页） A 3B 4C 5D 6 【考点】 程序框图 【分析】 根据输入 A 的值，然后根据 S 进行判定是否满足条件 S 2，若不满足条件执行循环体，依此类推，一旦满足条件 S 2，退出循环体，输出 n 的值为 5 【解答】 解：模拟执行程序，可得 A=2， S=0， n=1 不满足条件 S 2，执行循环体， S=1， n=2 不满足条件 S 2，执行循环体， S= ， n=3 不满足条件 S 2，执行循环体， S= ， n=4 不满足条件 S 2，执行循环体， S= ， n=5 满足条件 S 2，退出循环，输出 n 的值为 5 故选： C 6已知 接圆的圆心为 O，且 ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可由 得出点 O 为边 中点，从而得出边 接圆的直径，从而得出 ，这样即可得出 与 的夹角 【解答】 解：如图， ； 圆心 O 为 的中点； 外接圆的直径； ； 即 与 的夹角为 故选： D 7直线 y= 被圆（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 截得的弦长为 ，则 k=（ ） 第 7 页（共 15 页） A B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出圆（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 的圆心 ，半径，圆心（ 2， 3）到直线 y= 的距离，由此利用直线 y= 被圆（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 截得的弦长为 ，由勾股定理能求出 k 【解答】 解：圆（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 的圆心（ 2， 3），半径 r=2， 圆心（ 2， 3）到直线 y= 的距离 d= ， 直线 y= 被圆（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 截得的弦长为 ， 由勾股定理 得 ， 即 4= +3， 解得 k= 故选： A 8为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价其电价标准如表： 用户 类别 分档电量 （千瓦时 /户 月） 电价标准 （元 /千瓦时） 试行阶梯电 价的用户 一档 1 240（含） 档 241 400（含） 档 400 以上 京市某户居民 2016 年 1 月的平均电费为 /千瓦时），则该用户 1 月份的用电量为（ ） A 350 千瓦时 B 300 千瓦时 C 250 千瓦时 D 200 千瓦时 【考点】 函数的值 【分析】 设该户居民月用电量为 x 千瓦时，则 241x400，由题意得 240 x 240）此能求出结果 【解答】 解： 北京市某户居民 2016 年 1 月的平均电费为 /千瓦时）， 设该户居民月用电量为 x 千瓦时，则 241x400， 由题意得 240 x 240） 解得 x250 故选： C 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9若（ a 2i） i=b i，其中 a， bR， i 使虚数单位，则 a2+5 【考点】 复数相等的充要条件 【分析】 由题意可得 2+ai=b i，故有 ，由此求得 a2+值 第 8 页（共 15 页） 【解答】 解： （ a 2i） i=b i，即 2+ai=b i， ， a2+， 故答案为 5 10为了调查野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天捕到这种动物 120 只，做好标记后放回，经过一星期后，又捕到这种动物 100 只，其中做过标记的有 8 只，按概率方法估算，该保护区内有 1500 只这种动物 【考点】 收集数据的方法 【分析】 设保护区有这种动物有 x 只，则由题意可得 = ，从而求得 x 的值 【解答】 解：设保护区有这种动物有 x 只，则由 题意可得 = ，求得 x=1500， 故答案为： 1500 11 则 f（ f（ 1）等于 2 【考点】 函数的值 【分析】 由已知利用分段函数的性质先求出 f（ 1）的值，再求出 f（ f（ 1） 【解答】 解： f（ 1） = =3， f（ f（ 1） =f（ 3） =1+ 故答案为： 2 12某几何体的正（主）视图和俯视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为 4 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 按几何体的各种情况计算体积，找出最大值 【解答】 解：由主视图和俯视图可知几何体为柱体侧视图的长和高均为 1 当侧视图为正方形时几何体体积最大， 此时几何体为长方体，棱长分别为 4， 1， 1 几何体体积 V=411=4 故答案为： 4 第 9 页（共 15 页） 13抛物线 y 的焦点 F 的坐标为 （ 0， 1） ，过 F 的直线与抛物线交于 A， B 两点，若线段 中点 M 的纵坐标为 4，则线段 长度为 10 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线 y，可得焦点 F（ 0， 1），由 | yA+yB+p，再利用梯形的中位线定理即可得出 【解答】 解：由抛物线 y，可得焦点 F（ 0， 1）， |=yA+yB+p =2（ 4+1） =10 故答案分别为：（ 0， 1）； 10 14观察下面的数表 该表中第 6 行最后一个数是 126 ；设 2016 是该表的 m 行第 n 个数，则 m+n= 507 【考点】 数列递推式 【分析】 表中第 n 行共有 2n 1 个数字，此行数字构成以 2n 为首项，以 2 为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解 【解答】 解：表中第 n 行共有 2 n 1个数字，此行数字构成以 2 2 为公差的等差数列 故第 7 行的第一个数字为 27=128， 故第 6 行最后一个数是 126， 排完第 k 行，共用去 1+2+4+2k=2 k+1 1 个数字， 2016 是该表的第 1008 个数字， 由 210 1 1008 211 