黄冈市蕲春县2015-2016年高二下期中数学试卷(理)含答案解析

2015年湖北省黄冈市蕲春县高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题 1为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为 n 的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为 4： 3： 2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有 10人，那么样本容量 n 为（ ） A 50 B 45 C 40 D 20 2某地政府召集 5 家企业的负责人开会，已知甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为（ ） A 14 B 16 C 20 D 48 3已知随机变量 X N（ 0， 2），且 P（ X 2） = P（ 2X0） =（ ） A （ + ） 展开式中的常数项是（ ） A 180 B 90 C 45 D 360 5变量 X 与 Y 相对应的一组数据为（ 10， 1），（ 2），（ 3），（ 4），（ 13， 5），变量 U 与 V 相对应的一组数据为 （ 10， 5），（ 4），（ 3），（ ），（ 13， 1） 示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数， 示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则（ ） A 0 B 0 0 r2=已知随机变量 的分布列为 P（ =K） = ， k=1， 2， ，则 P（ 2 4）等于（ ） A B C D 7已知 x、 y 的取值如表所示，如果 y 与 x 呈线性相关，且线性回归方程为 = x+ ，则 b=（ ） x 2 3 4 y 6 4 5 A B C D 1 8从 7 名男生和 5 名女生中选 4 人参加夏令营，规定男、女同学至少各有 1 人参加，则选法总数应为（ ） A B C D 9设 的展开式的各项系数和为 M，二项式系数和为 N，若 M N=240，则展开式中 x 的系数为（ ） A 150 B 150 C 300 D 300 10 2015 年 6 月 20 日是我们的传统节日 ”端午节 ”，这天小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个 ，事件 A=“取到的两个为同一种馅 ”，事件 B=“取到的两个都是豆沙馅 ”，则 P（ B|A） =（ ） A B C D 11设集合 I=1， 2， 3， 4， 5选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 不同的选择方法共有（ ） A 50 种 B 49 种 C 48 种 D 47 种 12如图，在杨辉三角形中，斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个 “锯齿形 ”的数列： 1， 3， 3， 4， 6， 5， 10， ，记此数列的前 n 项之和为 值为（ ） A 66 B 153 C 295 D 361 二、填空题 13按流程图的程序计算，若开始输入的值为 x=3，则输出的 x 的值是 14 展开式中 的系数为 15在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 16图 2 中的实线围成的部分是长方体（图 1）的平面展开图，其中四边形 边长为1 的正方形，若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 （ 1）从正方体 四条边及两条对角线共 6 条线段中任取 2 条线段（每条线段被取到的可能性相等），则其中一条线段长度是另一条线段长度的 倍的概率是 （ 2）此长方体的体积为 三、解答题 17为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查，得到如表的列联表： 喜欢打篮球 不喜欢打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢打篮球的学生的概率为 （ 1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； （ 2）能否在犯错误的概率不超过 前提下认为喜欢打篮球与性别有关？请说明你的理由 参考公式及数据： ，其中 n=a+b+c+d P（ K2 8某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A， B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （ 1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （ 2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C： “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 ”，假设 两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求 C 的概率 19在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖 （ 1）若抽奖规则是从一个装有 5 个红球和 3 个白球的袋中有放回地取出 2 个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率； （ 2）若甲计划在 9： 00 9： 40 之间赶到，乙计划在 9： 20 10： 00 之间赶到，求甲比乙提前到达的概率 20在一 次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题甲能正确完成其中的 4 题，乙能正确完成每道题的概率为 ，且每道题完成与否互不影响，规定至少正确完成 2 道题便可过关 （ 1）记所抽取的 3 道题中，甲答对的题数为 X，求 X 的分布列和期望； （ 2）记乙能答对的题数为 Y，求 Y 的分布列、期望和方差 21下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据 ： x 3 4 5 6 y 4 1）请画出上表数据的散点图； （ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （ 3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据（ 2）求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考公式： = ， = b ；参考数值： 33+54+6 22为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的节排器，分别从甲、乙两种节排器中随机抽取 100 件进行性能质量评估检测，综合得分情况的概率分布直方图如图所示 节排器等级及利润率如表所示（ a ） 综合得分 k 的取值范围 节排器等级 节排器利润率 k85 一级品 a 75k 85 二级品 50k 75 三级品 1）视概率分布直方图中的频率为概率，则 若从甲型号节排器中按节排器等级用分层抽样的方法抽取 10 件，再从这 10 件节排器中随机抽取 3 件，求至少有 2 件一级品的概率； 若从乙型号节排器中随机抽取 3 件，求二级品数 的分布列及数学期望 （ 2）从长期来看，投资哪种型号的节排器平均利润率较大？ 2015年湖北省黄冈市蕲春县高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为 n 的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为 4： 3： 2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有 10人，那么样本容量 n 为（ ） A 50 B 45 C 40 D 20 【分析】 利用分层抽样性质求解 【解答】 解： 高一、高二、高三学生的数量之比依次为 4： 3： 2， 现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有 10 人， 由分层抽样性质，得： ， 解得 n=45 故选： B 【点评】 本题考查样本容量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用 2某地政府召集 5 家企业的负责人开会，已知甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为（ ） A 14 B 16 C 20 D 48 【 分析】 本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有含有甲的选法有 据分类计数原理得到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个分类计数问题， 由于甲有两个人参加会议需要分两类： 含有甲的选法有 不含有甲的选法有 共有 43=16（种）， 故选 B 【点评】 本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的 3 人来自 3 家不同企业 3已知随机变量 X N（ 0， 2），且 P（ X 2） = P（ 2X0） =（ ） A 分析】 画出正态分布 N（ 0， 2）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果 【解答】 解：由随机变量 服从正态分布 N（ 0， 2）可知正态密度曲线关于 y 轴对称， P（ X 2） = P（ 2x0） = 故选： C 【点评】 本题主 要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解属于基础题 4（ + ） 展开式中的常数项是（ ） A 180 B 90 C 45 D 360 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项【解答】 解：由于（ + ） n=10， 故（ + ） 10 展开式的通项公式为 = 2r ，令 5 =0，求得 r=2， 展开式中的常数项是 22=180， 故选： A 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题 5变量 X 与 Y 相对应的一组数据为（ 10， 1），（ 2），（ 3），（ 4），（ 13， 5），变量 U 与 V 相对应的一组数据为 （ 10， 5），（ 4），（ 3），（ ），（ 13， 1） 示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数， 示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则（ ） A 0 B 0 0 r2=分析】 求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较 【解答】 解： 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为（ 10， 1），（ 2）， （ 3），（ 4），（ 13， 5）， = 这组数据的相关系数是 r= ， 变量 U 与 V 相对应的一组数据为 （ 10， 5），（ 4）， （ 3），（ 2），（ 13， 1） ， 这组数据的相关系数是 第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零， 故选 C 【点评】 本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系 6已知随机变量 的分布列为 P（ =K） = ， k=1， 2， ，则 P（ 2 4）等于（ ） A B C D 【分析】 P（ 2 4） =P（ =3） +P（ =4），由此能求出结果 【解答】 解： 随机变量 的分布列为 P（ =K） = ， k=1， 2， ， P（ 2 4） =P（ =3） +P（ =4） = = 故选： A 【点评】 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合理运用 7已知 x、 y 的取值如表 所示，如果 y 与 x 呈线性相关，且线性回归方程为 = x+ ，则 b=（ ） x 2 3 4 y 6 4 5 A B C D 1 【分析】 计算样本中心，代入回归方程得出 b 【解答】 解： ， ， 5=3 + ，解得 = 故选 B 【点评】 本题考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题 8从 7 名男生和 5 名女生中选 4 人参加夏令营，规定男、女同学至少各有 1 人参加，则选法总数应为（ ） A B C D 【分析】 利用间接法，没有限制条件是选 法，排除只选男生和只选女生的选法，即可得出结论 【解答】 解：利用间接法，没有限制条件是选法有 ，只选男生的选法有 ，只选女生的选法有 ， 故男、女同学至少各有 1 人参加，则选法总数有 ， 故选： C 【点评】 本题考查组合知识，考查间接法的运用，属于基础题 9设 的展开式的各项系数和为 M，二项式系数和为 N，若 M N=240，则展开式中 x 的系数为（ ） A 150 B 150 C 300 D 300 【分析】 由题意可得 4n 2n=240，求得 n 值，确定通项，令 x 的指数为 1，即可求得结论【解答】 解：由题意可得 4n 2n=240， n=4 通项 = 5x） 4 r （ ） r=（ 1） r 4 r ， 令 4 r=1，可得 r=2 展开式中 x 的系数为（ 1） 2 2=150 故选 B 【点评】 本题考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，求出 r=2，是解题的关键 10 2015 年 6 月 20 日是我们的传统节日 ”端午节 ”，这 天小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件 A=“取到的两个为同一种馅 ”，事件 B=“取到的两个都是豆沙馅 ”，则 P（ B|A） =（ ） A B C D 【分析】 求出 P（ A） = = ， P（ = = ，利用 P（ B|A） = ，可得结论 【解答】 解：由题意， P（ A） = = ， P（ = = ， P（ B|A） = = ， 故选： A 【点评】 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键 11设集合 I=1， 2， 3， 4， 5选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 不同的选择方法共有（ ） A 50 种 B 49 种 C 48 种 D 47 种 【分析】 解法一，根据题意，按 A、 B 的元素数 目不同，分 9 种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案； 解法二，根据题意， B 中最小的数大于 A 中最大的数，则集合 A、 B 中没有相同的元素，且都不是空集，按 A、 B 中元素数目这和的情况，分 4 种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案 【解答】 解： 解法一，若集合 A、 B 中分别有一个元素，则选法种数有 0 种； 若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 0 种； 若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 种； 若集合 A 中 有一个元素，集合 B 中有四个元素，则选法种数有 种； 若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 0 种； 若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 种； 若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 种； 若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 种； 若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 种； 若集合 A 中有四个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 种； 总计有 49 种，选 B 解法二：集合 A、 B 中没有相同的元素，且都不是空集， 从 5 个元素中选出 2 个元素，有 0 种选法，小的给 A 集合，大的给 B 集合； 从 5 个元素中选出 3 个元素，有 0 种选法，再分成 1、 2 两组，较小元素的一组给 大元素的一组的给 B 集合，共有 210=20 种方法； 从 5 个元素中选出 4 个元素，有 种选法，再分成 1、 3； 2、 2； 3、 1 两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 35=15 种方法； 从 5 个元素中选出 5 个元素，有 种选法，再分成 1、 4； 2、 3； 3、 2； 4、 1 两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 41=4 种方法； 总计为 10+20+15+4=49 种方法选 B 【点评】 本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用 12如图，在杨辉三角形中，斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个 “锯齿形 ”的数列： 1， 3， 3， 4， 6， 5， 10， ，记此数列的前 n 项之和为 值为（ ） A 66 B 153 C 295 D 361 【分析】 