1， 所以 2016 应排在第 10 行，此时前 9 行用去了 2 9 1=511 个数字， 由 1008 511=497 可知排在第 10 行的第 497 个位置， 即 m+n=507， 故答案为： 126， 507 三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知函数 f（ x） = （ ）求 的值和 f（ x）的最小正周期； （ ） 求 f（ x）在 0， 上的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）由诱导公式与辅助角公式化简解析式，由此得到 的值和 f（ x）的最小正周期； 第 10 页（共 15 页） （ ）由 x 的范围得到 2x+ 的范围，由此得到 f（ x）的范围 【解答】 解：（ ） f（ x） = = =22x+ ） +1， =2， f（ x）的最小正周期是 T= （ ）当 x0， 时， 2x+ ， 2+ ， 22x+ ） 2， 2， f（ x） 1， 3 16已知数列 前 n 项和 （ ）求 通项公式； （ ）求 a2+a5+1 的值 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）通过 与 1=（ n 1） 2+26（ n 1）（ n2）作差、整理可知 2n+27，进而计算可得结论； （ ）通过（ I）可知 1是首项为 23、公差为 6 的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算即得结 论 【解答】 解：（ ）依题意， ， 1=（ n 1） 2+26（ n 1）（ n2）， 两式相减得： 2n+27（ n2）， 又 1+26=25 满足上式， 2n+27； （ ）由（ I）可知 1是首项为 23、公差为 6 的等差数列， a2+a5+1=23n+ （ 6） = 36n 17随着 2022 年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成 为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营其中一班有 3 名男生和 1 名女生参加，二班有 1 名男生和 2 名女生参加活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出 2 名进行展示 （ ）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选 1 名，求选出的 2 名学生性别相同的概率； （ ）若要从参加冬令营的这 7 名学生中任选 2 名，求选出的 2 名学生来自不同班级且性别不同的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 第 11 页（共 15 页） 【分析】 （ ）要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选 1 名，先求出基本事件总数 ，由此能求出选出的 2 名学生性别相同的概率 （ ）要从参加冬令营的这 7 名学生中任选 2 名，先求出基本事件总数，再求出选出的 2名学生来自不同班级且性别不同包含的基本事件个数，由此能求出选出的 2 名学生来自不同班级且性别不同的概率 【解答】 解：（ ）要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选 1 名， 基本事件总数 n= =12， 选出的 2 名学生性别相同的概率： P= = （ ）要从参加冬令营的这 7 名学生中任选 2 名，基本事件总数 n= =21， 选出的 2 名学生来自不同班级且性别不同包含的基本事件个数 m= =7， 选出的 2 名学生来自不同班级且性别不同的概率 = = 18如图，等腰直角三 角形 正方形 在的平面互相垂直， ，平面 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）求点 C 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）根据线面垂直的判定定理即可证明 平面 （ ）根据线面平行的判定定理证明 可证明 平面 （ ）根据点到平面的距离进行求解即可 求点 C 到平面 距离 【解答】 证明：（ ） 平面 面 正方形， F=C， 平面 （ ）取 中点 G，连接 等腰直角三角形 正方形 在的平面互相垂直， 平面 第 12 页（共 15 页） 平面 ， ， ， 即 C， 则四边形 矩形， 面 面 平面 解：（ ）连接 O， 则 平面 接 过 C 作 H， 则 平面 即 点 C 到平面 距离 ， ， ， 则 = = ， 则由三角形 面积 S= F= H， 得 = = 即点 C 到平面 距离是 19已知函数 f（ x） =x+ （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若直线 y=曲线 y=f（ x）没有公共点，求实数 k 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 第 13 页（共 15 页） 【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ ）问题等价于关于 x 的方程 kx=x+ 在 R 上没有实数解，即关于 x 的方程：（ k 1）x= （ *）在 R 上没有实数解 【解答】 解：（ ） f（ x） =x+ f（ x） =1 = ， 令 f（ x） 0，解得： x 0，令 f（ x） 0，解得： x 0， f（ x）在（ ， 0）递减，在（ 0， +）递增； （ ）直线 y=曲线 y=f（ x）没 有公共点， 等价于关于 x 的方程 kx=x+ 在 R 上没有实数解， 即关于 x 的方程：（ k 1） x= （ *）在 R 上没有实数解； 当 k=1 时，方程（ *）可化为 =0，在 R 上没有实数解； 当 k1 时，方程（ *）化为 = 令 g（ x） =有 g（ x） =（ 1+x） 令 g（ x） =0，得 x= 1， 当 x= 1 时， g（ x） ， 同时当 x 趋于 +时， g（ x）趋于 +， 从而 g（ x）的取值范围为 ， +）， 所以当 （ ， ）时，方程（ *）无实数解， 解得 k 的取值范围是（ 1 e，