先求通项公式 a（ n），在杨辉三角形中，观察数列特点，分为两类求解， n 为偶数时，较易， n 为奇数时，利用二项式的系数，求和也分为奇数和偶数来求，都用到等差数列的前 n 项和公式进行求解，奇数时还用到偶数的平方和公式 【解答】 解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式 a（ n） n 为偶数时， a（ n） =（ n+4） /2， n 为奇数时， 1=22， 3=32， 6=10=52， a（ n） =C（ n+3） /22=（ n+3）（ n+1） /8 然后求前 21 项和，偶数项和为 75， 奇数项和为 （ 22+42+62+222） +2（ 2+4+6+22） /8 =（ 22423） +1124/8=286， 最后 S（ 21） =361 故选 D 【点评】 本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题意归纳出 a（ n）的通项公式，本题考查等差数列的前 n 项和公式，偶数和的公式为 22+42+62+（ 2n） 2=2n（ n+1）（ 2n+1） /3 二、填空题 13按流程图的程序计算，若开始输入的值为 x=3，则输出的 x 的值是 231 【分析】 根据程序可知，输入 x，计算出 的值，若 100，然后再把作为 x，输入 ，再计算 的值，直到 100，再输出 x 的值即可 【解答】 解： x=3， =6， 6 100， 当 x=6 时， =21 100， 当 x=21 时， =231 100，停止循环 则最后输出的结果是 231， 故答案为： 231 【点评】 此题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序属于基础题 14 展开式中 的系数为 5 【分析】 要求展开式中 需求出 中的常数项即可【解答】 解：由题意可知要求展开式中 的系数，只需求出 中的常数项， 中的常数项为第四项： = 20.1+x+， 中 x 2 的项的系数为： =15； 1+x+ 系数是 1， 所以 展开式中 的系数为： 20+15= 5 故答案为： 5 【点评】 本题考查二项式定理的应用，二项式 定理系数的性质，考查计算能力 15在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 84 【分析】 五名医生到 3 所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，名医生可以分为（ 2， 2，1）和（ 3， 1， 1）两种分法，根据分类计数原理可得 【解答】 解： 当有二所医院分 2 人另一所医院分 1 人时，总数有： =90 种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有 =30 种；故不同的分配方法是 90 30=60种 有二所医院分 1 人另一所医院分 3 人，有 =24 种 根据分类计数原理得，故不同的分配方法总数 60+24=84 故答案为： 84 【点评】 本题考查了分组分配计数原理，关键是如何分组，属于中档题 16图 2 中的实线围成的部分是长方体（图 1）的平面展开图 ，其中四边形 边长为1 的正方形，若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 （ 1）从正方体 四条边及两条对角线共 6 条线段中任取 2 条线段（每条线段被取到的可能性相等），则其中一条线段长度是另一条线段长度的 倍的概率是 （ 2）此长方体的体积为 3 【分析】 （ 1）明确所有满足条件的取法以及满足其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的取法，利用古典概型公式解答； （ 2）根据向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，得到长方体的表面积与展开图对应的进行面积比，利用几何概型的公式可求长方体的高 【解答】 解：（ 1）从正方体 四条边及两条对角线共 6 条线段中任取 2 条线段（ 每条线段被取到的可能性相等）， 共有 =15 种不同的取法，使其中一条线段长度是另一条线段长度的 倍的取法有=8，由几何概型的个数得到满足条件的概率为 ； （ 2）设长方体的高为 h，则长方体的表面积为 2+4h，而展开图的矩形面积为（ 2+2h）（ 1+2h），由向虚线围成的矩形内任 意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，得到，解得 h=3； 所以长方体的体积为 113=3； 故答案为： ； 3 【点评】 不同考查了古典概型的概率求法以及几何概型的应用；属于中档题 三、解答题 17为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查，得到如表的列联表： 喜欢打篮球 不喜欢打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢打篮球的学生的概率为 （ 1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； （ 2）能否在犯错误的概率不超过 前提下认为喜欢打篮球与性别有关？请说明你的理由 参考公式及数据： ，其中 n=a+b+c+d P（ K2 分析】 （ 1）由频率 = ，进行计算，填表即可； （ 2）利用公式 出观测值，查表可得结论 【解答】 解：（ 1）喜欢打篮球的学生有 50 =30（人），不喜欢打篮球的学生有 50 30=20（人），补充完整列联表如下： 喜欢打篮球 不喜欢打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 （ 2）计算 = P（ = 所以有 把握认为喜欢打篮球与性别有关 【点评】 本题考查了频率与频数、样本容量的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题目 18某公 司为了解用户对其产品的满意度，从 A， B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （ 1）根据两组数据完成两地 区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （ 2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C： “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 ”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求 C 的概率 【分析】 （ 1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可； （ 2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可 【解答】 解：（ 1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出， A 地区用户满意评分的平均值高于 B 地区用户满意评分的平均值； B 地区用户满意度评分比较分散； （ 2）记 示事件 “A 地区用户满意度等级为满意或非常满意 ”， 记 示事件 “A 地区用户 满意度等级为非常满意 ”， 记 示事件 “B 地区用户满意度等级为不满意 ”， 记 示事件 “B 地区用户满意度等级为满意 ”， 则 立， 立， 则 C= P（ C） =P（ +P（ =P（ P（ +P（ P（ 由所给的数据 生的频率为 ， ， ， ， 所以 P（ = ， P（ = ， P（ = ， P（ = ， 所以 P（ C） = + = 【点评】 本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题 19在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖 （ 1）若抽奖规则是从一个装有 5 个红球和 3 个白球的袋中有放回地取出 2 个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率； （ 2）若甲计划在 9： 00 9： 40 之间赶到，乙计划在 9： 20 10： 00 之间赶到，求甲比乙提前到达的概率 【分析】 （ 1）计算所有事件数已经满足条件的事件数，利用古典概型公式求之； （ 2）设两人到达的时间分别为 9 点到 10 点之间的 x 分钟、 y 分钟用（ x， y）表示每次试验的结果，分别， x， y 范围表示满足条件的事件，利用几何概型的概率公式得到所求 【解答】 解：（ 1）从袋中 8 个球中有放回的摸出 2 个，试验的结果共有 88=64（种）中奖的情况分为两种： （ i） 2 个球都是红色，包含的基本 事件数为 55=25； （ 2 个球都是白色，包含的基本事件数为 33=9 所以，中奖这个事件包含的基本事件数为 25+9=34 因此，中奖概率为 （ 6 分） （ 2）设两人到达的时间分别为 9 点到 10 点之间的 x 分钟、 y 分钟 用（ x， y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为 =（ x， y） |0x40， 20y60； 记甲比乙提前到达为事件 A，则事件 A 的可能结果为 A=（ x， y） |x y， 0x40， 20y60如图所示，试验全部结果构成区域 为正方形 事件 A 所构成区域是正方形内的阴影部分 根据几何概型公式，得到 P（ A） = 所以，甲比乙提前到达的概率为 （ 12 分） 【点评】 本题考查了古典概型和几何概型的概率求法；关键字明确事件的表达方式，利用相关的公式解答 20在一次招 聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题甲能正确完成其中的 4 题，乙能正确完成每道题的概率为 ，且每道题完成与否互不影响，规定至少正确完成 2 道题便可过关 （ 1）记所抽取的 3 道题中，甲答对的题数为 X，求 X 的分布列和期望； （ 2）记乙能答对的题数为 Y，求 Y 的分布列、期望和方差 【分析】 （ 1）由题意得 X 的可能取值为 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和期望 （ 2）由题意 Y 的 可能取值为 0， 1， 2， 3，且 Y B（ 3， ），由此能求出 Y 的分布列、期望和方差 【解答】 解：（ 1）主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题 甲能正确完成其中的 4 题，所抽取的 3 道题中，甲答对的题数为 X， 由题意得 X 的可能取值为 1， 2， 3， ， ， ， X 的分布列为： X 1 2 3 P （ X） =（ 6 分） （ 2）主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题， 乙能正确完成每道题的概率为 ，且每道题完成与否互不影响， 由题意 Y 的可能取值为 0， 1， 2， 3，且 Y B（ 3， ）， P（ Y=0） = = ， P（ Y=1） = = ， P（ Y=2） = = ， P（ Y=3） = = ， Y 的分布列为： Y 0 1 2 3 P E（ Y） = =2， D（ Y） =（ 0 2） 2 +（ 1 2） 2 +（ 2 2） 2 +（ 3 2） 2 = （ 12 分） 【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用 21下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 4 1）请画出上表数据的散点图； （ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （ 3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据（ 2）求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考公式： = ， = b ；参考